弹性碰撞数学计算的突破方法

弹性碰撞数学计算的突破方法

发生弹性碰撞的两物体满足动量守恒，由于一般情况下碰撞的时间极短，碰撞前后两物体的

位移几乎没有发生变化，在一般问题当中认为碰撞前后的两物体仍在原位置以新的速度发生

相对运动，即认为发生弹性碰撞的两物体碰撞前后各自的重力势能保持不变，弹性碰撞没有

机械的损失可写成系统动能不变的方程。这样可得到发生弹性碰撞的两物体满足的动量方程 和能量方程。??

m??1v??1+m??2v??2=m??1v??1′+m??2v??2′，??

[SX(]1[]2[SX)]m??1v??2??1+[SX(]1[]2[SX)]m??2v??2??2=[SX(]1[]2[SX)]m??1v??1

′??2+[SX(]1[]2[SX)]m??2v??2′??2，?? 可得v??1′

=[SX(](m??1-m??2)v??1+2m??2v??2[]m??1+m??2[SX)],?? v??2′

=[SX(](m??2-m??1)v??2+2m??1v??1[]m??1+m??2[SX)]。?? 特别当v??2=0时，也称为动碰静时，解得结果为??

v??1′=[SX(](m??1-m??2)v??1[]m??1+m??2[SX)]，?? v??2′=[SX(]2m??1v??1[]m??1+m??2[SX)]，?? 列出弹性碰撞所满足的动量、能量方程，对于学生而言相对比较容易，但面临一个困难是

数学计算过程繁冗复杂，很多同学过不了这个计算关，虽然结果有一定的规律可循，但纯粹

来记忆这个公式结果仍有较大难度。这里介绍一种比较好的方法。?? 推导： v??1+v??1′

=[SX(](m??1-m??2)v??1+2m??2v??2[]m??1+m??2[SX)]+v??1 ??=[SX(]2m??1v??1+2m??2v??2[]m??1+m??2[SX)]，?? v??2+v??2′

=[SX(](m??2-m??1)v??2+2m??1v??1[]m??1+m??2[SX)]+v??2 ??=[SX(]2m??1v??1+2m??2v??2[]m??1+m??2[SX)]，?? 结论：v??1+v??1′=v??2+v??2′。??

说明 对于弹性碰撞而言，此结论公式是个恒成立公式，是根据动量守恒和

动能守恒两个方程推导出来的结果。??

应用方法：对于弹性碰撞，应列出动量守恒方程和动能守恒方程，但在数学运算中用

m??1v??1+m??2v??2=m??1v??1′+m??2v??2′

和v??1+v??1′=v??2+v??2′来计算最终结果。这样做的好处在于把二元二次方程转化为二

元一次方程，从而极大的简化了数学计算过程，提高解题速度和解题质量。??

注意事项 此结论公式为矢量方程，要注意各速度的方向关系，应先规定正

方向，确定各速度的正、负，再代入公式计算，这样可以把矢量运算转化为代数运算。??

例题1 倾角为30°的足够长光滑斜面下端与一足够长光滑水平面相接，连

接处用一光滑小圆弧过渡，斜面上距水平面高度分别为h??1=5 m和h??2=0。2 m的两点，各固

定一小球A和B，如图1所示。某时刻由静止开始释放A球，经过一段时间t后，同样由静止释 放B球。g=10 ??m/s????2，则??

(1)为了保证A、B两球不会在斜面上相碰，t最长不能超过多少？??

(2)在满足(1)的情况下，为了保证两球在水平面上碰撞的次数不少于两次，两球的质量m??A

、m??B应满足什么条件？(假设两球在碰撞过程中没有能量损失)??

解析 (1)根据牛顿第二定律,两球在斜面上的加速度??

mg??sin??30°=ma，??

设两物体在斜面上运动的时间分别为t??1和t??2,则有:??

[SX(]h??1[]??sin??30°[SX)]=[SX(]1[]2[SX)]at??2??1，?? [SX(]h??2[]??sin??30°[SX)]=[SX(]1[]2[SX)]at??2??2，?? 且t=t??1-t??2.?? 所以t=1.6 ??s??。??

(2)设两球滑到水平面上时的速度分别为v??1、v??2,根据机械能守恒定律有??

m??Agh??1=[SX(]1[]2[SX)]m??Av??2??1,?? m??Bgh??2=[SX(]1[]2[SX)]m??Bv??2??2.?? 所以v??1=[KF(]2gh??1[KF)]=10 ??m/s??,?? v??2=[KF(]2gh??2[KF)]=2 ??m/s??。?? 根据动量守恒定律有??

m??Av??1+m??Bv??2=m??Av??1′+m??Bv??2′，?? 根据动能守恒有??

[SX(]1[]2[SX)]m??Av??2??1+[SX(]1[]2[SX)]m??Bv??2??2=[SX(]1[]2[SX)]m??Av??1

′??2+[SX(]1[]2[SX)]m??Bv??2′??2，?? 若能发生第二次碰撞，应有?? v??1′v??2′。??

在具体计算时，可以利用以下两个公式和速度大小关系求解??

10m??A+2m??B=-m??Av??1′+m??Bv??2′，?? 10-v??1′=2+v??2′，?? v??1′>v??2′，??

可得v??1′=8-v??2′>v??2′，?? 即得v??2′<4.??

把v??1′=8-v??2′代入动量关系式中即可求得?? [SX(]M??A[]M??B[SX)]<[SX(]1[]7[SX)]。??

注意 在本题中，A球速度反向，与原速度方向相反，这里要注意规定正方向

，确定各速度的正负，要把矢量运算转化为代数运算。?? 例题2 如图2所示，第一象限存在方向沿y轴负方向的匀强电场，第四象限 存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。物体N质量为m??2=1.0×10????-10?? ??kg??静止

在光滑水平面上，它的右端连接有轻质的弹簧，物体P质量为m??1=2.0×10????-10?? ??kg

??，带电量为q=1.0×10????-5?? ??C??由纵轴上距原点O距离为L=1 ??m??处沿x轴正方向以

初速度v??0=5 ??m/s??的速度射入匀强电场，忽略物体P的重力，物体由x轴上的C点沿与x轴

正方向成θ=60°角的

方向射入匀强磁场，在磁场中偏转后由y轴上的Q点沿垂直于y轴方向离开磁场恰好进入光滑

的水平面并水平向左运行，物体P遇上弹簧后便立刻与弹簧粘连在一起向左运动压缩弹簧，

不考虑物体P与弹簧碰撞时的能量损失及物体P的电荷对物体N，弹簧及地面的影?┫欤?求?? ：??

(1)匀强电场的场强E为多少？?? (2)匀强磁场的磁感应强度B为多少？??

(3)弹簧以后又出现自然伸长时物体P、N的速度分别为多少？??

解析 (1)物体P在C点竖直方向的分速度?? v??y=v??0??tan??θ，?? v??2??y=2aL，??

a=[SX(]Eq[]m??1[SX)]，??

所以E=[SX(]m??1v??2??0??tan????2θ[]2qL[SX)]=7。5×10????-4?? (??N/C??)。??

(2)磁场中轨迹如图3所示，轨迹圆心为O＇，?? 类平抛过程v??y=at，v=[SX(]v??0[]??cos??θ[SX)]，?? 水平射程L????OC??=v??0t，??

磁场中轨迹半径R=[SX(]L????oc??[]??sin??β[SX)]，β

=0，??

Bqv=m??1[SX(]v??2[]R[SX)]，??

所以B=[SX(]m??1v??0??tan????2θ[]2qL[SX)]=1.5×10????-4?? (??T??)。??

(3)对m??1、m??2为系统，取水平向左方向为正方向?? m??1v=m??1v??1+m??2v??2，??

[SX(]1[]2[SX)]m??1v??2=[SX(]1[]2[SX)]m??1v??2??1+[SX(]1[]2[SX)]m??2v??2??2 ,??

联立得：v??1=[SX(]10[]3[SX)] ??m/s??,?? v??2=[SX(]40[]3[SX)] ??m/s????

表示由弹簧压缩到最短时恢复到自然伸长的状态，?? v??1′=10 ??m/s???? v??2′=0??

表示由弹簧拉长到最长时恢复到自然伸长的状态。?? 反思：两物体通过弹簧相互作用过程中满足系统动量守恒，当弹簧再次恢复原长时，两物体

的总动能保持不变，此过程类似于弹性碰撞过程，所以可以用弹性碰撞的数据处理办法进行

计算。但用上述方法计算时，只能得到一组解v??1=[SX(]10[]3[SX)] ??m/s??,v??2=[SX(]4

0[]3[SX)] ??m/s??(同学们可自行计算)。造成这种结果的 原因是因为两物体间的真正弹性碰撞只能发生一次，所以得到的数据结果只能是唯一的，上

述方法是根据二次方程计算去掉一个解的结果。但在本题中，两物体相互作用过程虽然类似

于弹性碰撞，但与真正的碰撞还有区别，即两物体通过弹簧可以进行多次“弹性碰撞”。所

以得到的数据结果可能不是唯一的。事实上，我们可以定性做出两物体相互运动过程的速度

时间图象(如图4所示)，从而可以确定当弹簧再次恢复原长时两物体存在两组解。

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