2013新课标Ⅱ卷高考数学文科试题及解析

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

文科数学

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第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合M={x| 3 x 1}，N=｛ 3， 2， 1，0，1｝，则M∩N=

（A）｛ 2， 1，0,1｝ （B）｛ 3， 2， 1，0｝ （C）{ 2， 1，0} （D）{ 3， 2， 1 } 2．|

|=

（B）2

（C

（D）1

（A

）3．设x，y满足约束条件

，则z 2x 3y的最小值是

（A）

（B）－6 （C） （D）－3

4．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为

（A）2

+2

（B）

+1

（C）2

－2

（D）

－1

x2y25．设椭圆C:2 2 1(a b 0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点PF2 F1F2, PF1F2 30 ，

ab

则C的离心率为

（A）

（B） （C） （D）

6．已知sin2

2 2

，则cos( ) 34

（A） （B） （C） （D）

7．执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=

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（A）1

（B）1+

（C）1++++ （D）1++8．设a=log32,b=log52,c=log23,则

（A）a＞c＞b （B） b＞c＞a

++

（C）c＞b＞a （D）c＞a＞b

9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为

(A) (B) (C)

2

(D)

10．设抛物线C: y 4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为 （A） y x 1或y x 1 （B）y

x 1)或y x 1) （C）y x 1)或y x 1) （D）y

3

2

x 1)或y x 1) 22

11．已知函数f(x) x ax bx c，下列结论中错误的是

（A） x0 R，f(x0) 0

（B）函数y f(x)的图像是中心对称图形

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（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间( ,x0)上单调递减 （D）若x0是f(x)的极值点，则f'(x0) 0

x

12．若存在正数x使2(x a) 1成立，则a的取值范围是

（A）（ ∞，+∞） （B）( 2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（ 1，+∞）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________.

14．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的 中点，则AE BD ________.

15．已知正四棱锥O-ABCD

________.

16．函数y cos(2x )( )的图像向右平移则| | ___________.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知等差数列 an 的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列。 （Ⅰ）求 an 的通项公式； （Ⅱ）求a1 a4 a7 a3n 2。

18．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点. （1） 证明： BC1//平面A1CD;

（2） 设AA1= AC=CB=2，

AB=C一A1DE的体积

.

O为球心，OA为半径的球的表面积为

个单位后，与函数y sin(2x )的图像重合，

32

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19．（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售

出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以X（单位：t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. （Ⅰ）将T表示为X的函数；

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.

20． (本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x

轴上截得线段长为y轴上截得线

段长为 （Ⅰ）求圆心P的轨迹方程; （Ⅱ）若P点到直线y

x的距离为

21．(本小题满分12分)

己知函数f(x) xe

(I)求f(x)的极小值和极大值；

(II)当曲线y f(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围.

请从下面所给的22,23,24三题中选定一题作答.并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选修4—1几何证明选讲：如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E,F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE DC AF，B,E,F,C四点共圆． （Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DB BE EA，求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

2 x

，求圆P的方程. 2

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23．（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

已知动点P,Q都在曲线C:

x 2cos

( 为参数)上，对应参数分别为 与 2 (0 2 )，

y 2sin

M为PQ的中点．

（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；

（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为 的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 设a,b,c均为正数，且a b c 1，证明：

1a2b2c2

（Ⅰ）ab bc ca ； （Ⅱ） 1．

3bca

参考答案

一、选择题

1．C【解析】因为M {x 3 x 1}，N2．C【解析】

{ 3, 2, 1,0,1},所以M N { 2, 1,0}，选C.

22(1 i)2(1 i)2

C. 1 i，所以

1 i1 i(1 i)(1

i)2

3．B【解析】由z=2x-3y得3y=2x-z，即y

2z

x .作出可行域如图

33

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平移直线y

2z2z2z

由图象可知当直线y x 经过点B时，直线y x 的截距最大，此时z取x ，

333333 x y 1 0 x 3

得 ，即B(3,4),代入直线z=2x-3y得z 3 2 3 4 6，选B.

x 3y 4

得最小值，由

4．B【解析】因为B

6

,C

4

,所以A

7 bc

.由正弦定理得，解得c

12sinsin64

的面积为

117 7 11

.

因为sin sin( ) )，

bcsinA 2 1234222222212

所以

11

bcsinA ) 1，选B. 2222

5．D【解析】因为PF2 F1F2, PF1F2 30,

所以PF2 2ctan30

c,PF1 c.

33

又PF1 PF2

c

2a，所以 ，选D.

a333 1 cos2( )1 cos(2 )1 sin2 2

6．A【解析】因为cos( ) ，所以

4222

2

1 sin2 1，选A. cos2( ) 4226

1

7．B【解析】第一次循环，T 1,S 1,k 2；第二次循环，T

11

,S 1 ,k 3；第三次循环，22

T

1111111

,S 1 ,k 4，第四次循环，T ,S 1 ,k 5，此时2 322 32 3 422 32 3 4

111

，选B.

22 32 3 4

11

lg321 ， 1，log52 1，又o所以c最大。又1 log23 log25，

log23log25

满足条件输出S 1

8．D【解析】因为log32

所以

11

，即a b，所以c a b，选D. log23log25

9．A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O ABC的直观图，以zOx平面为投影面，则得到正

视图(坐标系中红色部分),所以选A.

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2

10．C【解析】抛物线y=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2 因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，所以x1=3，x2=

1

y12 12，

，当x1=3时，所以此时y1 ，

若y1

3

则A(3,B(,13。

若y1 ，

则,此

时kAB ,此时直线方程

为y (x 1)

1A(3 ,3B),

此时)kAB

此时直线方程为y x 1)。所以l

的方程是y x

1)

33

或y x 1)，选C

11．C【解析】若c 0则有f(0) 0，所以A正确。由f(x) x ax bx c得f(x) c x ax bx，

3

2

3

2

因为函数y x ax bx的对称中心为（0,0），所以f(x) x ax bx c的对称中心为(0,c),所以B正确。由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间（-∞,

3232

x0）单调递减是错误的，D正确。选C.

12．D【解析】因为

2x 0，所以由2x(x a) 1得x a

1

2 x，在坐标系中，作出函数x2

f(x) x a,g(x) 2 x的图象，当x 0时，g(x) 2 x 1，所以如果存在x 0，使2x(x a) 1，

则有 a 1，即a 1，所以选

D. 13.

12

【解析】从5个正整中任意取出两个不同的数，有C5 10种，若取出的两数之和等于5，则有5

21 。 105

(1,4),(2,3)，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为

1

14. 2 【解析】在正方形中，AE AD DC,BD BA AD AD DC,所以

2

1 21 21

AE BD (AD DC) (AD DC) AD DC 22 22 2。

222

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15. 24 【解析】设正四棱锥的高为h

，则 h

13

2

，解得高h 。则底面正方形的对

22

OA

所以球的表面积为4 2 24 . 16.

5

【解析】函数y cos(2x )，向右平移个单位，得到y sin(2x )，即y sin(2x 6332

向左平移

个单位得到函数y cos(2x )，y sin(2x )向左平移个单位，得

322

y sin[2(x ) ] sin(2x ) sin(2x ) cos( 2x )

233323 cos(2x

三 解答题

17．【解析】（Ⅰ）设｛an｝的公差为d，由题意，a112 a1a13，

即(a1 10d)2 a1(a1 12d)，于是d(2a1 25d) 0，又a1=25，所以d 0（舍去）或d 2， 故 an 的通项公式为an 2n 27. （Ⅱ）令Sn a1 a4 a7 a3的等差数列，从而Sn

n2

5 5

。 )，即

66

,则由（Ⅰ）知a3n 2 6n 31，故 a3n 2 是首项为25，公差为 6

nn

(a1 a3n 2)=( 6n 56)= 3n2 28n. 22

本题第（Ⅰ）问，由基本量的计算，可以得出公差d，从而由等差数列的通项公式求出an;第（Ⅱ）问,在等差数列 an 中，每隔两项拿出一项得到的新数列仍成等差数列，公式差为3d，可以等差数列的前n项和公式求出结果.对第（Ⅰ）问，基本量的计算是高考常考的一个重点内容，注意细心计算确保正确率；

准确解答第（Ⅱ）问的关键是熟练等差数列的性质以及前n项和公式.

【考点定位】本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查分析问题、解决问题的能力

18．【解析】（Ⅰ）连结AC1，交AC1于点F，连结DO，则F为AC1的中点， 因为D为AB的中点，所以FD∥BC1，

又因为FD 平面ACD，BC1 平面ACD，所以BC1 //平面ACD； 111

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（Ⅱ）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB， D为AB的中点，所以CD⊥AB，又AA1 AB A， 于是CD⊥平面ABB1A1，即CD是三棱锥C一A1DE的高， 由AA1= AC=CB=2，

ACB 90 ，

，A1D

故A1D2 DE2 A1E2，即DE⊥A1D

，所以VC A1DE

DE ，A1E 3，

11

1. 32

本题第（Ⅰ）问，以直三棱为载体，证明空间的线面平行，可以应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件;第（Ⅱ）问,求三棱锥的体积，可以证明CD⊥平面ABB1A1，即CD是此三棱锥的高，底面为直角三角形，从而可求出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件BC1 平面A1CD；对第（Ⅱ）问，注意步骤，必须先证明哪个是三棱锥的高，然后再分步求出高与底面积，代入体积公式求出结果.

【考点定位】本小题以直三棱柱为载体，主要考查空间中的直线与直线、直线与平面位置关系的证明、三棱锥体积的求解，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、分析问题与解决问题的能力. 19．【解析】（Ⅰ）当x [100,130)时，T 500x 300(130 x)=800x 39000， 当x [130,150)时，T 500 130 65000， 所以T

800x 39000,100 x 130

.

65000,130 x 150

（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57000元，当且仅当120 x 150，由直方图知需求量x [120,150)的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

本题第（Ⅰ）问，讨论自变量x的取值范围,最后写成分段函数形式.本题的易错点是第（Ⅰ）问忘记讨论自变量的范围.

【考点定位】本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

20．【解析】（Ⅰ）设P(x,y),圆P的半径为r，由题设y 2 r，x2 3 r2，从而y 2 x2 3. 故P点的轨迹方程为y x 1

2

2

2

2

2

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22222

，即x y 2xy 1，又由（Ⅰ）知y x 1，所以解得x xy，

2

2

2

2

当x 0时，y 1，r2 3，此时圆P的方程为x (y 1) 3或x (y 1) 3； 当x y时，因为y x 1，所以不合题意，

综上所述，圆P的方程为x (y 1) 3或x (y 1) 3

本题第（Ⅰ）问，设圆心P(x,y),然后由圆中的重要直角三角形结合已知条件列出两个等式，化简即可得到;第（Ⅱ）问,

2

2

2

2

22

，再结合（Ⅰ），即可求出圆心P的坐标与圆

的半径，从而写出圆的方程.对第（Ⅰ）问，一部分同学不知道如何下手,想不到那个圆中的重要直角三角

形，所以在复习时，要多注意规律方法的总结；第（Ⅱ）问,容易漏解，所以在日常复习时，要加强计算能力.

【考点定位】本小题主要考查轨迹方程的求解、圆的方程的求法，考查分类讨论思想、转化与化归思想，考查分析问题与解决问题的能力.

21．【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为R，f(x) ex(x 2)①，

所以令f(x) e(2x x) 0得：x2 2x 0，解得0 x 2；令f(x) 0，解得x 0或x 2，所以f(x)在( ,0),(2, )上单调递减，在(0,2)上的点递增， 故当x 0时，f(x)

取得极小值。极小值

当x 2时，f(x)f(0) 0；

取得极大值，极大值为

f(2) 4e 2；

'

x

2

'

'

x

（Ⅱ）设切点为(t,f(t))，则l的方程为y f (t)(x t) f(t) 所以l在x轴上截距为m(t) t

f(t)t2

t t 2 3 f (t)t 2t 2

由已知和①得t ( ,0) (2, ) 令h(x) x

2

则当x (0, )时，h(x

)的取值范围为 )；当x ( ,2)时，h(x)的(x 0)，

x

取值范围是( , 3).

所以当t( ,0) (2, )时，m(t

)的取值范围是( ,0) 3, )。 综上，l在x

轴上截距的取值范围是( ,0) 3, ).

本题第（Ⅰ）问，要求函数f(x)的极值，先求函数f(x)的定义域、导数、判断导数的正负，可以得出结果;第（Ⅱ）问,先由导数小于0，解得x的取值范围，然后结合直线的截距式方程写出直线，即可求出。对第（Ⅰ）问，一部分同学们容易忽视定义域的求解；第（Ⅱ）问,一部分同学找不思路，所以在日常复习中，要加强导数基本题型的训练.

【考点定位】本小题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.

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22．【解析】（Ⅰ）因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以 DCB A，由题设知

BCDC

，

FAEA

故 CDB∽ AEF，所以 DBC EFA，因为B、E、F、C四点共圆，所以 DBC CFE， 故 EFA CFE 90 ，所以 CBA 90 ，因此CA是△ABC外接圆的直径. （Ⅱ）设DB=BE=EA=a，则由切割线定理可得：

DC2 DB

DA，解得DC ，由（1）知：CA是△ABC外接圆的直径，所以CB DA，AC⊥CD，

2)

1解得

，

，所以过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC

=. 22

本题第（Ⅰ）问，由两个三角形相似可得出角相等,再由四点共圆,得出 CBA 90 ,从而得证;第（Ⅱ）问,由切割线定理以及B、E、F、C四点共圆,可以得出两圆的半径,从而得出面积的比值.对第（Ⅰ）问，不容易找到这两个三角形相似;第（Ⅱ）问中两个圆半径的求出容易出错.

【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、圆内接四边形、勾股定理等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力.

23．【解析】（Ⅰ）由题意有,P(2cos ,2sin ), Q(2cos2 ,2sin2 ),

因此M(cos cos2 ,sin sin2 ), M的轨迹的参数方程为

x cos cos2

,( 为参数,0 2 ).

y sin sin2

（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为

d 2 )，

当 时，d 0，故M的轨迹过坐标原点.

本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）

问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错. 【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.

24．【解析】（Ⅰ）由a2 b2 2ab，c2 b2 2bc，a2 c2 2ac得：

a2 b2 c2 ab bc ca，由题设得(a b c)2 1，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1，所以

3(ab bc ca) 1，即ab bc ca

1

. 3

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a2b2c2

（Ⅱ）因为 b 2a， c 2b， a 2c，

bca

a2b2c2a2b2c2

所以 (a b c) 2(a b c)，即 a b c，

bcabca

a2b2c2

所以 1.

bca

本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.

【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/14ei.html