正交矩阵

正交矩阵的作用

引言

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.

首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义

定义1 n阶实矩阵A，若满足A?A?E，则称A为正交矩阵. 定义2 n阶实矩阵A，若满足AA??E，则称A为正交矩阵. 定义3 n阶实矩阵A，若满足A??A?1，则称A为正交矩阵. 定义4 n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质

设A为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A∣=±1，A-1存在，并且A-1也为正交矩阵； <2>A′，A*也是正交矩阵；

当∣A∣=1时，A??A*，即aij?Aij；

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当∣A∣=-1时,A???A*,即aij??Aij.

<3>若B也是正交矩阵，则AB,A?B,AB?,A?1B,AB?1都为正交 矩阵.

证明 <1>显然 A??1

(A?1)???A???(A?1)?1 所以A?1也是正交矩阵.

?1<2>A??A?1，显然A?为正交矩阵.

A*由 A??1，A??A?

A?1当 A?1时，A??A*，即aij?Aij 当 A??1时，A???A*，即aij??Aij 所以A*为正交矩阵. <3>由A??A?1 ，B??B?1 可知

(AB)??B?A??B?1A?1?(AB)?1

故AB为正交矩阵.由<1>,<2>推知A?B,AB?,A?1B,AB?1均为正交矩阵.

正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果?是它的特征值，那么也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.

运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.

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1?二.正交矩阵的作用

（一）正交矩阵在线性代数中的作用

在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.

设向量W?(w1,w2,?,wn)? ，令s?wi2?w2， j(j?i)c?wis,d?wjs，则称n阶矩阵

?1???????c?d???i行??Tij???? ??d?c???j行??????????1???i列j列为初等旋转矩阵.

初等旋转矩阵Tij，是由向量W的第i,j两个元素定义的，与单位矩阵只在第i,j行和第i,j列相应的四个元素上有差别.

设Tij是由向量W定义的初等旋转矩阵(j?i)，则有如下的性质： 〈1〉Tij是正交矩阵； 〈2〉设TijW?(u1,u2,?,un)? 则有 ui?s,uj?0,uk?wk(k?i,j)；

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〈3〉用Tij左乘任一矩阵A，TijA只改变A的第i行和j行元 素（用Tij右乘任一矩阵A，ATij只改变A的第i列和j列元素）.

证明 〈1〉?c?d?22(wi2?w2j)s2?1，故Tij?Tij?E，Tij是正交矩

阵.

〈2〉由Tij的定义知，用Tij左乘向量W，只改变W的第i,j两个元素，且

ui?cwi?dwj?wi2?swjwiw2js?s

s?0

uj??dwi?cwj??s?wiwj所以Tij左乘W，使TijW的第i个分量非负，第j个分量为0，其余分量不变.

〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.

引理1 任何n阶实非奇异矩阵A?(aij)n?n，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.

定理1 设P是n阶正交矩阵

?1?若P?1，则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，

即P?PP12?Pr；

2若P??1，则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右

乘以矩阵E?n，即P?PP12?PrE?n，其中Pi（i=1,2,…r）是初等旋转矩

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阵.

?1???1??? ?????1????1???n?n

E?n证明 由于P是n阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵S1,S2,?Sr使SrSr?1?S2S1P?R这里R是n阶上三角阵，而且R的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有

??Sr?R （1） P?S1?S2由P是正交矩阵和（1）式得

P?P?R?Sr?S1S1??Sr?R?E 即 R?R?E （2）

?r11r12??r1n???r??r222n?其设 R=?????????rnn???r11?r12?则R?R?????r?1nr22?r2n???????rnn??rii>0(i=1,2,…n-1)

?r11r12?r1n?????1r?r??222n??=?1? ?????????????rnn?1?????由上式得

?0?1?rij???1???1i?j,i?j,i?j?n且i?j?n且i,j?1,2,?,n?1P?1P??1

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1o ?a,b,c?G,(a?b)?c?a?(b?c)； 2o ?a?G,?e?G,ste?a?a?e?a；

3o ?a?G,?a?1?G,sta?1?a?a?1?a?e； 则称G是一个群.

定义7 如果G是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u： G?G?G； 求逆运算 v： G?G； 是连续映射，就称G为拓扑群.

根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n阶正交矩阵作成的集合O(n)构成拓扑群.

〈1〉 全体n阶正交矩阵作成的集合O(n)构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n阶正交矩阵作成的集合O(n)构成一群. 〈3〉 全体n阶正交矩阵作成的集合O(n)构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M表示所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合，以A=(aij)表示M的一个代表元素.我们可以把M等同于n2维欧氏空间E(a1n2，也就是将

a,?2a,n11A=(aij)对应于E2n2的点

21,a?1,n2a,nn,2a?,a,a,,)EE.是点集的子集族，则和?2nn?都属于?，?中任意个集的并集属于?，?中有穷个集的交集也

属于?，可以验证En构成一拓扑空间，从而M成为一个拓扑空

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2间.O(n)是所有具有实元素的n阶正交矩阵，所以是M的子集合，于是由M的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而O(n)构成M的一个子拓扑空间.

〈2〉1o ?A,B,C?O(n) 由于矩阵的乘法满足结合律，所以

(AB)C?A(BC)

2o ?En?O(n),st ?A?O(n),EnA?AEn?A

3o ?A?O(n),?A?1?A?,st A?1A?A?A?AA?1?AA??E

所以正交矩阵作成的集合 O(n)对于乘法运算可构成一群.

〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M的拓扑，定义矩阵乘法

m：M?M?M

设?A?(aij),B?(bij)，则乘积m（A，B）的第ij个元素是?aikbkj.现在Mk?1n具有乘积空间E1?E1???E1(n2个因子）的拓扑，对于任何满足我们有投影映射?ij:M?E1，将矩阵A映为它的第ij1?i,j?n的i,j，

个元素.合成映射?ijm:M?M?M?E1，将A和B的乘积m（A，B）映为它的第ij个元素.现在?ijm(A,B)??aikbkj是A与B的元素的多项

k?1n式，因此?ijm连续，投影映射?ij是连续的，从而证明映射m是连续的.因为O(n)具有M的子空间拓扑，是M的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射m:O(n)?O(n)?O(n)也是

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连续的.

O(n)中的矩阵可逆，定义求逆映射f:O(n)?O(n)，

?A?O(n)f(A)?A?1.由于合成映射?ijf:O(n)?O(n)?E1，将?A?O(n)映为

，A?1的第ij个元素，即A?的第ij个元素，由正交矩阵的性质〈2〉

AAA*A??，所以aji?ji，即?ijf(A)?ji，A的行列式及

AAAA的代数余子

式都是A内元素的多项式，且A?0，所以?ijf为连续的，而投影映射?ij为连续的，所以求逆映射f:O(n)?O(n)为连续的.

至此，O(n)又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n阶正交矩阵作成的集合O(n)构成一拓扑群，称它为正交群. （2）O(n)是紧致lie群

在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.

定义8 设G为拓扑群，G的拓扑为n维实（或复）解析

?1流形，且映射(g1,g2)?g1g2 ?g1,g2?G 为解析流形G?G到G上的

解析映射，则称G为n维lie群.

定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.

证明 ?A?M（所有具有实元素的n阶矩阵作成的集合），A对应n2维欧氏空间En的点?(a11,a12,?a1n,a21,?a2n,a31,?ann)，M可作为n2维欧氏空间.A的行列式detA为元素a11,a12,?a1n,a21,?a2n,a31,?ann的

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2解析函数，

?A?MdetA?0?为M的闭子集，因此

M*?M\\?A?MdetA?0?为M中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知

道M*为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故M*为n2O(n)为lie群. 维lie群.O(n)为M*的闭子集，按诱导拓扑为子流形，

为了证明O(n)紧致，根据定理内容，只要证明M等同于En时，

O(n)相当于E内的有界闭集.设 ?A?O(n)，由于AA??E有

n22?abj?1nijkj??ik 1?i,k?n

对于任意的 i,k，定义映射

fik:M?E ?A?M fik(A)??aijbkj

1nj?1则O(n)为下列各集合的交集 fik?1(0) 1?i,k?n i?k fii?1(1) 1?i?n

由于fik(1?i,k?n)都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此

O(n)是M的闭集.由于?aijbij?1，因此O(n)是M的有界闭集，这就证

j?1n明了O(n)的紧致性.

在拓扑结构上是紧致的lie群，我们称为紧lie群，所以O(n)为紧lie群.

（3）O(n)是不连通的

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定义9 设X是一个拓扑空间，X中存在着两个非空的闭子集

A和B，使A?B?X和A?B??成立，则称X是不连通的.

证明 我们再设SO(n)是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det：SO(n)?E1是连续映射，而我们知道单点集?1?是E1的闭集，SO(n)?det?1(1)，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以SO(n)也为闭集.SO(n)为O(n)的闭集,同理，我们也可以证明S是闭集.因为

SO(n)?S?O(n)， SO(n)?S??,而SO(n)和

S是闭集，有不连通的定义

我们可以直接证明O(n)是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用

在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为?k??cki?ii?1,2,?n;k?1,2,?，?k为新的杂化轨道，?i为参加杂化

i?1n的旧轨道，cki为第k个杂化轨道中的第i个参加杂化轨道的组合系数.

在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：

〈1〉杂化轨道的归一性

杂化轨道?k(k?1,2,?n)满足??k?kd??1.

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致谢 本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢. 我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行. 我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励. 我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.

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