上海交通大学版大学物理学习题答案之8机械波习题思考题

习题

8-1. 沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后

?6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。

?6，?x?2m

解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?而相位和波长之间又满足这样的关系：????2??1??x2?x1?2????x?2?

代入数据，可得：波长λ=24m。又已知 T=2s，所以波速u=λ/T=12m/s

8-2． 已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为

y?Acos(?t??)，波速为u，求:

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

解：（1）根据题意，距坐标原点O为x1处P点是坐标原点的振动状态传过来

x1u的，其O点振动状态传到p点需用 ?t?xu，也就是说t 时刻p处质点的振动

状态重复t?x1u 时刻O处质点的振动状态。换而言之，O处质点的振动状态相当

于t? 时刻p处质点的振动状态，则O点的振动方程为：

y?Acos[?（t?x1ux1u?）??] 波动方程为：

y?Acos[?（t?x?x1x）??]?Acos[?(t?)??] uu（2）若波沿x轴负向传播， O处质点的振动状态相当于t?x1u 时刻p处质点的

振动状态，则O点的振动方程为：y?Acos[?（t?波

y?Acos[?（t?x1u?x1u）??]

动方程为：

x?x1x）??]?Acos[?(t?)??] uu

8-3. 一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知

A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出：

（1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，它的振动是O点传过来的，所以O点的振动方程为：y?Acos[2??（t?那么该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t?lu?xu）??]

lu）??]

（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：

y?Acos[2??（t?lu?d?lu）??]?Acos[2??（t?du）??]

也可以根据B点的振动经过

du时间传给A点的思路来做。

8-4. 已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?期T为2s.

（1）写出O点的振动表达式；

（2）写出该波的波动表达式；

13s时的波形如图所示，且周

（3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知A=0.1m，λ=0.4m，由题知T= 2s，ω=2π/T=π，而u=λ/T=0.2m/s。 波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+Ф0］m 关键在于确定O点的初始相位。 （1） 由上式可知：O点的相位也可写成：φ=πt+Ф0

由图形可知： t?将此条件代入，所以：

2?313s时y０=-A/2，v０＜0，∴此时的φ=2π／3， ??13??0 所以?0??3

O点的振动表达式y=0.1cos［πt+π/3］m

（2）波动方程为：y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］m （3）A点的振动表达式确定方法与O点相似由上式可知：

A点的相位也可写成：φ=πt+ФA0

由图形可知： t?13s时y０=0，v０>0，∴此时的φ=-π／2，

将此条件代入，所以：??2??13??A0 所以?A0??5?6

A点的振动表达式y=0.1cos［πt-5π/6］m

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程，与（3）结果相同，所以： y=0.1cos［π(t-x/0.2)+π/3］= 0.1cos［πt-5π/6］

可得到：xA?

8-5. 一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。

解：由图可知A=0.5cm，原点处的振动方程为：y=Acos（ωｔ＋φ）

730?0.233m

t=0s时 y=A/2 v>0 可知其相位为φ1=? t=1s时 y=0 v<0 可知其相位为φ2= 代入振动方程， φ=??3

?2

?3

ω＋φ=

可得：ω=

5?6?2

T=2π/ω=12/5

5?6轴

则 y=0.5cos（（

2

）

沿

xｔ-

?3）cm 方

向

传

播

，

波

动

表

达

式

：

负

y=0.5cos[5?x?5?5?(t+)-]=0.5cos[(t+x)-]a cm 6u36434825m ?x?2524（3）根据已知的T=12/5，u?0.8m/s，可知：??那么同一时刻相距1m的两点之间的位相差：???2?

???3.27rad

8-6. 一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为

9.0?10?3J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和

最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：(1)∵ I=wu ∴w?Iu=9.0×10-3／300=3×10-5 J·m-3

wmax=2w=0.6×10-4 J·m-3 (2) W=?V?w-5

14?-7

=3×10×1π/4×（0.14）×300/300=4.62×10 J

4２

?d??w21?d2u

8-7. 一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?103?4m，频

率??103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3，求：

（1）该波的平均能流密度；

（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10?4m2的总能量。 解：ω=2πγ=2π?103

I?（1）

12u?A?522?122?10?800?（103?4）（2??10）

232?1.58?10J（/m?s）（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10?4m2的总能量 W=ISt?1.58?10?4?10

8-8. S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为

d?5?/4，S2质点的振动比S1超前?2. 设S1的振动方程为2?y10?Acost，且媒质无吸收，

T5?4?60?3.79?10J

3（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；

（2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：（1）y1?Acos(?t??10?由题意：φ20-φ10=

?22??r1) y2?Acos(?t??20?2??r2)

设它们之间的这一点坐标为x，则 2?x)

y1?Acos(?t??10??

y2?Acos[?t??10??2?2?52? （??x）]?Acos（?t??10?x）?4?2?2?T相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成为驻波。 合成波为：y?y1?y2?2Acos?xcost

（2） 在S1左侧的点距离S1为x： y1?Acos(?t??10?y2?Acos[?t??10?2??x)

?2?2?52? （??x）]?Acos（?t??10?x）?4?tT?）

?2??x) ?x合成波为：y?y1?y2?2Acos2?（在S2右侧的点距离S1为x： y1?Acos(?t??10y2?Acos[?t??10??2?2?52?（x??）]?Acos（?t??10?x） ?4?两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

8-9. 设S1与S2为两个相干波源，相距

14波长，S1比S2的位相超前

?2。若

两波在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？ 解：由题意：φ1-φ2=

?2 ， r1

在S1左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， A S1 S2 ?φ=?2??1?2?r2?r1???2

??2?1/4????? r2 r2

所以A=A1-A2=0，I=0； S1 S2 A 在S2左侧的点： AS1=r1， AS2=r2， r1

?φ=?2??1?2?r2?r1????2?2??1/4???0

所以A=A1+A2=2A，I=4I0；

8-10. 测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率?，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：u?2?d。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x??2，再根据已知条件：

量度相邻波节间的平均距离d，所以：d?所以波速u????2?d

?2 那么：??2d

S为8-11. 图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。

声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x??2

相邻波节与波腹的间距：?x??4可得：??4?x?6.6cm

u340?2声音的速度在空气中约为340m/s，所以：???6.6?10根据强度是振幅的平方的关系：声音强度在B的第一位置时为极小值100单位， 在第二位置有极大值900单位，所以振幅的相对大小为10与30单位。极小值的

??5151（hz）。

原因是两个振幅相减（A1-A2=10 ） ，极大值的原因是两个振幅相加（A1+A2=30 ）。 那么A1：A2=2：1 。

8-12. 绳索上的波以波速v?25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m，t?0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：

（1）驻波的表示式；

（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：?x??2，如果绳的两端固定，那

么两个端点上都是波节，根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，?x?4?所以??2?u?2?2，所以波长??1m，v?25m/s，

??50?（hz）。又已知驻波振幅为0.1m， t?0时绳上各点均经

?过平衡位置，说明它们的初始相位为

2，关于时间部分的余旋函数应为

cos（50?t??2）。

（50?t?所以驻波方程为：y?0.1cos2?xcos?2）

（2）由合成波的形式为：y?y1?y2?2Acos可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：

2?x?cos2??t

y1?0.05cos（50?t?2?x） y2?0.05cos（50?t?2?x??）

8-13. 弦线上的驻波波动方程为：y?Acos(量线密度为?.

（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置。 （2）分别计算0??22??x??2)cos?t. 设弦线的质

半个波段内的振动势能、动能和总能量。

2?x?解：（1）振动势能和动能总是为零的各点位置是cos(即：

2?x??2?）?0的地方。

???（2k?1）

22k?2?可得：x??2，?3?） （k=0，?1，（2）振动势能写成：

dWp?12?2k(dy)?212?dVA?cos（2222??x??2）cos?t

20?半个波段内的振动势能：

?Wp???212?02k(dy)?22?2120?dxA?cos（2222??x??2）cos?t2?8?A?cos?t2dWk?0?12dmv2?12?dVA?cos（2222??x??2）sin?(t?2xu)

?2?2半个波段内的振动动能：

WK???12?02(dmv）?22?2120?dxA?sin（2222??x??2）sin?t

2?8?A?sin?t2所以动能和势能之和为：

W?Wk?Wp?

?8?A2?2

8-14. 试计算：一波源振动的频率为2040Hz，以速度vs向墙壁接近（如图所示），观察者在A点听得拍音的频率为???3Hz，求波源移动的速度vs，设声速为340m/s。

解：根据观察者不动，波源运动，即：uS?0,uR?0，观察者认为接受到的波数变了：??uu?uS?0

?0?2040。其中u=340，??2043，分别代入，可得：

uS?0.5m/s

8-15. 光在水中的速率为2.25?108m/s (约等于真空中光速的3/4).在水中有一束来自加速器的运动电子发出辐射[称切连科夫(Cherenkov)辐射]，其波前形成顶角116?的马赫锥，求电子的速率． 解： sinα2?uvs

vs?usinα2?2.25?10sin1162?8?2.65?10ms

8

思考题

8-1. 下图（a）表示沿x轴正向传播的平面简谐波在t?0时刻的波形图，则图（b）表示的是：

（a）质点m的振动曲线 （b）质点n的振动曲线 （c）质点p的振动曲线 （d）质点q的振动曲线

答：图（b）在t=0时刻的相位为

?2，所以对应的是质点n的振动曲线，选择b。

8-2. 从能量的角度讨论振动和波动的联系和区别。.

答：（1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零。而振动中动能的增加必然以势能的减小为代价，

两者之和为恒量。

（2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。质元处在媒质整体之中，沿波的前进方向，每个质元从后面吸收能量，又不停的向前面的质元释放能量，能量得以不断地向前传播。而一个孤立振动系统总能量是守恒的。

8-3. 设线性波源发射柱面波，在无阻尼、各向同性的均匀媒质中传播。问波的强度及振幅与离开波源的距离有何关系？

略

8-4. 入射波波形如图所示，若固定点O处将被全部反射。 （1）试画出该时刻反射波的波形； （2）试画该时刻驻波的波形；

（3）画出经很短时间间隔?t（<

略

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