高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版(A)知识

高二数学导数的定义、求导的公式、切线（理）人教实验版（A）

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

导数的定义、求导的公式、切线

二. 重点、难点： 1. 定义：f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim

?x?0?x?x?0?x2. 初导函数的导数公式 （1）f(x)?c ∴ f?(x)?0 （2）f(x)?xn ∴ f?(x)?n?xn?1 （3）f(x)?sinx ∴ f?(x)?cosx （4）f(x)?cosx ∴ f?(x)??sinx

（5）f(x)?ax ∴ f?(x)?axlna（a?0且a?1） （6）f(x)?logax ∴ f?(x)?logae?3. 导数运算

（1）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g?(x)

（2）[f(x)?g(x)]??f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) （3）[1 xf(x)f?(x)g(x)?f(x)?g(x) ]??g(x)g2x??（4）y?x?yuux

4. y?f(x)在x?x0处的切线方程

y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

【典型例题】

2[例1] 利用导数的定义求函数y?x的导数，并求该函数在x?3处的导数值。 222解：∵ ?y?f(x??x)?f(x)?(x??x)?x?2x?x?(?x)

∴

?y?y?2x??x 因此f?(x)?lim?2x，从而f?(3)?2?3?6

?x?0?x?x[例2] 已知f(x)在x?a处可导，且f?(a)?b，求下列极限： （1）limh?0f(a?3h)?f(a?h)

2hf(a?h2)?f(a)（2）lim

h?0h解：（1）limh?0f(a?3h)?f(a?h)

2hf(a?3h)?f(a)?f(a)?f(a?h)h?02hf(a?3h)?f(a)f(a)?f(a?h)?lim?limh?0h?02h2h

3f(a?3h)?f(a)1f(a?h)?f(a)?lim?lim2h?03h2h?0?h31?f?(a)?f?(a)?2b22?limf(a?h2)?f(a)f(a?h2)?f(a)?lim[h] （2）limh?0h?0hh2f(a?h)2?f(a)?lim?limh?f?(a)?0?0 2h?0h?0h

[例3] 求下列函数的导数 （1）y?f(x)?32x2?3x?2x12

12113?33?解：f(x)?x?3?x?2?x ∴ f?(x)??x2?x2?x2

22?（2）y?x 21?x(1?x2)?x?(?2x)1?x2解：f?(x)? ?2222(1?x)(1?x)（3）y?f(x)?解：f?(x)?1?sinx

1?cosx?cosx(1?cosx)?sinx(1?sinx)sinx?cosx?1?

(1?cosx)2(1?cosx)2（4）y?f(x)?sinx3?sin3x 解：f?(x)?cosx3?3x2?3sin2x?cosx （5）y?ln(3x2?x?sinx) 解：y??16x?1?cosx(6x?1?cosx)?

3x2?x?sinx3x2?x?sinx（6）f(x)?x?10sinx

解：f?(x)?10sinx?x?10sinx?ln10?cosx （7）y?xx

解：lny?lnxx?x?lnx 同时求导：

[例4] 求曲线y?x2在点P（2，4）处的切线方程。

解：P（2，4）在y?x2上，y??2x,x?2时，f?(x)?k?4

1?y??lnx?1 ∴ y??xx?(lnx?1) yy?4?4(x?2) ∴ 4x?y?4?0

[例5] 曲线y?2x?3x?26在点A处切线的斜率为15，求切线方程。 解：设切点A（x0,y0） y??4x?3 ∴ 4x0?3?15 x0?3 ∴ y0?1 ∴ l切:y?1?15(x?3) ∴ 15x?y?44?0

[例6] 过点P（2，0）且与曲线y?21相切的直线方程。 x解：P不在曲线上，设切点A（x0,y0）

1?y??0x?x0?11?0 l切:y?y0??2(x?x0) ∴ ???x01y?1?0?y??(2?x)?0002?x0?∴ l切:y?1??(x?1) ∴ x?y?2?0

[例7] 求过P（2，－2）与曲线y?3x?x3相切的切线方程。 解：设切点A（a,b） y??3?3x2 l切:y?b?(3?3a2)(x?a)

3??b?3a?a32a?3a∴ ? ∴ +4=0 2???2?b?(3?3a)(2?a)∴ ?

?a??1?a?2 l切:y??2或? l切:9x?y?16?0

?b??2?b??2[例8] 求曲线C1：y?x2，曲线C2:y??(x?2)2的公切线（均相切的直线） 解：公切线l与C1、C2切于A（a,a2）B（b,?(b?2)2）

∴ l1:y?a2?2a(x?a) l2:y?(b?2)2??2(b?2)(x?b)

2??l1:y?2ax?a∴ ? l1,l2为同一条直线 2??l2:y??2(b?2)x?(b?4)?2a??2(b?2)?a?2?a?0或? ∴ 两公切线：y?4x?4,y?0 ???22?b?0?b?2??a?b?4

[例9] 函数f(x)?x(x?1)(x?2)(x?线。

解：x?0,y?0

11)?(x?n)(x?)，求y?f(x)在x?0处的切2n11f(x)?x?[(x?1)(x?2)(x?)?f(x?n)?f(x?)]

2n11f?(x)?[(x?1)(x?2)(x?)?(x?n)?(x?)]?2n

11x?[(x?1)(x?2)(x?)?(x?n)?(x?)]?2nx?0,f?(x)?1 ∴ l切:y?x

3[例10] 关于x的多项式函数y?f(x)，x?R，有f?(x)?f(x)?f?(x)?f(x)?2x?

2x?1。

解：设y?f(x)的最高次数为n ∴ f?(x)的最高次数为n?1

左式最高2n?1次，右次最高n或3次

（1）2n?1?n,n?1（舍） （2）2n?1?3,n?2 ∴ f(x)?ax2?bx?c ∴ f?(x)?2ax?b ∴ f(x)?f?(x)?(ax2?bx?c)?(2ax?b)

?2a2x3?3abx2?(2ac?b2)x?bc

f?(x)?f(x)?2x3?2x?1?2x3?ax2?(2a?b?2)x?(b?c?1)

?2a2?2?a?1?3ab?a??对应系数相等 ∴ ???b?1 2?2ac?b?2a?b?2?c?1??bc?b?c?1?∴ f(x)?x2?x?1

[例11] 已知f(x)?x2?ax?b，g(x)?x2?cx?d且f(2x?1)?4g(x)且

f?(x)?g?(x)且f(5)?30，求g(4)

22解：f(2x?1)?4g(x) ∴ 4x?(4?2a)x?(1?a?b)?4x?4cx?4d

?4?2a?4c(1)∴ ? f?(x)?g?(x) ∴ 2x?a?2x?c

?a?b?1?4d(2)∴ a?c（3） f(5)?30 ∴ 5a?b?5（4） ∴ a?2,b??5,c?2,d??

147 ∴ g(4)? 22【模拟试题】

1. 求下列函数的导数： （1）y?1543x?x?3x?2 535353（2）y?(3x?4x)(4x?3x) （3）y?33x4?4x3 2. 求下列函数的导数 （1）f(x)?xtanx?2 cosx

lnx?2x（2）f(x)? 2x3. 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的。 （1）y?a3x?2

（2）y?ln3ex?2

（3）y?log2(x2?2x?3) （4）y?sin(x2?1) （5）y?ex2?2

（6）y?43?lnx

4. 求下列函数导数 （1）y?ln(6x?4) （2）y?e2x?1 （3）y?2x?1

（4）y?sin(3x?（5）y?cos2x

?4)

5. 已知曲线C：y?3x4?2x3?9x2?4。

（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程；

（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

6. 若f(x)在R上可导，（1）求f(?x)在x?a处的导数与f(x)在x??a处的导数的关系；（2）证明：若f(x)为偶函数，则f?(x)为奇函数。 7. 设y?8sinx，求曲线在点P（

33?62,1）处的切线方程。

8.（2004·全国文）曲线y?x?3x?1在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A. y?3x?4 C. y??4x?3

B. y??3x?2 D. y?4x?5

9.（2004·全国湖北文）已知函数f(x)在x?1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ） A. f(x)?(x?1)?3(x?1) B. f(x)?2(x?1) C. f(x)?2(x?1)

22D. f(x)?x?1

10. 若函数f(x)?exsinx，则此函数图像在点（4，f(4)）处的切线的倾斜角为（ ）

? B. 0 C. 钝角 D. 锐角 2??11. 曲线y?xsinx在点（?,）处的切线与x轴、直线x??所围成的三角形的面积

22 A. 为（ ）

1?2222

A. B. ? C. 2? D. (2??)

2212. 设f0(x)?sinx,f1(x)?f0?(x),f2(x)?f1?(x)，…，fn?1(x)?fn?(x)，n?N，是

f2008(x)等于（ ）

A. sinx B. ?sinx C. cosx D. ?cosx 13. 若点P在曲线y?x?3x?(3?3)x?则角?的取值范围是（ ） A. [0,323上移动，经过点P的切线的倾斜角为?，4??2?2???2?) B. [0,)?[,?) C. [,?) D. [0,)?(,] 223322314. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f?(x)?g?(x)，则f（x）与g（x）满足（ ） A. f(x)?g(x) B. f(x)?g(x)为常数 C. f(x)?g(x)=0 D. f(x)?g(x)为常数

15. y?cotx，则y?等于（ ） A. tanx B. ?tanx C.

11? D. 22sinxsinx试题答案

1. 解析：

1543x?3x?2)?

53154342 ?(x)??(x)??(3x)??(2)??x?4x?3

53（1）y??(x?（2）解法一：y??(3x5?4x3)?(4x5?3x3)?(3x5?4x3)(4x5?3x3)

?(15x4?12x2)(4x5?3x3)?(3x5?4x3)(20x4?9x2)

?60x9?48x7?45x7?36x5?60x9?80x7?27x7?36x5 ?120x9?56x7?72x5

解法二：∵ y?12x10?7x8?12x6 ∴ y??120x9?56x7?72x5 （3）y??(3x?4x)??(3x)??(4x)??4x?6x?43x?6x 2. 解析： （1）f?(x)?[34343321312xsinx2(xsinx?2)?cosx?(xsinx?2)sinx?]'? cosxcosxcos2x(sinx?xcosx)cosx?xsin2x?2sinx?

cos2x?sinxcosx?x?2sinxx2tanx?tanx?? 22cosxcosxcosxlnx2xlnx2x（2）f?(x)?(2?2)??(2)??(2)?

xxxx12?x?lnx?2x2x?ln2?x2?2x?2xx ??44xx(1?2lnx)x?(ln2?x2?2x)?2x? 4x1?2lnx?(ln2?x?2)?2x?

x33. 解析：

（1）y?a,u?3x?2

2u

（2）y?lnu,u?v,v?ex?2 （4）y?sinu,u?x?1

213（3）y?log2u,u?x?2x?3

（5）y?eu,u?x2?2 4. 解： （1）y??（3）y??

（6）y?u,u?3?lnx

143

3x?2

（2）y??2e2x?1

（4）y??3cos(3x?12x?1

?4)

（5）y???sin2x 5. 解析：

（1）把x?1代入C的方程，求得y??4 ∴ 切点为（1，－4），y??12x3?6x2?18x

∴ 切线斜率为k??12 ∴ 切线方程为y?4??12(x?1) 即y??12x?8

?y?3x4?2x3?9x2?4432（2）由?得3x?2x?9x?12x?4?0

?y??12x?82∴ (x?1)(x?2)(3x?2)?0 ∴ x?1,?2,2 3432代入y?3x?2x?9x?4，求得y??4,32,0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，

32），（

2,0） 32,0） 3∴ 除切点外，还有两个交点（－2，32）、（

6. 解析：（1）解：设f(?x)=g(x)，则g?(a)?limg(a??x)?g(a)

?x?0?xf(?a??x)?f(?a)f(?a??x)?f(?a)?lim??lim??f?(?a) ?x?0?x?0?x??x∴ f(?x)在x?a处的导数与f(x)在x??a处的导数互为相反数 （2）证明：f?(?x)?lim?x?0f(?x??x)?f(?x)f(x??x)?f(x)?lim ?x?0?x?x??lim?x?0f(x??x)?f(x)??f?(x)

??x∴ f?(x)为奇函数

7. 解析：y??(8sinx)??8(sinx)??24sinx(sinx)?24sinxcosx

3322∴ 曲线在点P（

?6,1）处的切线的斜率 k?y?|x?2??24sin6?6?cos?6?33

∴ 适合题意的曲线的切线方程为y?1?33(x??6)，即63x?2y?3??2?0

8. B 9. A 10. C 11. A 12. A 13. B 14. B 15. D

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1477.html