2018春中考数学《古诗词中的方程》

数学文化讲堂（二）

九章算术——方程

《九章算术》大约于东汉初年（公元一世纪）成书，共九章，汇总了战国和西汉时期的数学成果，是几代人共同劳动的结晶.书中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.

《九章算术》中记载了下列有代表性的应用问题：

1. “今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问：牛、羊各直金几何？”

译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为__________.

2. “今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里.今载太仓粟输上林，五日三返.问太仓去上林几何？”

译文为：要进行物资运输，空车每天能行70里，车上装满货物后，每天能行50里.现在要把太仓的粟米运到上林，五天的时间运了三趟.问太仓到上林之间的距离是多少里？

1

3. “今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问甲、乙持钱各几何？”

大意是：甲乙二人每人都拿了一些钱，乙把自己一半的钱给甲，甲就有50钱，甲把自己钱的23给乙，乙刚好有50钱.问甲乙各有多少钱？

4. “今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止.问犬不止，复行几何步及之？”

大意是：兔子先跑100步，狗追兔子跑了250步停了下来，这时距离兔子还有30步.问如果狗不停，还要跑多少步能够追上兔子？

孙子算经——方程

《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.成书大约在四、五世纪，也就是大约一千五百年前.传本的《孙子算经》共三卷，卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到了日本，变成了“鹤龟算”.

5. 书中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1

2

匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹,那么可列方程组为( )

A.

B.

C. D.

6. “今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问人与车各几何？” 译文为：每辆车坐3个人，则有两辆车是空的；两个人坐一辆车，则有9个人要步行.问人和车各有多少？

7. “今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸.屈绳量之，不足一尺.问木长几何？”

译文为：有一根木头不知道长短，用绳子量它的长度，绳子比木头长4.5尺.把绳子对折再量，比木头少一尺.问木头多长？

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算法统宗——方程

《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，程大位著，是一部应用数学书，列有595个应用题的数字计算,确立了算盘的用法，是任何一部数学著作都无法相比的.

《算法统宗》中记载了下列应用问题：

8. “以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”

译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺．问绳长、井深各多少尺？” 设井深为x尺，根据题意列方程，正确的是（ ） A. 3（x+4）=4（x+1） B. 3x+4=4x+1

C. 3（x-4）=4（x-1） D.

9. “三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为( ) A. 24里 B. 12里 C. 6里 D. 3里 10. “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 （ ） A.1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 11. 山上有一古寺叫“都来寺”，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗

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饭，4个和尚合喝一碗汤，一共用了364只碗，请问：都来寺里有多少个和尚？

12. 百羊问题：

甲赶羊群逐草茂,乙拽一羊随其后, 戏问甲及一百否?甲云所说无差谬, 所得这般一群凑,再添半群小半群, 得你一只来方凑,玄机奥妙谁猜透?

译文为：一个牧羊人赶着一群羊,有人牵着一只羊从后面跟来,问牧羊人：你这群羊有100只吗?牧羊人说：如果我再有这样一群羊,加上这群羊的一半又一半的一半,连同你这一只羊,就刚好满100只.问牧羊人有多少只羊？

四元玉鉴——方程

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13. 书中记载了这样一首诗：

我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗． 店友经三处，没了壶中酒．借问此壶中，当原多少酒．

（“店友经三处”，意思是，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次.）

问酒壶里原来有酒（ ）

A. 0.5斗 B. 0.75斗 C. 0.8斗 D. 0.875斗

14. 二果问价：

“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”则甜果、苦果的个数分别是（） A. 648、352 B. 650、350 C. 657、343 D. 666、334

田亩比类乘除捷法

宋代杨辉撰，《杨辉算法》中的一种，成书于1275年,书中列出了各种形状的田地求积公式及例题，并结合当时实际需要的问题进行比类.

15. 书中有一题：“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔各几何?”译文为：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？

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一元二次方程的图解法

材料古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解等方法求解.在欧几里得《几何原本》中，就给出了形如x2+ax=b2（a>0,b>0）的方程的图解法是：

如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝,则AD的长就是所求方程的解，显然，用这个方法只能求出其中的一个正根.

16. 请利用你所学的知识，说明该图解法的正确性.

17. 结合上述材料，方程x2-5x+6=0可以用图解法吗？若能，写出求解过程；若不能，请说明理由.

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阿尔·花拉子密

材料阿尔·花拉子密（约780～约850），花剌子模人，著名数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”. 他用以下方法求得一元二次方程x2+2x-35=0的解：

将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x2+2×x×1+1×1，而由x2+2x-35=0变形及x2+2x+1=35+1（如图所示），

即左边边长为x+1的正方形面积为36． 所以（x+1）2=36，则x=5． 问题：

18. 上述求解过程中所用的方法是（ ）

A. 直接开平方法 B. 公式法 C. 配方法 D. 因式分解法 19. 所用的数学思想方法是（ ）

A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 公理化思想

答案

8

1.

2. 解：设空车走x天，重车走y天，则；，太仓到林上间的距离为里.

答：太仓到上林之间的距离为87518里.

，解得

3. 解：设甲有x钱，乙有y钱，得：答：甲有37.5钱，乙有25钱.

，解得；.

4. 解：设狗的速度是x，兔子的速度是y，则，即，设狗还有跑m步才能追上兔子，根据时间关系可知

250?m250?m?100?xy，解得

m=7507?107.1.根据实际情况可知m应取108步.

答：如果够不停，还要跑108步能够追上兔子. 5. C

6. 解：设共有x辆车，根据题意得，3（x-2）=2x+9,解得：x=15,3×（15-2）=39（人）答：有15辆车，39个人.

7. 解：设木头长x尺，则绳子长为(x+4.5)尺，根据题意得x+4.5=(x-1) ×2,解得：x=6.5.答：木头长6.5尺. 8. A

9. C【解析】设第一天走了x里，依题意得：

9

x+1x+1x+1x+

21x+1x=378,解得x=192.则1x=1×192=6里.

481632323210. B【解析】设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

∴从塔顶层依次向下每层灯数是a,2a,4a,8a,16a,32a,64a,又总共有灯381盏，∴381＝a+2a+4a+8a+16a+32a+64a=127a，解得a＝3，则这个塔的顶层有3盏灯. 11. 解：设寺里有x个和尚，则x答：都来寺里有624个和尚.

12.解：设牧羊人有羊x只，则x+1x+1x+1=100，解得：x=36.

，解得：x=624. x??364342 答：牧羊人有36只羊. 13. D 14. C

415. 解：设矩形田地的长为x步（x>30）,则宽为（60-x）步，根据题意得：x(60-x)=864,整理得：x2-60x+864=0,解得：x=36或x=24(舍去)，∴x-（60-x）=12.答：矩形的长比宽多12步.

16. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC2+AC2＝（AD+BD）2， 即b2+（a）2=（a+AD）2，解得AD＝

b2222

2

?a-a ,

242b2在一元二次方程x+ax=b中，根据求根公式得，x1=x2= -a-a ,

2?a-a ,

242b2?4210

∴线段AD的长是方程x2+ax=b2的一个解.

17. 解：不能.理由：由题意知：x2+ax=b2用图解法求根时，需保证b及2为正数，即x2+ax-b2=0中1次项系数为正数，且常数项为负.而方程x2-5x+6=0中不满足条件， ∴方程x2-5x+6=0不能用图解法求解. 18. C 19. B

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