2021学年高中数学2.3.3空间向量运算的坐标表示课时作业含解析北师大版选修2_1

课时作业8 空间向量运算的坐标表示 时间：45分钟 ——基础巩固类——

一、选择题

1．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝( B )

A ．(2，－4,2)

B ．(－2,4，－2)

C ．(－2,0，－2)

D ．(2,1，－3)

解析：b ＝(a ＋b )－a ＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2，4，－2)．

2．下列各组向量中不平行的是( D )

A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)

B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)

C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)

D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)

解析：b ＝－2a ?a ∥b ；d ＝－3c ?d ∥c ；零向量与任何向量都平行?e ∥f .

3．已知点A 的坐标为A (1,1,0)，向量12AB →

＝(4,0,2)，则点B 的坐标为( B

) A ．(7，－1,4) B ．(9,1,4)

C ．(3,1,1)

D ．(1，－1,1)

解析：设B (x ，y ，z )，则12(x －1，y －1，z )＝(4,0,2)，∴????

? 1

2x －1＝4，

12y －1

＝0，

1

2z ＝2，

解得????? x ＝9

，y ＝1，

z ＝4，

∴点B 的坐标为(9,1,4)．

4．若向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，则( D )

A ．cos 〈a ，b 〉＝1

2 B ．a ⊥b

C ．a ∥b

D ．|a |＝|b |

解析：∵向量a ＝(1,2,0)，b ＝(－2,0,1)，

∴|a |＝12＋22＋02＝5，

|b |＝－22＋02＋12＝5，

a ·

b ＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2. ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－25

. 易知A ，B 不正确，D 正确，C 显然也不正确．

5．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( C )

A ．x ＝1，y ＝1

B ．x ＝12，y ＝－12

C ．x ＝16，y ＝－32

D ．x ＝－16，y ＝32

解析：由a ∥b 得2x 1＝1－2y ＝39

. 解得x ＝16，y ＝－32

.故选C. 6．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89

，则λ＝( C ) A ．2

B ．－2

C ．－2或255

D ．2或－255 解析：a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝

5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ，解得λ＝－2或λ＝255

. 7．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( C )

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

解析：AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3，1)．

因为AC →·BC →＝2×5－3×1－7×1＝0，

所以AC ⊥BC .所以∠ACB ＝90°.

又因为|AC →|＝53，|BC →|＝14，

即|AC →|≠|BC →|，

所以△ABC 为直角三角形．

8．已知两点的坐标为A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos β，2sin β，1)，则|AB →|的取值

范围是( B )

A ．[0,5]

B ．[1,5]

C ．(1,5)

D ．[1,25]

解析：AB →＝(2cos β－3cos α，2sin β－3sin α，0)，

则|AB →|＝3cos α－2cos β2＋3sin α－2sin β2

＝13－12cos α－β.

由于cos(α－β)∈[－1,1]，

所以|AB →|∈[1,5]． 二、填空题 9．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为(5,13，－3)．

解析：由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点为(72，4，－1)，设D (x ，y ，z )，则72＝x ＋22，4＝－5＋y 2，－1＝1＋z 2

，∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．

10．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝258.

解析：∵a －2b ＝(8，－5,13)，

∴|a －2b |＝82＋－5

2＋132 ＝258.

11．已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝3π4

. 解析：∵AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，

∴AB →·BC →＝－2＋12＋0＝10，

|AB →|＝22＋42＋02＝25，

|BC →|＝－12＋32＋02

＝10， ∴cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →|·|BC →|＝1025×10

＝22， ∴〈AB →，BC →〉＝π4，∴∠ABC ＝3π4

. 三、解答题

12．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.

(1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求c ；

(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．

解：由题意可知a ＝(1,1,0)，b ＝(－1，0,2)，BC →＝(－2，－1,2)．

(1)∵c ∥BC →，

∴c ＝mBC →＝m (－2，－1,2)＝(－2m ，－m,2m )(m ∈R )，

∴|c |＝－2m 2＋－m 2＋2m 2＝3|m |＝3，∴m ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．

(2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，

∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.

又|a |＝12＋12＋02＝2，|b |＝

－12＋02＋22＝5，k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝k 2a 2－k a ·b －2b 2＝2k 2＋k －10＝0，

解得k ＝2或k ＝－5

2. 13．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为坐标原点)，当QA →·QB

→取最小值时，求点Q 的坐标．

解：由于OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上，所以OQ →与OP →共线，故可设OQ →＝λOP →＝(λ，

λ，2λ)，其中λ为实数，所以点Q 的坐标为(λ，λ，2λ)．

所以QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，

QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．

所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23

. 当λ＝43

时，QA →·QB →取得最小值． 此时Q 点的坐标为(43，43，83

)． ——能力提升类——

14．已知a ＝(1,1,1)，b ＝(0，y,1)(0≤y ≤1)，则cos 〈a ，b 〉的最大值为( D )

A.

33 B.22 C.32 D.63

解析：方法1：构造正方体ABCO -A ′B ′C ′D ′，设正方体的边长为1，如图所示．设

点E 为线段D ′C ′上的任一点，则OB ′→＝(1,1,1)，OE →＝(0，y,1)，故可取OB ′→为a ，OE →为

b .

易知当点E 在C ′位置时，〈a ，b 〉最小，即cos 〈a ，b 〉最大，此时b ＝(0,1,1)，即

cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |

＝1×0＋1×1＋1×13×2

＝63，

即cos 〈a ，b 〉的最大值为63

. 方法2：∵a ＝(1,1,1)，b ＝(0，y,1)(0≤y ≤1)，

∴a ·b ＝y ＋1，|a |＝3，|b |＝y 2

＋1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝y ＋13·y 2＋1

. 设t ＝y 2＋1，则t 2－1＝y 2

，

∵0≤y ≤1，t >0，

∴y ＝t 2－1(1≤t ≤2)， ∴cos 〈a ，b 〉＝1

3·t 2－1＋1t ＝13(1－1t 2＋1t

)． 设sin α＝1t

， 则22

≤sin α≤1， 即π4≤α≤π2

， ∴cos 〈a ，b 〉＝

13(1－sin 2α＋sin α) ＝13(cos α＋sin α)＝23sin(α＋π4)， ∴当α＝π4时，cos 〈a ，b 〉取得最大值，且最大值为63

. 15．已知空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)．

(1)求△ABC 的面积．

(2)求△ABC 中AB 边上的高．

解：(1)由已知，得AB →＝(1，－3,2)，AC →＝(2,0，－8)，

∴|AB →|＝1＋9＋4＝14，|AC →|＝4＋0＋64＝217，AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，

∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|

＝－1414×217＝－14217

， ∴sin 〈AB →，AC →〉＝

1－1468＝2734.

∴S △ABC ＝12

|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉 ＝12×217×14×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD .

则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝36， 即△ABC 中AB 边上的高为3 6.

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