最新高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第1讲 直线与圆学案（考

第1讲 直线与圆

[考情考向分析] 考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)．此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现．

热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程

要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式

(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，

l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝

|C1－C2|22

(A＋B≠0)． A2＋B2

|Ax0＋By0＋C|22

(A＋B≠0)． 22A＋B(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝例1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α等于( ) 2333A. B．± C．－ D. 3555答案 D

解析 因为l1⊥l2，所以sin α－3cos α＝0， 所以tan α＝3，

2sin αcos α所以sin 2α＝2sin αcos α＝2 2

sinα＋cosα＝

2tan α3

＝. 21＋tanα5

(2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．

1

答案 32

解析 由题意得，当k≠0时，直线l1：kx－y＋2＝0的斜率为k，且经过点A(0,2)，直线

l2：x＋ky－2＝0的斜率为－，且经过点B(2,0)，且直线l1⊥l2，所以点P落在以AB为直

k径的圆C上，其中圆心坐标为C(1,1)，半径为r＝2， 由圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝1

|1－1－4|

2

＝22，

所以点P到直线x－y－4＝0的最大距离为

d＋r＝22＋2＝32.

当k＝0时，l1⊥l2，此时点P(2,2)．

|2－2－4|

点P到直线x－y－4＝0的距离d＝＝22.

2综上，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为32.

思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况． (2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．

跟踪演练1 (1)直线ax＋(a－1)y＋1＝0与直线4x＋ay－2＝0互相平行，则实数a＝________. 答案 2

aa－11

解析 当a≠0时，＝≠，

4a－2

解得a＝2.

当a＝0时，两直线显然不平行．故a＝2.

(2)圆x＋y－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a等于( ) A．－1 C．1 答案 B

解析 因为(x－1)＋(y－2)＝2，

2

2

2

2

B．0 D．2

|1－2a＋1|

所以＝2，所以a＝0. 2

1＋a热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程

当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)＝r，特别地，当圆心在原点时，方程为x＋y＝r. 2．圆的一般方程

2

2

2

2

2

2

2

DE?D2＋E2－4F?x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F>0，表示以?－，－?为圆心，为半径的2?2?2

2

2

2

2

圆．

例2 (1)圆心为(2,0)的圆C与圆x＋y＋4x－6y＋4＝0相外切，则C的方程为( ) A．x＋y＋4x＋2＝0 B．x＋y－4x＋2＝0 C．x＋y＋4x＝0 D．x＋y－4x＝0 答案 D

解析 圆x＋y＋4x－6y＋4＝0， 即(x＋2)＋(y－3)＝9， 圆心为(－2,3)，半径为3. 设圆C的半径为r.

由两圆外切知，圆心距为?2＋2?＋?0－3?＝5＝3＋r， 所以r＝2.

故圆C的方程为(x－2)＋y＝4， 展开得x＋y－4x＝0.

(2)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为( ) A.(x＋3)＋(y－1)＝1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B.(x－3)＋(y＋1)＝1

2

2

C.(x＋3)＋(y＋1)＝1

2

2

D.(x－3)＋(y－1)＝1

2

2

答案 C

解析 到两直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联

?3x－4y＋5＝0，?

立方程组?

??y＝－x－4，

2

解得?

2

?x＝－3，?

??y＝－1.

两平行线之间的距离为2，所以半径为1，从

而圆M的方程为(x＋3)＋(y＋1)＝1.故选C. 思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法

(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

跟踪演练2 (1)(2016·浙江)已知a∈R，方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5

3

22

2

解析 由已知方程表示圆，则a＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a＝－1时，原方程为x＋y＋4x＋8y－5＝0， 化为标准方程为(x＋2)＋(y＋4)＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．

(2)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x＋y－2x＝0

解析 方法一 设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

F＝0，??

∴?2＋D＋E＋F＝0，??4＋2D＋F＝0，

2

2

D＝－2，??

解得?E＝0，

??F＝0.

∴圆的方程为x＋y－2x＝0. 方法二 画出示意图如图所示，

则△OAB为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x－1)＋y＝1， 即x＋y－2x＝0.

热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则dr?直线与圆相离．

(2)判别式法：设圆C：(x－a)＋(y－b)＝r，直线l：Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0)，方程组

?Ax＋By＋C＝0，?

?222???x－a?＋?y－b?＝r2

2

2

2

2

2

2

2

2

消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线

与圆相离?Δ<0，直线与圆相切?Δ＝0，直线与圆相交?Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．

设圆C1：(x－a1)＋(y－b1)＝r1，圆C2：(x－a2)＋(y－b2)＝r2，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：

2

2

2

2

2

2

4

(1)d>r1＋r2?两圆外离． (2)d＝r1＋r2?两圆外切． (3)|r1－r2|

例3 (1)(2018·杭州质检)设圆C1：x＋y＝1与圆C2：(x－2)＋(y＋2)＝1，则圆C1与圆

2

2

2

2

C2的位置关系是( )

A．外离 C．相交 答案 A

解析 圆心距为2＋?－2?＝22>1＋1， 故两圆外离．

(2)(2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)若c∈R，则“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆

2

2

B．外切 D．内含

x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 将圆的方程化为标准方程，得(x＋1)＋(y－1)＝1，若直线与圆相切，则有|－1×3＋1×4＋c|2

＝1，解得c＝4或c＝－6，所以“c＝4”是“直线3x＋4y＋c＝0与圆x22

3＋4＋y＋2x－2y＋1＝0相切”的充分不必要条件，故选A.

思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．

跟踪演练3 (1)已知直线y＝ax与圆C：x＋y－2ax－2y＋2＝0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为________． 答案 6π

解析 圆C化为(x－a)＋(y－1)＝a－1， 且圆心C(a,1)，半径R＝a－1(a>1)．

∵直线y＝ax与圆C相交，且△ABC为等边三角形，

5

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴圆心C到直线ax－y＝0的距离为

Rsin 60°＝2

32

×a－1， 2

2|a－1|3?a－1?即d＝2＝. 2a＋1解得a＝7.

∴圆C的面积为πR＝π(7－1)＝6π.

(2)如果圆(x－a)＋(y－a)＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是( )

A．(－3，－1)∪(1,3) B．(－3,3) C．[1,1]

D．[－3，－1]∪[1,3] 答案 D

解析 圆心(a，a)到原点的距离为|2a|，半径r＝22，圆上的点到原点的距离为d.因为圆(x－a)＋(y－a)＝8上总存在到原点的距离为2的点，则圆(x－a)＋(y－a)＝8与圆x2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

＋y＝2有公共点，r′＝2，所以r－r′≤|2a|≤r＋r′，即1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1，所以实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1,3].

真题体验

1．(2016·山东改编)已知圆M：x＋y－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是________． 答案 相交

解析 ∵圆M：x＋(y－a)＝a， ∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1＝a， |a|

圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，

2

2

2

2

2

22

2

?|a|?222

由几何知识得??＋(2)＝a，解得a＝2.

?2?

∴M(0,2)，r1＝2.

又圆N的圆心坐标为N(1,1)，半径r2＝1， ∴|MN|＝?1－0?＋?1－2?＝2.

22 6

又r1＋r2＝3，r1－r2＝1，

∴r1－r2<|MN|

2．(2016·上海)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1，l2的距离是________． 答案

25

5

2

2

3．(2018·全国Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x＋y＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 答案 22

解析 由x＋y＋2y－3＝0，得x＋(y＋1)＝4. ∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.

|1＋1|

圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝2，

2∴|AB|＝2r－d＝24－2＝22.

4．(2018·全国Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)＋y＝2上，则△ABP面积的取值范围是________． 答案 [2,6]

解析 设圆(x－2)＋y＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得dmax＝22＋r＝32，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，

1

△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.

2综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]． 押题预测

1．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为( ) A.?x±B.?x±2

12

????

43?22

?＋y＝3 3?13?22

?＋y＝3 3?

C．x＋?y±D．x＋?y±

2

????

3?24?＝ 3?33?21?＝ 3?3

押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以选择题、填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用．

7

答案 C

2π

解析 由已知得圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对的圆心角为.设圆心坐标为(0，a)，

3半径为r，

ππ23

则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，

3334332

即r＝，|a|＝，即a＝±，

333故圆C的方程为x＋?y±2

?

?3?24?＝. 3?3

2

2

2．设m，n为正实数，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆x＋y－4x－4y＋4＝0相切，则

mn( )

A．有最小值1＋2，无最大值 B．有最小值3＋22，无最大值 C．有最大值3＋22，无最小值 D．有最小值3－22，最大值3＋22

押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 B

解析 由直线(m＋1)x＋(n＋1)y－4＝0与圆(x－2)＋(y－2)＝4相切，可得

2|m＋n|?m＋1?＋?n＋1?

2

2

2

2

＝2，整理得m＋n＋1＝mn.由m，n为正实数可知，m＋n≥2mn(当且仅当m2

＝n时取等号)，令t＝mn，则2t＋1≤t，因为t>0，所以t≥1＋2，所以mn≥3＋22.故mn有最小值3＋22，无最大值．故选B.

3．若圆x＋y＝4与圆x＋y＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为22，则a＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案

10

2

2

2

2

2

2

2

??x＋y＝4，

解析 联立两圆方程?22

?x＋y＋ax＋2ay－9＝0，?

可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为 |－5|

a2＋4a＝2

5

a(a>0)．

8

故22－?

2

5?5?22

?＝22，解得a＝2， ?a?

10. 2

因为a>0，所以a＝

A组 专题通关

3πxy1．若<α<2π，则直线＋＝1必不经过( )

2cos αsin αA．第一象限 C．第三象限 答案 B

解析 令x＝0，得y＝sin α<0，令y＝0，得x＝cos α>0，直线过(0，sin α)，(cos α，0)两点，因而直线不过第二象限．

2．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意1

两点，点M为P，Q的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( )

2A．2 C．3 答案 A

解析 根据题意画出图形，如图所示．

B．－2 D．－3 B．第二象限 D．第四象限

直线l1：x－2y＋1＝0 与直线l2：mx＋y＋3＝0 的交点为A，M 为PQ 的中点， 1

若|AM|＝|PQ|，

2则PA⊥QA，

即l1⊥l2，∴1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2.

3．(2018·浙江省温州六校协作体联考)直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＝1相切，则a的值为( )

2

2

9

A.3

3 3

B．－3 3

C．±D．±3

答案 D

解析 因为直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＝1相切，所以圆心(0,0)到直线x＋ay＋2＝0的距离等于圆的半径，即

21＋a222

2

＝1，解得a＝±3，故选D.

2

2

4．与直线x－y－4＝0和圆x＋y＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A．(x＋1)＋(y＋1)＝2

2

2

B．(x－1)＋(y＋1)＝4

2

2

C．(x－1)＋(y＋1)＝2

2

2

D．(x＋1)＋(y＋1)＝4

2

2

答案 C

解析 圆x＋y＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为2，过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，所求的圆心在此直线上，又圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为

62

＝32，则所求圆的半径为2，设所求圆心为(a，b)，且圆心在直线x－y－4＝

2

2

|a－b－4|

0的左上方，则＝2，且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1(a＝3，b＝－3不符合半径

2最小，舍去)，故所求圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝2.

2

2

5．已知点P是直线l：x＋y－b＝0上的动点，由点P向圆O：x＋y＝1引切线，切点分别为M，N，且∠MPN＝90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则b等于( ) A．2 B．±2 C.2 D．±2 答案 B

解析 由题意得∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，|MO|＝|ON|＝1， ∴四边形PMON是正方形， ∴|PO|＝2，

∵满足以上条件的点P有且只有一个， ∴OP垂直于直线x＋y－b＝0， ∴2＝

|－b|

，∴b＝±2. 1＋1

22

6．(2018·浙江省温州六校协作体联考)过点P(－3,0)作直线2ax＋(a＋b)y＋2b＝0(a，b不同时为零)的垂线，垂足为M，已知点N(2,3)，则当a，b变化时，|MN|的取值范围是( )

10

A．[5－5，5＋5] C．[5,5＋5] 答案 A

B．[5－5，5] D．[0,5＋5]

解析 直线2ax＋(a＋b)y＋2b＝0过定点D(1，－2)，因为PM⊥MD，所以点M在以PD为直径的圆上运动，易得此圆的圆心为(－1，－1)，半径为5，又因为点N与圆心的距离为?－1－2?＋?－1－3?＝5，所以|MN|的取值范围为[5－5，5＋5]，故选A.

7．已知圆C1：x＋y－kx＋2y＝0与圆C2：x＋y＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过定点P(a，

2

2

2

2

22b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是( )

?1?A.?0，? ?4?

1??C.?－∞，? 4??答案 D

?1?B.?0，?

?4?

1??D.?－∞，? 4??

解析 由x＋y－kx＋2y＝0与x＋y＋ky－4＝0， 相减得公共弦所在直线方程为kx＋(k－2)y－4＝0， 即k(x＋y)－(2y＋4)＝0，

?2y＋4＝0，?

所以由?

??x＋y＝0，

2222

得x＝2，y＝－2，

即P(2，－2)，因此2m＋2n－2＝0， 所以m＋n＝1，mn≤?

?m＋n?2＝1(当且仅当m＝n时取最大值)．

??2?4

8．直线x＋ysin α－3＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是________．

?π3π?答案 ?，?

4??4

π

解析 若sin α＝0，则直线的倾斜角为；

2若sin α≠0， 则直线的斜率k＝－

1

∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， sin α

设直线的倾斜角为θ，

则tan θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，

?ππ??π3π?故θ∈?，?∪ ?，?，

4??42??2

?π3π?综上可得直线的倾斜角的取值范围是?，?.

4??4

11

9．若过点(2,0)有两条直线与圆x＋y－2x＋2y＋m＋1＝0相切，则实数m的取值范围是________． 答案 (－1,1)

解析 由题意过点(2,0)有两条直线与圆x＋y－2x＋2y＋m＋1＝0相切， 则点(2,0)在圆外，即2－2×2＋m＋1>0，解得m>－1； 由方程x＋y－2x＋2y＋m＋1＝0表示圆， 则(－2)＋2－4(m＋1)>0，解得m<1. 综上，实数m的取值范围是(－1,1)．

10．(2018·宁波模拟)已知直线l：mx－y＝1.若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为________；动直线l被圆x＋2x＋y－24＝0截得的弦长的最小值为________． 答案 －1 223

解析 当m＝0时，两直线不平行；

2

2

2

22

2

2

2

2

22

m－1

当m≠0时，由题意得＝，所以m＝±1.

1－m当m＝1时，两直线重合，所以m＝1舍去，故m＝－1. 因为圆的方程为x＋2x＋y－24＝0， 所以(x＋1)＋y＝25，

所以它表示圆心为C(－1,0)，半径为5的圆． 由于直线l：mx－y－1＝0过定点P(0，－1)， 所以过点P且与PC垂直的弦长最短， 且最短弦长为25－?2?＝223.

11．(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)已知直角坐标系中A(－2,0)，B(2,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹方程是____________；轨迹为________． 答案 x＋y－12x＋4＝0 以(6,0)为圆心，42为半径的圆

解析 设点P的坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得|PA|＝2|PB|，即(x＋2)＋y＝2[(x－2)＋y]，化简得x＋y－12x＋4＝0，方程化为标准方程为(x－6)＋y＝32，其表示一个圆．

12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋1)＋y＝2，点A(2,0)，若圆C上存在点M，满足|MA|＋|MO|≤10，则点M的纵坐标的取值范围是________． 答案 ?－

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

?

?77?，? 22?

2

2

解析 设点M(x，y)，因为|MA|＋|MO|≤10， 所以(x－2)＋y＋x＋y≤10， 即x＋y－2x－3≤0，

12

2

2

2

2

2

2

因为(x＋1)＋y＝2，所以y＝2－(x＋1)， 122

所以x＋2－(x＋1)－2x－3≤0，化简得x≥－.

2777222

因为y＝2－(x＋1)，所以y≤，所以－≤y≤. 422

B组 能力提高

13．已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)且|AB|＝|NA||MA|22

2，过点A任作一条直线与圆O：x＋y＝1相交于M，N两点，下列三个结论：①＝；|NB||MB|②

|NB||MA||NB||MA|

－＝2；③＋＝22.其中正确结论的序号是( ) |NA||MB||NA||MB|

2222

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案 D

解析 根据题意，利用圆中的特殊三角形，求得圆心及半径，即得圆的方程为(x－1)＋(y－2)＝2，并且可以求得A(0，2－1)，B(0，2＋1)，

2

2

因为M，N在圆O：x＋y＝1上， 所以可设M(cos α，sin α)，

2

2

N(cos β，sin β)，

所以|NA|＝?cos β－0?＋[sin β－?2－1?] ＝2?2－1??2－sin β?，

|NB|＝?cos β－0?＋[sin β－?2＋1?] ＝2?2＋1??2－sin β?， |NA|所以＝2－1，

|NB||MA|

同理可得＝2－1，

|MB||NA||MA|所以＝，

|NB||MB|

|NB||MA|1

－＝－(2－1)＝2， |NA||MB|2－1

13

2

2

2

2

|NB||MA|

＋＝22， |NA||MB|故①②③都正确．

14．若对圆(x－1)＋(y－1)＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值

2

2

与x，y无关，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－4 C．a≤－4或a≥6 答案 D 解析

B．－4≤a≤6 D．a≥6

|3x－4y－9|表示圆上的点到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表

示圆上的点到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，

所以|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即圆上的点到直线l1，l2的距离与圆上点的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以

d＝

|3－4＋a|

5

≥1，并且a>0，解得a≥6，故选D.

15．为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距31 km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距33 km，则垃圾处理站M与B村相距________ km. 答案 2或7

解析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，

C(3,33)．

由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,33)为圆心，31为半径的圆C上，两圆的方程分别为x＋y＝25和(x－3)＋(y－33)＝31.

2

2

2

2

?x＋y＝25，由?

??x－3?2＋?y－33?2＝31，

22

解得?

?x＝5，???y＝0

5

x＝－，??2或?

53y＝??2，

14

?553?

∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或?－，?，

?22?

∴|MB|＝2或|MB|＝

?－5－3?2＋?53?2＝7， ?2??????2?

2

2

即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.

16．点P(x，y)是直线2x＋y＋4＝0上的动点，PA，PB是圆C：x＋(y－1)＝1的两条切线，

A，B是切点，则△PAB面积的最小值为________．

答案 8

5

解析 由圆的方程C：x2

＋(y－1)2

＝1，

可得圆心C(0,1)，半径r＝1， 则圆心到直线2x＋y＋4＝0的距离为d＝522

＋1

2

＝5，

设|PC|＝m，则m≥5， 则S12

△PAB＝2|PA|sin 2∠APC

＝|PA|2

sin∠APCcos∠APC

＝|PA|2

·1

|PA|(m2－1)3

|PC|·|PC|＝m2

，

23

令S＝?m－1?

m2

，m≥5， 2

2

所以S′＝m2－1(3m－2m＋2)m3

m2－1(m2

＝＋2)m3>0，

所以函数S在[5，＋∞)上单调递增， 所以SS(5)＝8

min＝5.

即(S)8

△PABmin＝5.

15

16

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