行列式练习题1

第二章 行列式练习题（1）

一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分） 1．排列217986354必定经过奇数次对换变为123456789．

2．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 3．排列

j1j2jn?1jn与排列jnjn?1a2?b2?a1a2?j2j1的奇偶性相反 （ ）

（×）

4．

a1?b1b1b2b3b4a3?b3a4?b4a3a45．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 6．若矩阵

A经过初等变换化为矩阵B，则A?B． （×）

7．把三级行列式的第一行减去第二行的2倍，同时把第一行的3倍加到第二行上去，所得的行列式与原行列式相等即：abc?a?3ab?3bc?3c （ ）

222212121a38．设

a1b1c1a1?2a2a3b1?2b2b3c1?2c2c3b3c3A是n级矩阵，k是任意常数，则kA?kA或kA??kA； （×）

9．设abcd是一个4级排列，则abcd与badc的奇偶性相同； （√ ）

10．设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0，则该线性方程组无解； （×）

a1111． 设D= a21a12a22an2??k1k2kn?a1na1k1a1k2a2k2ank2a1kna2kn,其中kk12ankna2n,D=a2k11annkn是1、2、3、??、n的一个排列，

an1则 D1ank1???1?D （ ）

二、填空题（每小题2分，共20分） 1．排列n(n?1)321的逆序数为

n(n?1)，当n是 时为奇排列；当n是 时为偶排列． 22．i1i2i3i4i5的逆序数为6，则i5i4i3i2i1的逆序数是 。

3．排列135?（2n-1）246?(2n)的逆序数为 ，排列 (2k)1(2k-1)2?(k+1)k的逆序数为 ； 4．排列12435作三个对换 、 、 变为排列25341，这些对换并不唯一，但所作的对换的次数与逆序数?（12435）具有相同的奇偶性。

5．五级行列式D中的一项a21a13a32a45a54在D中的符号为 负 ．

a06．① 03000②0b00300?______;0g00073h030000111940fc0a?1a?2e③b?1b?20?_______;0c?1c?2da?31b?3? ；④?c?3?2??2 ?21= ；

1? 1

0a10?b1?b2?b3a2b10?c1?c2a3b2c10?da4b3c2?_________;d07．计算行列式?a1?a2?a3?a4

02058．D=0113利用拉普拉斯定理按前两行展开D= ； 求A11?A124?10?2?38?57?A13?A14?________;

x234x2x34中x3的系数是 ； 9．多项式

g(x)?123x41234x?ax1?x2?x310．如果线性方程组?x?ax?x?123?x?x?ax3?12?0有非零解，那么a= ； ?0?01?x23411．方程（1）1 与方程 （2）2?x34?0123?x41234?x和 （重根按重数计算）；

2327?x253531212 的全部根分别为

?086815?x22111111114512．（1）23（2）5862= ；（3）?1?_______;180491625528262228782764125538363233479000000 120?________;43034968508102三．选择题

x11112x34中，x4，x3的系数项和常数项分别为 （ ） 1．多项式

p(x)?13?x114x3x （A）-6，2，-6；（B）-6，-2，6；（C）-6，2，6；（D）-6，-2，-6

2．一个n阶方阵A的行列式，其值不为零，A经若干次初等变换后，其行列式值 （ ） （Ａ）保持不变； （Ｂ）保持不为零； （Ｃ）可变为任何值； （Ｄ）保持相同符号。 3．设D是一个n阶行列式，那么 （ ） （A）列式与它的转置行列式相等； （Ｂ） D中两行互换，则行列式不变符号； （Ｃ）若D

?0，则D中必有一行全是零； （Ｄ） 若D?0，则D中必有两行成比例。

a10a2b300b2a30b10的值为 （ ） 0a44．行列式 0

0b4A． a1a2a3a4?b1b2b3b4； B．a1a2a3a4?b1b2b3b4； C．(a1a2?bb； D．(a1a4?bb 12)(a3a4?b3b4)14)(a2a3?b2b3)

2

?kx1?x2?x3?05．若齐次线性方程组?x?kx?x?0仅有零解则 （ ）

?123?2x?x?x?023?1A．k?4或k??1 ； B．k??4或k??1； C．k?4且k??1； D．k?4且k?1

?x1?2x2?4x3?16．用克莱姆法则得?x?x?0的解为 （ ）

?23??x?2?3（A）. (x1,x2,x3)?(1,0,?2) （B）. (x1,x2,x3)?(?7,2,?2) （C）. (x1,x2,x3)?(?11,2,?2) （D）. (x1,x2,x3)?(?11,?2,?2)

a17．行列式010?1?0的充要条件是 （ ） 4a0A．a?2 B．a??2 C．a?2 D．a?2

8．设?,?,?均为方程x3?1?0的根，则行列式

?????????的值为 （ ）

（A）1；（B）-1；（C）3；（D）0

四、计算行列式

1、用定义计算

000n?100200101000020000n?10xyx000y0000x000yx（1）00n0；（2）0000n；3）00y（4）a21a22a23a24a25

0a12a1300a3100aaa324252aaa334353a34a3500001（5）由1?111?1????1说明：奇偶排列各半 1?0?12、用行列式的性质

a（1）bcb?c2bcac?a2caba?b2a1（2）b21 1c212d2?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2b?c （3）证明：b1?c1b2?c2c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1c2a1?b1?2a1a2?b2a2

3

a1?b1（4）a2?b1a1?b2?a1?bn?an?b1a2?b2?a2?bn???an?b2?an?bn

3、利用性质化上三角或按行（列）展开（降级）

1（1）214112311121?3 （2）．225?2122?2xy0?0022?20xy?00 （3）．4）000x?0023?2?0y?00???0?????1?11??11?00?1?0000?000??1000?

?20?1??2?3??00??00?????222?n?1??n?10?0x?n1??nn00?0

x1?mx1逐步下加（4）?x1123（7）

x2?x2n?1n1??xnxn?（5）a1?xa1a1a2a2?xa2ananan?x123?n?100?x2?m?1?10?（6）．02?2??00?00?00??xn?mn?2?n?n?11?n234Dn?345n121（循环行列式，后列减前列） 2n?2n?14、各行（列）元素之和相等

（1）Dn?abbbab1bb（2）11111?a111?a111（n级）3、（4） （5）

a11?a1?a15、将一行各元素拆成两项的和

a1?x（1）

xa2?xxxxan?x（2）

xx1?a1a2?11?a2000?1000a31?a3000001?an?1?1000an1?an

6、爪型行列式

a0（1）证明

1a10?01?10n?1a?0?a1a2?an??0?ai?1i??4

11?10?a2??0?? ????an

7、加边法

122?2（1）

222?2 （2）D?n223?2?????222?nabbbab1?a111bb （3）11111?a11111?11?an1?a111

a11?a21?111111?a1?a1??111?1a1?x（4）

a2a2?xa2ananan?x（5）证明

a1a11?111?a3???11?n?1?a1a2?an?1???i?1ai??

????1?an?18、递推法、数学归纳法（三对角）

1?x12x1x2?2xx1?x2?（1）21?xnx1?xnx2x00?0x1xn?1x0?0x2xn （2）

0?1x?0???????2?1?xn000?x000a0a1a2?an?2?x?an?1xnn?1

??a1x?a0??1x?an?1????0?????（3）0????000000000000052??n?1??n?1 （4）(???)?Dn?0??????(n?1)?n(???)?035200350000200 05????????000000???1（5）

?????10012cos?100000cos??????00012cos?0081??n?1??n?1 （6）(???)?Dn?0??????(n?1)?n(???)?01581001580000100 08???10002cos?1?????0001（7）

1000

?cosn?2cos?9、利用范德蒙行列式

1x1x12x1n?1

1x2x22n?1x21x3x32n?1x31xn2xn?1?j?i?nn?1xn?(xi?xj)

还可用因式法证明范德蒙行列式

5

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