高中数学《两条直线的平行与垂直》教案1 苏教版必修2

两条直线的平行与垂直（2）

教学目标

（1）掌握两条直线垂直的判定方法，并会根据直线方程判断两条直线是否垂直；

（2）理解两条直线垂直条件的推导过程，注意解几思想的渗透和表述的规范性，培养学生的探索和概括能力．

教学重点、难点

掌握两条直线垂直的判定方法及分类讨论．

教学过程

一、问题情境

1．复习：两条直线平行的判断方法：（可结合作业对斜截式方程和一般式方程进行归纳）

2．问题：两条直线平行的位置关系可用斜率来刻画，那么能否用它来刻画两条直线垂直的位置关系呢？

二、建构数学

1．两条直线垂直的判断方法：

若12l l ⊥（12,l l 都不与x 轴垂直）

轴），设12,l l 的斜率分别为12,k k ，则 12,ST PQ k k PS QR -==， 由于Rt PST Rt PQR ??，∴

ST QR PS PQ = ∴121k k =-，即121k k ?=-，反过来，若121k k ?=-2．结论：（1）当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们的斜率的乘积等于1-，反之，如果它们的斜率的乘积等于1-，那么它们互相垂直，即： 12l l ⊥?121k k ?=-（12,k k 均存在）

（2）若两条直线12,l l 中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0时，12l l ⊥

三、数学运用

1．例题：

例1．（1）已知四点(5,3),(10,6),(3,4),(6,11)A B C D --，求证：AB CD ⊥．

（2）已知直线1l 的斜率为134k =

，直线2l 经过点2(3,2),(0,1)A a B a -+，且12l l ⊥， 求实数a 的值．

解：（1）由斜率公式得：63311(4)5,1055633

AB CD k k ---====----， 则1AB CD k k ?=-， ∴AB CD ⊥．

（2）∵12l l ⊥，∴121k k ?=-，即231(2)1403a a

+--?=--，解得1a =或3a =， ∴当1a =或3a =时，12l l ⊥． 1l 2

例2．已知三角形的三个顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --，求BC 边上的高AD 所在的直线方程．

解：直线BC 的斜率为3(2)5213BC k --=

=---， ∵AD

⊥∴35AD k =，根据点斜式，得到所求直线的方程为 34(2)5y x -=-， 即35140x y -+= 练习：求过点(2,1)A ，且与直线0

102=-+y x 垂直的直线l 说明：一般地，与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定．

例3．在路边安装路灯，路宽23m ，灯杆长2.5m ，且与灯柱成120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高h 为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到0.01m ）

解：记灯柱顶端为B ，灯罩顶为A ，灯管为AB ，灯罩轴线与道路中线交于点C ．以灯柱底端O 为原点，灯柱OB 为y 点B 的坐标为(0,)h ，点C 的坐标为(11.5,0)，

∵120OBA ∠=，∴直线BA 的倾斜角为30，

则点A 的坐标为（2.5cos30, 2.5sin30h +），

即（ 1.25h +），

C A B A ⊥ ∴1CA BA

k k =-1tan 30=-=-得CA 的方程为( 1.25)y h x -+=-，

灯罩轴线CA 过点(11.5,0)C ，∴( 1.25)h -+=-，

解得 14.92()h m ≈

答：灯柱高h 约为14.92m ．

2．练习：

（1）已知两直线0742:1=+-y x l ，2:250l x y +-=，求证：21l l ⊥．

（2）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形是 （ ）

（A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形

（3）过原点作直线l 的垂线，若垂足为(2,3)-，则直线l 的方程是 ．

（4）若直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直， 则实数a 的值为 ．

四、回顾小结：

1．两直线垂直的判定条件；

2．与直线0=++C By Ax 垂直的直线的方程可设为0=+-m Ay Bx ，其中m 待定．

五、课外作业：

课本第87页第1（2）、2、6、11（2）题

补充：

1．已知直线l 的方程为01243=-+y x ，求直线'l 的方程，使'l 与l 垂直且'

l 与坐标轴围成的三角形面积为6．

2．已知直线12:220,:10l x ay a l ax y a +--=+--=，（1）若12//l l ，试求a 的值， （2）若12l l ⊥，试求a 的值．

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