长 方 体 和 正 方 体(2)

第三讲 长方体与正方体

基础知识 1、填空题。

（1）如图，长方体的棱长总和是（ ），上面面积是（ ），右面面积是（ ）。

（2）如图，正方体的棱长总和是（ ），底面积是（ ）。

（3）如图所示的物体是由（ ）个小正方体拼搭成的，至少还需要（ ）个同样的小正方体，才能拼搭成一个大正方体。

（4）有一个正方体，其中一面的面积是36平方厘米，它的棱长总和好是（ ）。

（5）观察上图，在括号里填上一个字母，使等式成立：前面面积?上面面积。

（）（）2dm

6dm

3dm 4dm

第（1）题

第（2）题

c

a b 第（3）题

第（5）题

（6）做一个长方体的鱼缸，用了下面几块长方形的玻璃。

鱼缸的底是（ ）号玻璃，鱼缸深（ ）分米。

2、判断题。

（1）长方体由六个长方形组成。 （ ）

（2）一个长方体有四个面完全一样，那么另外两个面一点是正方形。

（ ）

3dm

①

6dm 4dm ②

6dm

3dm ③

4dm

6dm 3dm ⑤

4dm 4dm ④

（3）一个正方体棱长10厘米，它的棱长总和是100厘米。 （ ）

（4）正方体是一种特殊的长方体。 （ ）

（5）一个长、宽、高分别是10厘米、8厘米、7厘米的长方体可以从一个边长是8厘米的正方形洞中漏下去。

（ ）

拓展知识 1、选择题。

（1）图（ ）不能折成正方体。

(2)如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体。将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积（ ）。

A、比原来大 B、比原来小 C、 不变 D、无法确定

（3）至少需要（ ）个小正方体才能拼成一个较大的正方体。 A、2 B、4 C、8 D、 9

（4）如图所示已画出一个长方体的长、宽、高（单位：厘米），这个长方体左面的面积是（ ）平方厘米。

A、12 B、 15 C、20 D、不能确定

（5）下图分别是从一个长方体的前面和右面看到的图形，那么这个长方体

6cm

2cm

3cm

2cm

3cm 5cm 4cm 第（2）题

A.

B

C.

D.

第（4）题 的底面积是（ ）。

A、6 B、 12 C、18 D、不能确定

2、一种礼品盒，长30厘米，宽25厘米，高20厘米。如果要用红丝线按下图所示方法把它捆扎起来，结头处丝线留出30厘米，至少需要多少米丝线？

培优知识 1、填空题。

（1）一个长32厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块最多可以切成（ ）个棱长为4厘米的正方体。

（2）用三个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个表面积最小的大长方体，它的棱长总和是（ ）。

（3）用48厘米长的铁丝焊接成一个最大的正方体，这个正方体的棱长是（ ）厘米。

（4）小明自己动手烤了一块正方体大蛋糕，蛋糕的表面呈咖啡色，里面是淡黄色。小明想慢慢享用自己的劳动成果，于是他将这块蛋糕切成了如图所示的125（5×5×5）块同样大小的小正方体蛋糕。切完后他发现，有的小蛋糕有咖啡色的面，而有的没有咖啡色的面，那么一块小正方体蛋糕最多

有（ ）个面是咖啡色，没有咖啡色的面和只有两面是咖啡色的小正方体蛋糕的总数分别是（ ）块和（ ）块。

（5）用8个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体或一个正方体（全部用完）。要使棱长总和最小，应拼成（ ），它的棱长总和是（ ）；要使棱长总和尽可能长，应拼成（ ），它的棱长总和是（ ）。

2、选择题。

(1)如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开

M 展成平面图形，想一想，这个平面图形是（ ）。 M A.

(2)一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为1分米的正方体摆在课桌上成如图形状，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为（ ）。

A、42平方分米 B、33平方分米 C、24平方分米 D、21平方分米

（3）如下图，一个正方体的六个面上分别涂有“赤、橙、黄、绿、青、蓝”六种颜色，其中赤色的对面是（ ）。

A、橙色 B、 绿色 C、 黄色

（4）要把3件同样长17厘米、宽7厘米、高3厘米的长方体物品拼装成一个大的长方体包装物，你能想出几种包装方法？请画出表面积最小的包装方法的草图。

赤 青 蓝

绿 青 橙

橙 蓝 黄

B M

M

C

D M

长方体与正方体的表面积

基础知识 1、填空题。 （1）填表。

名称 长方体 长 6厘米 3厘米 宽 2.5厘米 2厘米 高 1厘米 1.5厘米 表面积 正方体

棱长4.2厘米 棱长6厘米 （2）如图所示，在台阶面上（阴影部分）铺上地毯，至少需要（ ）平方米的地毯。

（3）一个长方体的长、宽、高分别是4分米、3分米、和5分米，这个长方体与桌面接触时，最大的接触面是（ ）平方分米。

（4）一个正方体，它的棱长总和是60厘米，这时正方体的表面积是（ ）平方厘米。

2、解决问题。

（1）做四个棱长5分米的正方体纸盒，至少要用多少平方分米的纸板？

（2）一个长方体食品盒，长10厘米，宽8厘米，高15厘米，围着它的四周贴一层商标，这张商标纸有多少平方厘米？

4m

2.1m 3.2m

（3）为一座新楼做200节长2米、宽20厘米、高10厘米的雨水管道，需用铁皮多少平方米？

拓展知识 1、填空题。

（1）将一个棱长是4分米的正方体截成4个同样大小的长方体后，表面积至少增加（ ）平方分米。

（2）先把体积是1立方分米的正方体木块，平均切成棱长是1分米的小正方体木块，再把这些小正方体木块拼成一个宽和高都是1分米的长方体，这个长方体的长是（ ）米。

（3）有棱长都是1厘米的24个小正方体，用它们拼成一个长方体，共有（ ）中不同的拼法，拼成的长方体表面积最小是（ ）平方厘米。

（4）一个表面积是70平方厘米的长方体木块，正好可以切成三个小正方体，每个小正方体的表面积是（ ）平方厘米。

（5）两个完全相同的长方体恰好拼成一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。如果把这两个长方体拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是（ ）平方厘米。

（6）右图形体是由棱长为1厘米的小正方体拼搭成的，它的表面积是（ ）平方厘米；至少还需要（ ）个这样的小正方体，才能拼搭成一个正方体。

2、解决问题。

（1）有一个铁皮烟囱，底面是正方形，周长为2米，高为15米。现需将烟囱加高到25米，至少再需要铁皮多少平方米？

（2）一间教室长8米，宽5米，高3米，如果用涂料粉刷教室的四壁和顶部，除去门窗面积16平方米，共需粉刷多大的面积？

（3）把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？

培优知识 1、解决问题。

（1）一个长方体木块，如果长减少2厘米，就成为正方体木块，这时正方体木块的表面积是96平方厘米。原来这个长方体木块的体积是多少？

（2）从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的还是一个长方体，这时长方体的表面积是64平方厘米。原来长方体最长的一条棱是多少厘米？

（3）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。求原长方体的表面积。

（4）从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

2、操作题。

（1） ①下面（ ）图中的五个小方格纸折起来，可以成为一个无盖的纸盒。

②如该纸盒有盖，则还有一个面可以画在哪里？（请在图上画出）

A

B

C.

(2)先观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，然后把表格填完整。

小正方体的个数 露在外面的面数

（3）如图所示，用棱长分别是1米、2米的两个正方体组成一个物体，那么这个物体的表面积是多少平方米？体积是多少立方米？

（4）小明家的柜式空调长5分米，宽3分米，高1.8米。为了防灰尘，小明的妈妈准备用布做一个长方体的套子把这个空调罩起来。请你帮小明的妈妈算一算，做这只套子至少需要多少平方米布？（接头处共需布0.2平方米）

1 5 2 9 3 4 ..... ( ) ..... n 13 （) ...... 33 ...... ( ) 长方体与正方体的体积

基础知识 1、填空题。

（1）少年宫有一排长方体的储物柜，共占地0.86平方米，储物柜高0.9米，这排柜子占去空间（ ）。

（2）一个正方体的棱长总和是84厘米，它的表面积是（ ），体积是（ ）。

（3）一个长方体，相交于一个顶点的三条棱长度分别是4厘米、3厘米和2厘米，这个正方体的棱长总和是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。

（4）单位换算。

①5000立方厘米=（ ）立方分米=（ ）立方米 ②1.25立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 ③1升=（ ）立方分米=（ ）毫升

④ 3.75立方分米=（ ）立方分米（ ）立方厘米

（5）一个长方体的木盒长8厘米，宽5厘米，高4厘米，这个长方体木盒的表面积是（ ），容积是（ ）。

（6）王老师有一罐茶叶，茶叶罐的高是12厘米，底面是边长为8厘米的正方形，在茶叶罐四周贴了一圈商标纸，商标纸的面积是（ ）平方厘米，茶叶罐的体积是（ ）立方厘米。

（7）一个长方体长是6分米，宽和高都是5分米，它的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 2、解决问题。

（1）学校操场上挖了一个长5米、宽2.5米、深0.6米的沙坑。 ①这个沙坑的占地面积是多少平方米？ ②用7立方米黄沙能不能把这个沙坑填满？

（2）一个长方体玻璃鱼缸，长0.9米，宽0.6米，高0.4米。做这个鱼缸至少要用多少平方米玻璃？这个鱼缸的容积是多少？

拓展知识

1、选择题。

（1）你自己的一只拳头慢慢地伸进装满水的脸盆中，溢出来的水的体积大约是（ ）。

A、小于1毫升，大于1升 B、大于1立方米，小于1升 C、大于1毫升，小于1升

（2）a3表示（ ）。

A、 3a B、a×a×a C、a+a+a D. a×3

（3）已知一个正方体的棱长总和是6米，则这个正方体的体积是（ ）。 A、0.125立方米 B、216立方米 C、1立方米 D、1.5立方米

（4）右图至少还需（ ）个小方块才能填成一个正方体。 A、 8 B、 7 C、 6 D、5

（5）一粒纽扣电池能使600（ ）水污染，相当于一个人一生的饮水量。 A、升 B、毫升 C、立方米

（6）一个正方体，棱长扩大3倍，体积扩大（ ）。

A、3倍 B、 9倍 C、 27倍 D、不变

2、判断题。

（1）雪碧瓶的标签上有“净含量：1.25升”的字样，这个“1.25升”是指整个瓶子的容积。 （ ）

（2）把一个铁块放入盛满水的容器中，溢出的水的体积就是铁块的体积。 （ ）

（3）一个物体的体积是1立方米，它的占地面积就是1平方米。 （ ） （4）用体积为1立方厘米的小正方体木块1000个，拼成一个最大的正方体，拼成后的正方体体积是1000立方厘米。 （ ）

（5）用4个同样大的正方体摆成一个长方体，如果正方体的表面积是12平方厘米，那么所摆成的长方体的表面积是36平方厘米。 （ ）

3、解决问题。

（1）一节车厢，从里面量长10米，宽20分米，高2米。如果储满煤，每立方米煤重1.4吨，这节车厢能装多少吨煤？

（2）下图是一块长方形铁皮。剪掉四个脚上阴影部分的正方形（每个正方形都相等）后，沿虚线折起来，做成没有盖子的铁盒。求这个盒子的容积。（单位：厘米）

（3）将2升水倒入下图两个长方体水槽中，使它们水面的高度相等，这个高度是多少厘米？（单位：厘米）

15 12 10 5 8 15 20 10 2

培优知识 1、填空题。

（1）下图为两个接雨器，雨水将左面接雨器注满要1小时，那么将右面接雨器注满要（ ）小时。（单位：厘米。箭头所指为接雨部位）

（2）一个正方体的体积是64立方厘米，若把它平均分成两个长方体，则每个长方体的表面积是（ ）平方厘米。

10 30 10 20

20 10 10 10 （3）棱长1米的正方体可以分成棱长1分米的小正方体（ ）个，若把分成的所有小正方体紧紧地排成一行，一共能排（ ）米。

（4）把一个长方体的一端截下一个体积为800立方厘米的长方体后，正好剩下一个棱长为10厘米的正方体。原来长方体的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米。

2、解决问题。

（1）学校盖一间教室，内长9米，宽6米，为了打墙基，需要挖宽0.5米、深0.5米的沟。一共要挖土多少立方米？

（2）将长是45厘米的长方体截成三段，这样表面积就增加160平方厘米。这个长方体原来的体积是多少？

（3）如图，甲、乙两个容器装有同样深的水，将一块铁放入甲容器，水面上升2厘米。如果将同样的铁块放入乙容器，水面将上升多少厘米？（单位：厘米）

（4）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

乙

甲 甲30

20 20

20 12

表面积与体积的应用

基础知识 1、选择题。

（1）一桶汽油约（ ），一瓶眼药水约（ ），一个仓库的容积约（ ），一本数学书的体积约（ ）。

A、200毫升 B、 150升 C、 400立方米 D、200立方厘米

（2）用两个棱长是a厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。

A、12a2 B、 11a2 C、10a2

（3）一间教室长8米，宽6米，高4米，这间教室有32个学生，平均每人占有的空间是（ ）。

A、48平方米 B、1.5平方米 C、6立方米 D、192立方米

（4）你认为下图的这种纸质饮料包装盒装（ ）饮料比较合适。 A、 750毫升 B、1000毫升 C、1026毫升

（5）用8个1立方厘米的小方块拼成一个大正方体，如果拿去了一块（如上图），它的表面积与没有拿以前的表面积相比（ ）。

A、大了 B、 小了 C、 不变

（6）一个汽油桶可装50升汽油，它的（ ）是50升。

A、体积 B、 容积 C、 表面积

（7）长方体和正方体的底面积相等，长方体的高是正方体的2倍，正方体的体积是长方体的（ ）。

A、 2倍 B、 4倍 C、

1 D、 8倍 29cm 第（4）题 19cm

6cm 第（5）题

（8）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，若高增加3米，则

新长方体的体积比原来增加了（ ）立方米。

A、3 B、3ab C、3abh D、ab(3?h)

2、解决问题。

（1）在一个长40厘米、宽20厘米、宽30厘米的长方体水箱里注有15厘米深的水。现把一块棱长10厘米的正方体石块浸没水中，水箱中现在水的高度是多少厘米？

（2）在炎热夏天到来之前，王叔叔准备捐资建一座标准化的游泳池，这个游泳池的长是50米，宽是长的一半，深1.8米。 ①这个游泳池的占地面积是多少平方米？ ②挖成这个游泳池共需挖土多少立方米？

③在游泳池的侧面和底面抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？

拓展知识 1、填空题。

（1）如图所示，领奖台是由4个棱长为5分米的正方体拼合而成的。

①如果要把领奖台的表面涂漆（底面不涂），那么需要涂漆的面积是（ ）平方分米。

②这个领奖台的体积是（ ）立方分米。

（2）把一根长8厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料截成两个正方体，表面积增加（ ）平方厘米，每个正方体的体积是（ ）立方厘米。 （3）把一根长4吗的方木按垂直于长锯成5段，表面积增加了160平方厘米。原来这根方木的体积是（ ）立方厘米。

（4）把一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米的长方体截成两个长方体后，这两个长方体的表面积之和最小是（ ）。

（5）把一个长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体的8个顶点处，分别截下一个棱长为1厘米的小正方体后，剩下物体的表面积是（ ）

2 1 3 平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 2、解决问题。

（1）一个密封的长方体玻璃箱，里面装水，从里面量长30厘米，宽10厘米，高15厘米，水深5厘米。如果把箱子的左侧面作为底面放在桌面上，那么水深多少厘米？

（2）下图是分别用棱长是1厘米的小正方体木块摆成的几何体，分别求它们的表面积和体积。

（3）一个正方体鱼缸，棱长6分米，如果把满缸水倒入另一个长8分、宽4.5分米的长方体鱼缸内，水面的高度是多少？

（4）一根长方体木料，长4.5米，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积是7.2平方米。这根木料的体积是多少立方米？

30

15 10 培优知识 1、 将长5分米、宽3分米的长方形硬纸（如图），做成3个棱长1分米的无盖正方体纸盒，该如何剪折（图中正方形的边长表示1分米，请在图上画出剪裁的方法）？每个纸盒的容积是多少立方分米？

2、一个正方体的A点有一只蚊子，B点有一只壁虎，如图。

A

B

画出壁虎捕捉蚊子的最短路线。

3、有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多能放多少个木块？

4、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆上油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。锯成的木块中几块三面有油漆？两个面、一个面有油漆的各是多少块？没有油漆的是多少块？

5、用一块长30厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如下图），做一个高为5厘米的无盖盒子。

（1）画一画，该如何下料？在图上画出来。 （2）算一算，这个盒子的容积有多少升？

30cm 20cm 6、一块长方体的钢材重71.1千克，横截面为边长6厘米的正方形，已知每立方分米的钢重7.9千克。这根钢材长多少米？

7、 下面是一个表面被涂上红色的棱长10厘米的正方体。如果把它沿虚线切成8个小正方体，这些小正方体中，没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？

8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大

地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩余的体积是多少立方厘米？

长 方 体 和 正 方 体（一）

我们已经学习了长方体和正方体的有关知识，如长方体和正方体的特征，长方体和正方体表面积、体积的计算。在数学竞赛中，有许多问题涉及长方体和正方体的知识，这些问题既有趣，又具有一定的思考性。解答这些问题，不仅需要我们具备较扎实的基础知识和较强的观察能力、做图能力和空间想象能力，还要能掌握一些解题的思路和技巧。通过本讲的学习，同学们将从解题的过程中得到一些启示，悟出一些道理，从而提高空间想象能力和分析推理能力。

例1 在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水。如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米？ 【思路一】： 正方体铁块放入水中后，水面上升，上升部分的水的体积与铁块的体积相等。因此，只要求出上升部分水的高度，就可以求出现在水的深度。

【思路二】： 用水箱中水和铁块的体积之和，除以水箱的底面积，就可以求出现在水的深度。

【解法一】30厘米＝3分米 3×3×3÷（15×12）＋10 ＝0.15＋10 ＝10.15（分米）

【解法二】（15×12×10＋3×3×3）÷（15×12） ＝1827÷180

＝10.15（分米） 答：水箱中水深10.15分米。

例2 一个长方体容器内装满水，现在有大、中、小三个铁球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次把中球取出，把小球和大球一起沉入水中。已知每次从容器中溢出的水量的情况是：第二次是第一次的3倍，第三次是第一次的2.5倍。问：大球的体积是小球的多少倍？

【分析与解】（1）当长方体容器装满水时，沉入一个球，就要溢出一定的水，

溢出的水的体积和球的体积相等。（2）当球在容器中的时候，容器是满的，球取出之后，容器中空出的体积与取出球的体积相等。（3）当容器中的水不满时，沉入一个球，如果溢出一定量的水，那么，球的体积相当于溢出的水的体积加上原来长方体容器中空出的体积。我们假设小球的体积为1，根据球放入容器后水溢出的情况，球溢出相应的大球和中球的体积。

设小球的体积为1，则第一次溢出的水的体积也为1。根据第二次溢出的水是第一次的3倍，可知第二次溢出的水是1×3＝3。因为取出小球后容器中空出的体积为1，所以，中球的体积是3＋1＝4。根据第三次溢出的水是第一次的2.5倍，可知第三次溢出的水为1×2.5。因为取出中球后容器中空出的体积是4，所以，大球与小球体积的和是4＋2.5＝6.5。从而可以求出大球的体积为6.5－1＝5.5，以及大球的体积是小球的倍数。

【解】（1×3＋1＋1×2.5－1）÷1＝5.5 答：大球的体积是小球的5.5倍。

例3 一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长15厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米？

【分析与解】要求容器中水深多少厘米，可以用水的体积除以容器的底面积；也可以用原来的水深减去铁块取出后水面下降的高度。

【解法一】0.5米＝50厘米

（60×60－15×15）×50＝168750（立方厘米） 168750÷（60×60）＝46.875（厘米）

【解法二】50－15×15×50÷（60×60） ＝50－3.125

＝46.875（厘米） 答：容器里水深46.875厘米。

例4 有一个正方体，棱长是6厘米。如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体（如左图），那么，这些小正方体表面积的和是多少？

【思路一】： 用每块小正方体的表面积乘以块数，得到所有小正方体表

面积的和。

【思路二】： 将原来正方体切开后，原来的六个面仍是所求表面积的一部分，而每切

一刀，就增加2个正方形的剖面，现在一共切了6刀，表面积就比原来增加了2×6＝12（个）正方形面的面积。用原来正方体的表面积加上增加的面积，就得到所有小正方体表面积的和。

【解法一】（6×6×6）÷（2×2×2）＝27（块） 2×2×6×27＝648（平方厘米） 【解法二】6×6×（6＋2×6） ＝36×18

＝648（平方厘米） 答：表面积的和是648平方厘米。

例5 一个表面涂满了红色的正方体，在它的每个面上都等距离地切两刀。 （1）三个面涂有红色的小正方体有几个？ （2）两个面涂有红色的小正方体有几个？ （3）一个面涂有红色的小正方体有几个？ （4）六个面都没有涂红色的小正方体有几个？

【分析】把大正方体的每个面都切两刀，共可得到3×3×3＝27（个）小正方体。三个面都涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个。两个面涂有红色的小正方体的位置在每条棱上，共有1×12＝12（个）。一个面涂有红色的小正方体的位置在每个面的中间，共有1×6＝6（个）。六个面都没有涂红色的小正方体在大正方体的中间，从27个小正方体中去掉三个面、两个面、一个面涂红色的小正方体，剩下的就是六个面都没涂红色的小正方体。

【解】（1）三个面涂红色的小正方体有8个；

（2）两个面涂红色的小正方体有1×12＝12（个）； （3）一个面涂红色的小正方体有1×6＝6（个）；

（4）六个面都没有涂红色的小正方体有27－（8＋12＋6）＝1（个）。 想一想： 如果要得到100个六个面都没有涂红色的小正方体，那么，每个面上至少需

要等距离地切几刀（每个面上切的刀数相同）？

把一个六个面都涂色的正方体的每个面等距离地切n刀，得到的小正方体的总个数为（n＋1）3，其中三个面涂色的小正方体的个数为8（固定不变）；两个面涂色的小正方体的个数为（n－1）×12；一个面涂色的小正方体的个数为（n－1）2×6；六个面都没涂色的小正方体的个数为（n－1）3。

当n＝5时，（5－1）3＝64；当n＝6时，（6－1）3＝125。所以，要想得到100个六个面都没有涂色的小正方体，至少应该在大正方体的每个面上等距离地切6刀。

【作业题】

1、一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

2、用2100个棱长是1厘米的正方体木块堆成一个实心的长方体。已知长方体的高是10厘米，并且长和宽都大于高。这个长方体的长和宽各是多少厘米？

3、在一个长20分米、宽15分米的长方体容器中，有20分米深的水。当在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块时，容器中水深多少分米？

4、把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长5厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体。求这个长方体的高。

5、有一块长方形的铁皮，长30厘米，宽20厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为2厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。

（1）求这个盒子的容积。

（2）做这个盒子用了多少平方厘米铁皮？

6、有一块长方形的铁皮，长32厘米。在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后制成一个无盖的长方体盒子。已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。

长 方 体 和 正 方 体（二）

例1 18个边长为2厘米的小正方体堆成如图的形状，求它的表面积。

【分析与解】这个立体图形的表面是由若干个边长为2厘米的正方形组成的，可按上下、左右、前后的顺序数出共有多少个小正方形，即可求得表面积。

【解】前面和后面有小正方形9×2＝18（个）；

上面和下面有小正方形9×2＝18（个）； 左面和右面有小正方形8×2＝16（个）。 2×2×（18＋18＋16）＝208（平方厘米） 答：表面积是208平方厘米。

例2 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积。

【分析与解】设原来长方体的底面边长为a厘米，高为b厘米。则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米。而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：

190＋2a2＝240 可知：a2＝25，故a＝5（厘米） 又因为2a2＋4ah＝190

190?2?25解得，h＝?7（厘米）

4?5所以，原来长方体的体积为：

V＝a2h＝25×7＝175（立方厘米）

例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字。但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。

【分析与解】把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体 （如图），这样，每锯一次便得到两个大截面，使表面积

11增加倍，锯三次使截面增加3×＝1（倍），因此全部

33小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍。 例4

把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？

【分析与解】把两个相同的大长方体拼成一个大长方

体，需要把两个相同面拼合，所得大长方体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×7的面。

（9×9+9×4+7×4）×2×2—9×7×2 =（63+36+28）×4—126 =508—126 =382（平方厘米）

答：这个大长方体的表面积最少是382平方厘米。 例5

一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。

【分析与解】我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。

即：40÷2=20（平方厘米） 90÷3=30（平方厘米）

96÷4=24（平方厘米）

（30+20+24）×2 =74×2

=148（平方厘米）

答：原 长方体的表面积是148平方厘米。

例6

有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米？

【分析与解】两个水池水面升高了的体积就是两堆碎石的体积：30×30×4+20×20×11=8000（立方厘米），这两堆碎石沉没到大水池中，体积不会变，升高的高度应是碎石体积÷大水池的底面积。

30×30×4+20×20×11=8000（立方厘米） 8000÷（40×40）=5（厘米）

答：大水池水面将升高厘米。

【作业题】

1、一个正方体木块，表面积是96平方厘米，把它锯成体积相等的8个正方体小木块，每个小木块的表面积是多少？

2、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？

3、把若干个体积相同的小正方体拼成一个大正方体，然后在大正方体的表面涂上红色。已知一面涂红色的小正方体有96个，那么，两面涂红色的小正方体有多少个？

4、右图是由16个棱长2厘米的小正方体重叠而成的，求这个立体图形的表

面积。

5、一个正方体木块，棱长8厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方形孔，直透对面。所得立体图形的体积是多少？表面积是多少？

6、如图，在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的小洞。第三个小洞的棱长为0.25厘米，挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立体图形的表面积是多少？

7、1000个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体，表面涂上油漆后再分为原来的小立方体，那么这些小立方体中至少有一面被油漆过的数目是多少个？

面积。

5、一个正方体木块，棱长8厘米。如果在这个木块的六个面的中心位置各挖去一个边长为2厘米的正方形孔，直透对面。所得立体图形的体积是多少？表面积是多少？

6、如图，在一个棱长为2厘米的正方体上面的正中间向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面再向下挖一个棱长为0.5厘米的小洞。第三个小洞的棱长为0.25厘米，挖法与前两个小洞的挖法相同。现在这个立体图形的表面积是多少？

7、1000个体积为1立方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10厘米的大立方体，表面涂上油漆后再分为原来的小立方体，那么这些小立方体中至少有一面被油漆过的数目是多少个？

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