2011年高考理科分类---数列

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（江西）已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn Sm Sn m,且a1 1,那么a10 ( )

A. 1 B. 9 C. 10 D. 55

S2 a1 a2 2S1, a2 1

答案：A 解析：

S3 S1 S2 3, a3 1 S4 S1 S3 4, a4 1 a10 1

（全国2）设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a1 1，公差d 2，Sk 2 Sk 24，则k （A）8 （B）7 （C）6 （D）5

【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二： 利用Sk 2 Sk ak 2 ak 1直接利用通项公式即可求解，运算稍简。 【精讲精析】选D.

Sk 2 Sk ak 2 ak 1 2a1 (2k 1)d 2 (2k 1) 2 24 k 5.

（四四川）数列 an 的首项为3， bn 为等差数列且bn an 1 an(n N*) .若则b3 2，b10 12，则a8

（A）0 （B）3 （C）8 （D）11

（天津）已知 an 为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为

an 的前n项和，n N*，则S10的值为

（上海）设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai 1的矩形面积（i 1,2, ），则{An}为等比数列的充要条件为〖答〗（ ） A {an}是等比数列。

B a1,a3, ,a2n 1, 或a2,a4, ,a2n, 是等比数列。 C a1,a3, ,a2n 1, 和a2,a4, ,a2n, 均是等比数列。

D a1,a3, ,a2n 1, 和a2,a4, ,a2n, 均是等比数列，且公比相同。 （重庆）在等差数列{an}中，a3 a1 37，则a2 a4 a6 a8 __________

A．-110

C．90 B．-90 D．110

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（安徽）已知 ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则 ABC的面积为

o

_______________ （北京）．在等比数列{an}中，a1=

1

，a4=-4，则公比q=______________a1 a2 ... an ____________。 2

（广东）等差数列 an 前9项的和等于前4项的和.若a1 1,ak a4 0，则k （湖南）设Sn是等差数列{an}(n N*)的前n项和，且a1 1,a4 7，则S5 ______ 答案：25

解析：由a1 1,a4 7可得a1 1,d 2,an 2n 1，所以S5

(1 9) 5

25。 2

（江苏）设1 a1 a2 a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________

（湖北）.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数

列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升。

（

重

庆

）

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海归木心归海心木

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（四川）设d为非零实数，an =

1122n-1 n-1nn*

[Cn d+2Cnd+ +(n—1)Cnd+nCnd](n∈N). n

(I) 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；

*

(II)设bn=ndan (n∈N)，求数列{bn}的前n项和Sn．

（天津）已知数列{an}与{bn}满足：bnan an 1 bn 1an 2

3 ( 1)n*

0,bn ， n N，且

2

a1 2,a2 4．

（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；

（Ⅱ）设cn a2n 1 a2n 1,n N*，证明： cn 是等比数列； （III）设Sk a2 a4 a2k,k N,证明：

*

Sk7

(n N*)． 6k 1ak

4n

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决

问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

1,n为奇数3 ( 1)n

,n N*, 可得bn （I）解：由bn 2 2,n为偶数

又bnan an 1 bn 1an 2 0,

当n=1时,a1+a2+2a3=0,由a1=2,a2=4,可得a3 3;当n=2时,2a2+a3+a4=0,可得a4 5;当n=3时,a3+a4+2a5=0,可得a4 4.

（II）证明：对任意n N,

*

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a2n 1 a2n 2a2n 1 0, 2a2n a2n 1 a2n 2 0, a2n 1 a2n 2 2a2n 3 0,

②—③，得

① ② ③ ④

a2n a2n 3.

将④代入①，可得a2n 1 a2n 3 (a2n 1 a2n 1)即cn 1 cn(n N*) 又c1 a1 a3 1,故cn 0,因此

cn 1

1,所以{cn}是等比数列. cn

*

（III）证明：由（II）可得a2k 1 a2k 1 ( 1)k，于是，对任意k N且k 2，有

a1 a3 1, (a3 a5) 1,a5 a7 1,

( 1)k(a2k 3 a2k 1) 1.

将以上各式相加，得a1 ( 1)ka2k 1 (k 1),即a2k 1 ( 1)k 1(k 1)， 此式当k=1时也成立.由④式得a2k ( 1)k 1(k 3).

从而S2k (a2 a4) (a6 a8) (a4k 2 a4k) k,S2k 1 S2k a4k k 3.

n

SkSSSS

所以，对任意n N,n 2， (4m 3 4m 2 4m 1 4m)

a4m 2a4m 1a4mk 1akm 1a4m 3

*

4n

n

2m 22m 12m 32m23 ( ) ( )

2m2m 22m 12m 32m(2m 1)(2m 2)(2m 2)m 1m 1

n2531n53

2 3m 22m(2m 1)(2n 2)(2n 3)3m 2(2m 1)(2m 1)(2n 2)(2n 3)

n

151111113 [( ) ( ) ( )] 3235572n 12n 1(2n 2)(2n 3)

15513

3622n 1(2n 2)(2n 3)

7 .6

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对于n=1，不等式显然成立.所以，对任意n N*,

SSSSSSS1S2SS

2n 1 2n (1 2) (3 4) (2n 1 2n) a1a2a2n 1a2na1a2a3a4a2n 1a2n11121n (1 ) (1 2 2) (1 ) 2nn

41244 (4 1)4(4 1)

11111121n n ( ) (2 22) (n nn) n ( ) n .

412341244(4 1)44(4 1)

（浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a（a R）,设数列的前n项和为Sn，且

11

，，a1a2

1

成等比数列 a4

（1）求数列{an}的通项公式及Sn （2）记An

大小．

（I）解：设等差数列{an}的公差为d，由(因为d 0，所以d a所以an na1,Sn （II）解：因为

11111111

，当n 2时，试比较An与Bn的 ... ，Bn ...

S1S2S3Sna1a2a22a2n

1211

) ,得(a1 d)2 a1(a1 3d) a2a1a4an(n 1)

. 2

1211111121 ( )，所以An (1 ) Snann 1S1S2S3Snan 1

1

1 ()n

11111n 1 2(1 1). 因为a2n 1 2a，所以Bn a1a2a22a2n 1a1 1a2n

2

11n012n

1 n,所以，当a 0时,An Bn; 当n 2时,2 Cn Cn Cn Cn n 1，即1

n 12

当a 0时,An Bn.

（上海）已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an 3n 6，bn 2n 7（n N），将集合

*

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{x|x an,n N*} {x|x bn,n N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1,c2,c3, ,cn, 。

⑴ 求c1,c2,c3,c4；

⑵ 求证：在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4, ,a2n, ； ⑶ 求数列{cn}的通项公式。

⑴ c1 9,c2 11, 3c3 12c4, ；1

*

⑵ ① 任意n N，设a2n 1 3(2n 1) 6 6n 3 bk 2k 7，则k 3n 2，即a2n 1 b3n 2

② 假设a2n 6n 6 bk 2k 7 k 3n

1

N*（矛盾），∴ a2n {bn} 2

∴ 在数列{cn}中、但不在数列{bn}中的项恰为a2,a4, ,a2n, 。 ⑶ b3k 2 2(3k 2) 7 6k 3 a2k 1，

b3k 1 6k 5，a2k 6k 6，b3k 6k 7

k 5 6k 6 k6 ∵ 6k 3 6

∴ 当k 1时，依次有b1 a1 c1,b2 c2,a2 c3,b3 c4，

6k 3(n 4k 3) 6k 5(n 4k 2)

∴ cn ,k N*。

6k 6(n 4k 1) 6k 7(n 4k)

（全国新）等比数列 an 的各项均为正数，且2a1 3a2 1,a32 9a2a6.

求数列 an 的通项公式.

1

设 bn log3a1 log3a2 ...... log3an,求数列 的前项和.

bn

解：

232

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3所以q2 9a2a6得a3 9a4

1

。有条件可知a>0,故9

1q 。

3

11

由2a1 3a2 1得2a1 3a2q 1，所以a1 。故数列{an}的通项式为an=n。

33

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（Ⅱ ）bn log1a1 log1a1 ... log1a1

(1 2 ... n)

n(n 1)

2

故

1211 2( ) bnn(n 1)nn 1

111111112n

... 2((1 ) ( ) ... ( ))

b1b2bn223nn 1n 12n1

所以数列}的前n项和为

n 1bn

（山东）等比数列 an 中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）若数列 bn 满足：bn an ( 1)nlnan，求数列 bn 的前n项和Sn.

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（全国2）设数列 an 满足a1 0且（Ⅰ）求 an 的通项公式；

（Ⅱ）设bn

11

1.

1 an 11 an

记Sn bk,证明：Sn 1.

k 1

n

【思路点拨】解本题突破口关键是由式子

111

1.得到{}是等差数列，进而可求出数列

1 an 11 an1 an

an 的通项公式.（II）问求出{bn}的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。

【精讲精析】 (I) {

1

是公差为1的等差数列， 1 an

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11

(n 1) 1 n. 1 an1 a1

所以an

n 1

(n N )

n

(II)bn

n

Sn bk k 1

1 1.

（江苏）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的首项a1 1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n>k时，Sn k Sn k 2(Sn Sk)都成立

（1）设M=｛1｝，a2 2，求a5的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列{an}的通项公式

（江西）已知两个等比数列 an ， bn ，满足a1 a(a 0),b1 a1 1,b2 a2 2,b3 a3 3.

（1）若a=1，求数列 an 的通项公式； （2）若数列 an 唯一，求a的值.

.解：（1）当a=1时，b1 1 a 2,b2 2 a2,b3 3 a3，又 an ,bn 为等比数列，不妨设 an 公比为q1，由等比数列性质知：

2

b2 b1b3 (2 a2)2 2 3 a3 ，同时又有

22222

a2 a1q1,a3 a1q1 2 a1q1 23 a1q1 2 q1 23 q1 q1 2 2所以：

an 2 2

（2）

2

n 1

,n 1

an

要唯一， 当公比q1 0时，由b1 1 a 2,b2 2 a2,b3 3 a3且

b2 b1b3 2 aq1 2 1 a 3 aq12 aq12 4aq1 3a 1 0，

a 0， aq12 4aq1 3a 1 0最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）

4a 4a 3a 1 0 4a a 1 0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。

2

当公比q1 0时，等比数列 an 首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由

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2 aq1 2 1 a 3 aq12 aq12 4aq1 3a 1 0，可推得3a 1 0,a 1符合

3

综上：a

1。 3

（辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10

a

（I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列 nn的前n项和． 1

2

解：

（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得

a1 d 0,

2a1 12d 10,

a1 1,解得

d 1.

故数列{an}的通项公式为an 2 n. 5分 （II）设数列anana2

的前n项和为SS a ,故S1 1， ，即nn1n 1n 1

222

Sna1a2a

n. 2242n

所以，当n 1时，

Sna aaa a1

a1 2 nn 1n 1 n2222n

1112 n

1 ( n 1 n)

2422

12 n

1 (1 n 1) n

22

n. 2n

n2n 1

.

所以Sn

综上，数列{

ann}的前n项和S . 12分 nn 1n 122

an 1 rSn (n N，r R,r 1). （湖北）已知数列 an 的前n项和为Sn，且满足：a1 a(a 0)，

*

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；

（Ⅱ）若存在k N*，使得Sk 1，Sk，Sk 2成等差数列，是判断：对于任意的m N*，且m 2，

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am 1，am，am 2是否成等差数列，并证明你的结论.

（广东）设b 0,数列 an 满足a1=b,an (1) 求数列 an 的通项公式；

nban 1

(n 2),

an 1 2n 2

bn 1

(2) 证明：对于一切正整数n,an n 1 1

2

（福建）已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若函数f(x) Asin(2x )(A 0,0 p )在x f（x）的解析式。

13。 3

6

处取得最大值，且最大值为a3，求函数

记作Tn，再令an lgTn,n≥1. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn tanan tanan 1,求数列{bn}的前n项和Sn.

（安徽）在数1和100之间插入n个实数，使得这n 2个数构成递增的等比数列，将这n 2个数的乘积

（北京）若数列An a1,a2,...,an(n 2)满足an 1 a1 1(k 1,2,...,n 1)，数列An为E数列，记

S(An)=a1 a2 ... an．

（Ⅰ）写出一个满足a1 as 0，且S(As)〉0的E数列An；

（Ⅱ）若a1 12，n=2000，证明：E数列An是递增数列的充要条件是an=2011；

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（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列An，使得S An =0？如果存在，写

出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以ak 1 ak 1(k 1,2, ,1999). 所以A5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1，

a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1

所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.

故an 1 an 1 0(k 1,2, ,1999),即An是递增数列. 综上，结论得证。

（Ⅲ）令ck ak 1 ak 1 0(k 1,2, ,n 1),则cA 1. 因为a2 a1 c1 a1 a1 c1 c2

an a1 c1 c2 cn 1,

所以S(An) na1 (n 1)c1 (n 2)c2 (n 3)c3 cn 1

n(n 1)

[(1 c1)(n 1) (1 c2)(n 2) (1 cn 1)]. 2

因为ck 1,所以1 ck为偶数(k 1, ,n 1).

所以*1 c1)(n 1) (1 c2)(n 2) (1 cn)为偶数, 所以要使S(An) 0,必须使

n(n 1)

为偶数, 2

即4整除n(n 1),亦即n 4m或n 4m 1(m N*).

当n 4m 1(m N*)时,E数列An的项满足a4k 1 a4k 1 0,a4k 2 1,a4k 1

(k 1,2, ,m)时，有a1 0,S(An) 0;

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a4k 1(k 1,2, ,m),a4k 1 0时,有a1 0,S(An) 0;

当n 4m 1(m N*)时,E数列An的项满足，a4k 1 a3k 3 0,a4k 2 1,

当n 4m 2或n 4m 3(m N)时,n(m 1)不能被4整除，此时不存在E数列An， 使得a1 0,S(An) 0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/12ue.html