数理统计习题 数理统计练习题

数理统计

一、填空题

1．设X1,X2,?Xn为母体X的一个子样，如果g(X1,X2,?Xn) ， 则称g(X1,X2,?Xn)为统计量。

2．设母体X~N(?,?2),?已知，则在求均值?的区间估计时，使用的随机变量为 3．设母体X服从方差为1的正态分布，根据来自母体的容量为100的子样，测得子样均值为5，则X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 4．假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生

5．某产品以往废品率不高于5%，今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%， 此问题的原假设为 。

6．某地区的年降雨量X~N(?,?2)，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为： (单位：mm) 587 672 701 640 650 ，则?的矩估计值为 。 7．设两个相互独立的子样X1,X2,?,X21与Y1,?,Y5分别取自正态母体N(1,22)与

222N(2,1)， S12,S2分别是两个子样的方差，令?12?aS12,?2，已知?(a?b)S222b?_____。 ?12~?2(20),?2~?2(4)，则a?_____,8．假设随机变量X~t(n)，则

1服从分布 。 X29．假设随机变量X~t(10),已知P(X2??)?0.05，则??____ 。 10．设子样X1,X2,?,X16来自标准正态分布母体N(0,1)，

X为子样均值，而

P(X??)?0.01， 则??____

11．假设子样X1,X2,?,X16来自正态母体N(?,?)，令Y?3分布

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2?Xi?110i?4?Xi，则Y的

i?1116

12．设子样X1,X2,?,X10来自标准正态分布母体N(0,1)，X与S分别是子样均值和

*210X2子样方差，令Y?，若已知P(Y??)?0.01，则??____ 。

S*2?,??都是母体未知参数?的估计量，?比??有效，13．如果?称?则满足 。 1212??C14．假设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?)，?一个无偏估计量，则C?_______。

15．假设子样X1,X2,?,X9来自正态母体N(?,0.81)，测得子样均值x?5，则?的置信度是0.95的置信区间为 。

16．假设子样X1,X2,?,X100来自正态母体N(?,?2)，?与?未知，测得子样均值

222?(Xi?1n?1i?1?Xi)2是?2的

x?5，子样方差s2?1，则?的置信度是0.95的置信区间为 。

17．假设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?2)，?与?未知，则原假设

2H0：??15的t检验选用的统计量为 。

18．正交设计中Lrn(s)中S的选择原则是 。

19．一元线性回归分析中y????x??，对随机误差?的要求是 。 20．一元线性回归分析中y????x??中，对H0：??0的检验所用的统计量为 二、选择题

1．下列结论不正确的是 ( )

① 设随机变量X,Y都服从标准正态分布，且相互独立，则X?Y~② X,Y独立，X~22?2(2)

?2(10),X?Y~?2(15)?Y~?2(5)

2③ X1,X2,?Xn来自母体X~N(?,?)的子样，X是子样均值，

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则

?i?1n(Xi?X)2?2~?2(n)

④ X1,X2,?Xn与Y1,Y2,?Yn均来自母体X~N(?,?2)的子样，并且相互独立，

X,Y分别为子样均值，则

?(Xi?1nni?X)2~F(n?1,n?1)

?Y)2?(Yi?1i?,??是参数?的两个估计量，正面正确的是 ( ) 2．设?12?)?D(??)，则称??为比??有效的估计量 ① D(?1212?)?D(??)，则称??为比??有效的估计量 ② D(?1212?,??是参数?的两个无偏估计量，D(??)?D(??)，则称??为比??有效的估计量 ③ ?121212?)?D(??)，则称??为比??,??是参数?的两个无偏估计量，D(??有效的估计量 ④ ?121212?)?0，则有 （ ） 3．设??是参数?的估计量，且D(?? 不是?的无偏估计 ② ?? 是?的无偏估计 ① ?2222? 不一定是?的无偏估计 ④ ?? 不是?的估计量 ③ ?22224．下面不正确的是 （ ）

2① u1????u? ② ?12??(n)????(n)

③ t1??(n)??t?(n) ④ F1??(n,m)?1

F?(m,n)5．母体均值的区间估计中，正确的是 （ ）

① 置信度1??一定时，子样容量增加，则置信区间长度变长； ② 置信度1??一定时，子样容量增加，则置信区间长度变短； ③ 置信度1??增大，则置信区间长度变短； ④ 置信度1??减少，则置信区间长度变短。

6．对于给定的正数?，0???1，设u?是标准正态分布的?上侧分位数，则有（ ）

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① P(U?u?)?1?? ② P(|U|?u?)??

22? ③ P(U?u?)?1?? ④ P(|U?|?u?)22227．某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布N(?0,?0为已知，现从某日生产),?0,?0的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得子样均值和子样方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设 （ ） ① H0：???0 H1：???0 ② H0：???0 H1：???0

2222③ H0：?2??0 H1：?2??0 ④ H0：?2??0 H1：?2??0

8．设子样X1,X2,?Xn抽自母体X，Y1,Y2,?Ym来自母体Y，X~N(?1,?2)

Y~N(?2,?2)，则

?(Xi?1mi?1ni??1)2/n的分布为

2(Y??)?i2/m① F(n,m) ② F(n?1,m?1) ③ F(m,n) ④ F(m?1,n?1)

1n9．设x1,x2,?,xn为来自X~N(?,?)的子样观察值，?,?未知，x??xi

ni?122 则?的极大似然估计值为 （ ）

21n1n1n1n22① ?(xi?x) ② ?(xi?x) ③ (xi?x) ?(xi?x) ④n?1?ni?1ni?1n?1i?1i?11n1n210．子样X1,X2,?Xn来自母体X~N(0,1)，X??Xi，S?(Xi?X)2 ?ni?1n?1i?1则下列结论正确的是 （ ） ① nX~N(0,1) ② X~N(0,1) ③

?Xi2~?2(n) ④

i?1nX~t(n?1) S11．假设随机变量X~N(1,2),X1,X2,?,X100是来自X的子样，X为子样均值。已知 Y?aX?b~N(0,1)，则下列成立的是（ ）

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2

①a??5,b?5 ②a?5,b?5 ③a?1,b??1 ④a??1,b?1

5555X与S分别是子样均值和子样方差，12．设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?2)，

2

则下面结论不成立的是（ ）

①X与S相互独立 ②X与(n?1)S2相互独立

2③X与

1?2?(Xi?1ni?X)相互独立 ④X与

21?2?(Xi?1ni??)2相互独立

213．子样X1,X2,X3,X4,X5取自正态母体N(?,?2)，?已知，?未知。则下列随机变量中不能作为统计量的是（ ）

1 ① X ② X1?X2?2? ③ ④(X?X)?i?2i?1322

15?(Xi?15i?X)2

X与S分别是子样均值和子样方差，14．设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?2)，

则下面结论成立的是（ ）

n(X??)2~F(1,n?1) ① 2X2?X1~N(?,?) ② 2S2③

S2?2~?2(n?1) ④

X??n?1~t(n?1) S15．设子样X1,X2,?,Xn来自母体X，则下列估计量中不是母体均值?的无偏估计量的是（ ）。

①X ②X1?X2???Xn ③0.1?(6X1?4Xn) ④X1?X2?X3 16．假设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?)。母体数学期望?已知，则下列估计量中是母体方差?的无偏估计是（ ）

221n1n1n1n222①?(Xi?X)②(Xi?X)③(Xi??) ④(Xi??)2 ???ni?1n?1i?1n?1i?1n?1i?117．假设母体X的数学期望?的置信度是0.95，置信区间上下限分别为子样函数

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b(X1,?Xn)与 a(X1,?,Xn)，则该区间的意义是（ ）

① P(a???b)?0.95 ② P(a?X?b)?0.95 ③ P(a?X?b)?0.95 ④ P(a?X???b)?0.95

18．假设母体X服从区间[0,?]上的均匀分布，子样X1,X2,?,Xn来自母体X。则未知参数? 的极大似然估计量??为（ ）② ① 2X ② max(X1,?,Xn) ③ min(X1,?,Xn) ④ 不存在

19．在假设检验中，记H0为原假设，则犯第一类错误的概率是（ ） ① H0成立而接受H0 ② H0成立而拒绝H0 ③ H0不成立而接受H0 ④ H0不成立而拒绝H0 20．假设子样X1,X2,?,Xn来自正态母体N(?,?2)，X为子样均值，记

1n1n22(Xi?X)2 S??(Xi?X)S2??ni?1n?1i?1211n1n22(Xi??)2 S??(Xi??)S4??n?1i?1ni?123则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ） ①

X??X??X??X??n?1 ②n?1 ③ n ④ n S1S2S3S4三、计算题

1．设母体X~N(12,4)，抽取容量为5的子样，求 （1） 子样均值大于13的概率； （2） 子样的最小值小于10的概率； （3） 子样最大值大于15的概率。

2．假设母体X~N(10,2)，X1,X2,?,X8是来自X的一个子样，X是子样均值，求

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P(X?11)。

3．母体X~N(10,22)，X1,X2,?,X8是来自X的子样，X是子样均值，若

P(X?c)?0.05，试确定c的值。

4．设X1,X2,?,Xn来自正态母体N(10,22)，X是子样均值， 满足P(9.02?X?10.98)?0.95，试确定子样容量n的大小。

5．假设母体X服从正态母体N(20,32)，子样X1,X2,?,X25来自母体X,计算

25?16?P??Xi??Xi?182?

i?17?i?1?6．假设新生儿体重X~N(?,?2)，现测得10名新生儿的体重，得数据如下： 3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260 （1）求参数?和?的矩估计； （2）求参数?的一个无偏估计。

22?e?(x??)x??7．设随机变量X的概率密度函数为f(x)?? ，设X1,X2,?,Xn来自

x???0母体X的一个子样，求?的矩估计和极大似然估计。

8．在测量反应时间中，一位心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以0.95的置信度使平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，那么测量的子样容量n最小应取多少

9．设随机变量X~N(?,1)，x1,x2,?,x10是来自X的10个观察值，要在??0.01的水平下检验 H0：??0，H1：??0 取拒绝域J??|X|?c （1）c??

（2）若已知x?1,是否可以据此推断??0成立？ (??0.05)

（3）如果以J??|X|?1.15检验H0：??0的拒绝域，试求该检验的检验水平?。 10．假设按某种工艺生产的金属纤维的长度X（单位mm）服从正态分布N(5.2,0.16)，

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????

现在随机抽出15根纤维，测得它们的平均长度x?5.4，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的金属纤维的长度仍为5.2mm

11．某地九月份气温X~N(?,?2)，观察九天，得x?30C，s?0.9C，求

*00 （1）此地九月份平均气温的置信区间； （置信度95%）

（2）能否据此子样认为该地区九月份平均气温为31.5C（检验水平??0.05) （3）从（1）与（2）可以得到什么结论？ t0.025(8)?2.306

12．正常成年人的脉搏平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测得脉搏为 54 68 65 77 70 64 69 72 62 71，假设人的脉搏次数X~N(?,?2)，试就检验水平

0??0.05下检验患者脉搏与正常成年人的脉搏有无显著差异？

13．设随机变量Xi~N(?i,?i2),?i,?i2均未知，X1与X2相互独立。现有5个X1的观

2察值，子样均值x1?19，子样方差为s1有4个X2的观察值，子样均值x2?18， ?7.505，2子样方差为s2?2.593，

（1）检验X1与X2的方差是否相等？??0.1,F0.05(4,3)?9.12,F0.05(3,4)?6.59 （1） 在（1）的基础上检验X1与X2的均值是否相等。 （ ??0.1）

14．假设某厂生产的缆绳，其抗拉强度X服从正态分布N(10600,822)，现在从改进工艺后生产的缆绳中随机抽取10根，测量其抗拉强度，子样方差s?6992。当显著水平为

2??0.05时，能否据此认为新工艺生产的缆绳的抗拉强度的稳定性是否有变化？

15．某种导线的电阻X~N(?,0.0052)，现从新生产的一批导线中抽取9根， 得s?0.009?。

（1）对于??0.05，能否据此认为新生产的一批导线的稳定性无变化？ （2）求母体方差?的95%的置信区间

16、某厂用自动包装机包装糖，每包糖的重量X~N(?,?)，某日开工后，测得9包糖的重量如下：99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5 (单位：千克) 试求母体均值?的置信区间，给定置信水平为0.95。

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22

17、设有甲、乙两种安眠药，现在比较它们的治疗效果，X表示失眠患者服用甲药后睡眠时间的延长时数，Y表示失眠患者服用乙药后睡眠时间的延长时数，随机地选取20人，

*2*210人服用甲药，10人服用乙药，经计算得x?2.33,s1?1.9;y?1.75,s2?2.9，设

X~N(?1,?2),Y~N(?2,?2)；求?1??2的置信度为95%的置信区间。

18、研究由机器A和B生产的钢管的内径，随机地抽取机器A生产的管子18根，测得子

*2*2样方差s1?0.34，抽取机器B生产的管子13根，测得子样方差s2?0.29，设两子样

2独立，且由机器A和B生产的钢管的内径服从正态分布N(?1,?12),N(?2,?2)，试求母

?12体方差比2的置信度为90%的置信区间。

?219、设某种材料的强度X~N(?,?2)，?,?2未知，现从中抽取20件进行强度测试，以kg/cm为强度单位，由20件子样得子样方差s2*2?0.0912，求?2和?的置信度为90%

的置信区间。 20、设自一大批产品中随机抽取100个样品，得一级品50个，求这批产品的一级中率p的置信度为95%的置信区间。

21、一家广告公司想估计某类商店去年所花的平均广告费有多少。经验表明，母体方差约为1800000，如果置信度为95%，并要使估计值处在母体均值附近500元的范围内，这家广告公司应取多大的子样？

22、设电视机的首次故障时间X服从指数分布，??EX，试导出?的极大似然估计量和矩估计。

23、为了比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位银行职员随机地安排了10个顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟）

*2*2相应的子样均值和方差为：x1?22.2,x2?28.5;s1?16.63,s2?18.92。假设每位职

员为顾客办理账单所需的时间服从正态分布，且方差相等，求母体平均值差的置信度为95%的区间估计。

24、某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，他们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过该广告的比例分别为0.18和0.14，试求两个城市成年人中看过该广告的比例之差的置信度为95%的置信区间。

25、电视机显像管批量生产的质量标准为平均寿命1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定标准。为了进行验证，随机抽取100件为子样，测得其平均寿命为1245小时。能否据此认为该厂的显像管质量大大高于规定标准？ 26、某机器制造出的肥皂厚度为5cm，今欲了解机器性能是否良好，随机抽取10块为子

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样，测得其平均厚度为5.3cm，标准差为0.3cm，试分别以0.05和0.01的显著水平检验机器性能是否良好？（假设肥皂厚度服从正态分布）

27、有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为8kg，第二种方法生产的产品的抗拉强度的标准差为10kg。从两种方法生产的产品各抽取一个子样，子样容量分别为32和40，测得

x1?50kg,x2?44kg。问这两种方法生产的产品的平均抗拉强度是否有显著差别

??0.05,z0.025?1.96

28、一个车间研究用两种不同的工艺组装产品所用的时间是否相同，让一个组的10名工人用第一种工艺组装产品，平均所需的时间为26.1分钟，子样标准差为12分钟；另一组的8名工人用第二种工艺组装产品，平均所需的时间为17.6分钟，子样标准差为10.5分钟，已知用两种工艺组装产品所需的时间服从正态分布，且方差相等，问能否认为用第二种工艺组装产品所需的时间比用第一种工艺组装产品所需的时间短？

??0.05,t0.05(16)?1.7459

29、某地区小麦的一般生产水平为亩产250kg，其标准差为30kg。现用一种化肥进行试验，从25个小区抽样结果为平均产量为270kg。问这种化肥是否使小麦明显增产？ ??0.05 30、某种大量生产的袋装食品，按规定不得少于250kg。今从一批该食品中任意抽取50袋，发现有6袋低于250kg。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂，该批食品能否出厂？ ??0.05 31、某种电子元件的寿命服从正态分布。现测得16只元件的寿命如下：159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。

??0.05,t0.05(15)?1.7531

32、某电器经销公司在6个城市设有经销处，公司发现彩电销售量与该城市居民户数多少有很大关系，并希望通过居民户数多少来预测其彩电销售量。下表是有关彩电销售量与城市居民户数的统计数据： 城市编号 1 2 3 4 5 6 销售量 5425 6319 6827 7743 8365 8916 户数 (万户) 189 193 197 202 206 209 要求：(1)计算彩电销售量与城市居民户数之间的线性相关系数； （2）拟合彩电销售量对城居民户数的回归直线；

(3)计算判定系数R

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