高一数学必修1主要考点

高一数学必修1主要考点

高中数学必修1主要考点

考点一：集合间的运算：求交集(A∩B）、并集(A∪B)、补集(CUA) 类型题1：用列举法表示的集合间的运算

对于用列举法表示的集合间的运算，A∩B（交集）为A与B的相同元素组成的集合，A∪B（并集）为A与B的所有元素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，CUA（补集）为在全集U中把A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。

例1、已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={1,3,5,7}，集合B={2,5,8}，求A

∩B，A∪B，CUA。

解：A∩B={1,3,5,7}∩{2,5,8}={5}

A∪B={1,3,5,7}∪{2,5,8}={1,2,3,5,7,8} CUA={2,4,6,8,9,10}

类型题2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征） 对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。A∩B（交集）为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。A∪B（并集）为图形中A加上B所表示的集合。CUA（补集）为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩下的部分所表示的集合（若全集为R，则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是带有等于号的用实心点表示，没带等于号的用空心点表示。

例2、已知集合A={x|0

A∪B={x|0

CRA={x|x≤0或x≥2}

数轴表示：（此部分可在草稿纸进行）

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考点二：求函数的定义域 求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为0；

（2）偶次方根的被开方数不小于0，0取0次方没有意义（即指数为0的幂函数底

数不能为0）；

（3）对数函数的真数必须大于0；

（4）指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1； （5）当函数涉及实际问题时，还必须保证实际问题有意义。

（6）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都

有意义的实数集合。（即求各集合的交集）

注意：函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。 例1：已知函数f (x) =

?x?3?0?x?2?0x?3+

1x?2，求函数的定义域。

解：?? 解得：??x??3?x??2

∴所给函数的定义域为{x|x??3且x??2}。 例2、求函数y?log?4?x?0?x?3?0(4?x)?(x?3)的定义域。

00.2解：?? 解得：?x?x?4?x?3 ∴所给函数的定义域为{x|x?4且x?3}。

例3、求函数y?(x?1)?log(x?2)x的定义域。

?x?1?0?x??1??x?1?1x?0????解：??x?2?0 解得：?x?2 ∴所给函数的定义域为{x|x?2且x?3}。

?x?2?1?x?3?????x?0?x?0例4、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域. 解：由题意知，另一边长为

所以s=

80?2x280?2x2，且边长为正数，所以0＜x＜40.

?x = （40－x）x （0＜x＜40）

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考点三：相同函数的判断

1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关○

系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和○

函数值的字母无关。

例1、下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x); （2）y = (x); （3）y =x解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x； （1）y = (x)2的定义域为{x|x>0}，定义域不相同；

3（2）y = (x)定义域为R，化简后对应关系为y=x，与y=x为同一函数；

32 33 2

; （4）y=

x2x

（3）y =x定义域为R，化简后对应关系为y=|x|，对应关系不相同； （4）y=

x22x定义域为{x|x≠0}，定义域不相同。

考点四：单调性证明及性质应用 1、定义

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数。 2、性质

增函数：在单调区间内，对于任意x1

呈现上升趋势；

减函数：在单调区间内，对于任意x1f(x2)，且函数图象在此区间内

呈现下降趋势；

3、定义法证明单调性步骤

① 在单调区间内任取x1，x2∈D，且x1

③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

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例1、证明函数f（x）＝

3x?1在［3,5］上是减函数。

证明：设x1,x2?[3,5]，且x1?x2，则 f(x1)?f(x2)?3x1?1?3x2?1?3(x2?x1)(x1?1)(x2?1)

?x1,x2?[3,5]，?x1?1?0,x2?1?0 ?x1?x2，?x2?x1?0

?f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2) 因此，函数f（x）＝

3x?1在［3,5］上是减函数。

4、利用函数单调性求变量取值范围

常见给出一个二次函数在某一区间上的单调性，并求变量的取值范围。此类题型注意二次函数的对称轴必须落在所给单调区间的外面，再结合二次函数开口方向即可求解。

例2、设函数f?x??x??3a?1?x?a在区间?1,??22?上是增函数，求实数a的

取值范围。

解：∵二次函数f?x??x??3a?1?x?a图象开口向上，

对称轴为：x??222?(3a?1)2?23a?12

3a?12,??)上是增函数

∴函数f?x??x??3a?1?x?a在区间(2又由题意知：函数f?x??x??3a?1?x?a在区间?1,??2?上是增函数

∴

3a?12?1，解得：a?1 ∴实数a的取值范围为???,1?

考点五：求函数最值：求函数最值一般结合函数单调性进行求解 例1、求函数y?(x?1)?2，0?x?2的最大值与最小值。 解：∵函数y?(x?1)?2为二次函数，图像开口向上，对称轴为x=1

∴函数在对称轴处取得最小值f(1)=-2，又f(0)=f(2)=-1，故函数最大值为-1。

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考点六：奇偶性判断及性质应用 1、定义

偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域的任意一个x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 2、性质

偶函数：f(?x)?f(x)，图象关于y轴对称；

图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。

奇函数：f(?x)??f(x)，图象关于原点对称，f(0)?f(?0)?0 ； 图象在关于原点对称的两个区间上的单调性相同。 典型题：利用奇偶性性质求函数解析式

例1、函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x?0时，f(x)??x?1，求当x?0时，f(x)的表达式。

解：令x?0,则?x?0,f(?x)??(?x)?1?x?1

?f(x)是定义域为R的奇函数，?f(x)??f(?x)

∴当x?0时，f(x)??f(?x)??(x?1)??x?1。 ∴当x?0时，f(x)的表达式为：f(x)??x?1

3、判断奇偶性步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(?x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：

若f(?x)?f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是偶函数； 若f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)?0,则f(x)是奇函数

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