考研数学一历年真题1995

1995年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2(1)lim(1 3xsinx

x 0

)

=_____________.

(2)d0dx

x2xcost2

dt= _____________. (3)设(a b) c 2,则[(a b) (b c)]

(c a)=_____________.

(4)幂级数 n2n 1n ( 3)

n

x的收敛半径R=_____________. n 12 1 00

3

(5)设三阶方阵A,B满足关系式A 1

BA 6A BA,且A 0

1

40 ,则B=_____________.

00

1 7

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设有直线L

: x 3y 2z 1 0

2x y 10z 3 0

,及平面 :4x 2y z 2 0,则直线L

(A)平行于 (B)在 上 (C)垂直于

(D)与 斜交

(2)设在[0,1]上f (x) 0,则f (0),f (1),f(1) f(0)或f(0) f(1)的大小顺序是 (A)f (1) f (0) f(1) f(0) (B)f (1) f(1) f(0) f (0) (C)f(1) f(0) f (1) f (0) (D)f (1) f(0) f(1) f (0)

(3)设f(x)可导,F(x) f(x)(1 sinx),则f(0) 0是F(x)在x 0处可导的 (A)充分必要条件

(B)充分条件但非必要条件

(C)必要条件但非充分条件

(D)既非充分条件又非必要条件

(4)设u ( 1)nln(1n则级数

(A)

u

n

与

u

2

都收敛

(B)

2

n

与

都发散

n 1

n 1

n

u

n 1

u

n 1

n

(C)

u

2

n

收敛,而

发散 (D)

发散

n 1

u

2

n 1

n

u

n

收敛,而

n 1

u

n 1

n

a11a12a13 (5)设A a a11

a12a13 21aa 010 100

22a 23aa22100 ,P 010 a31

a32

a ,B 2133 a31

a32

a 23,P1 2,则必有

33 001

101

(A)AP1P2=B (B)AP2P1=B (C)P1P2A=B

(D)P2P1A=B

三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)

(1)设u f(x,y,z), (x2,ey,z) 0,y sinx,其中f, 都具有一阶连续偏导数,且 z 0.求du

dx

.

(2)设函数f(x)在区间[0,1]上连续,并设

1

11

f(x)dx A,求 0

dx x

f(x)f(y)dy.

四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分

为锥面

zdS,其中 z

在柱体x2 y2 2x内的部分.

(2)将函数f(x) x 1(0 x 2)展开成周期为4的余弦函数.

五、(本题满分7分)

设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知

MA OA,且L过点(33

2,2

),求L的方程.

六、(本题满分8分)

设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分

L

2xydx Q(x,y)dy与路径无关,并且对

任意t恒有

(t,1)

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy

(1,t)

(0,0)

2xydx Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、（本题满分8分）

假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g (x) 0,f(a) f(b) g(a) g(b) 0,试证: (1)在开区间(a,b)内g(x) 0.

(2)在开区间(a,b)内至少存在一点 ,使f( )f ( g( ) )

g ( )

. 八、（本题满分7分）

0 设三阶实对称矩阵A的特征值为 1, 1 2 3 1,对应于 1的特征向量为ξ1 1,求A. 1

九、（本题满分6分）

设A为n阶矩阵,满足AA I(I是n阶单位矩阵,A 是A的转置矩阵),A 0,求A I.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.

(2)设X和Y为两个随机变量,且

P{X 0,Y 0}

347,P{X 0} P{Y 0} 7

, 则P{max(X,Y) 0} ____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为

x

feX(x) 0

x 0x 0, 求随机变量Y eX的概率密度fY(y).

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