现代通信原理 曹志刚 答案

通信原理作业参考答案

第三章 模拟线性调制

3.7证明只要适当选择题图3.7中的放大器增益K，不用滤波器即可实现抑制载波双边带调制。

解：

SDSB(t) a[K(f(t) Acos ct)]2 b[f(t) Acos ct]2

aK2[f(t) Acos ct]2 b[f(t) Acos ct]2

(aK2 b)[f2(t) A2cos2 ct] (aK2 b) 2Af(t)cos ct

令 aK b 0，则K b/a

2

2

SDSB(t) 4bAf(t)cos ct

3.13 用90相移的两个正交载波可以实现正交复用，即两个载波可分别传输带宽相等的两个独立的基带信号f1(t)和f2(t)，而只占用一条信道。试证明无失真恢复基带信号的必要条件是：信道传递函数H(f)必须满足

H(fc f) H(fc f),

证明：

0 f W

S(t) [f1(t)cos ct] h(t) [f2(t)sin ct] h(t)

S( )

1

H( ){F1( c) F1( c) j[F2( c) F2( c)]} 2

以Cd(t) cos ct相干解调，输出为 Sp(t) S(t)*Cd(t)

1

Sp( ) [S( c) S( c)]

21

H( c){F1( 2 c) F1( ) j[F2( ) F2( 2 c)]}

41

H( c){F1( ) F1( 2 c) j[F2( 2 c) F2( )]}4

选择适当滤波器，滤掉上式中 2 c项，则

Sd( )

1j

F1( )[H( c) H( c)] F2( )[H( c) H( c)] 44

要无失真恢复基带信号，必须

H( c) H( c)

H( ) H( ) 常数cc

此时可恢复f1(t)。

对于f2(t)，使用Cd(t) sin ct相干解调，可以无失真地恢复f2(t)，用样须满足

H( c) H( c)

3.29 双边带抑制载波调制和单边带调制中若消息信号均为3kHz限带低频信号，载频为

1MHz，接收信号功率为1mW，加性白色高斯噪声双边功率谱密度为10 3 W/Hz。接收

信号经带通滤波器后，进行相干解调。 (1) 比较解调器输入信噪比； (2) 比较解调器输出信噪比； 解：W 3kHz， Si 1mW，

n0

10 3 W/Hz 2

（1）(Ni)DSB n0BDSB 2 10 3 10 6 2 3 103 12 10 6W

Si Ni 1mW 83.3 6

DSB12 10W

3

6

即19.2dB

3

6

Ni SSB n0W 2 10 10 3 10 6 10W

Si N i 1 10 3 6 10 6 166.7 SSB Si Ni

Si N SSB i DSB

即22.2dB

所以

（2）

S0

N0 S0 N0

Si 2 22.2dB N DSB i DSB Si N 22.2dB SSB i SSB

S0 N DSB 0 SSB

S0 N0

S0 N 。 DSB 0 SSB

所以

S0

N0

即在相同输入信号功率、n0、相同调制信号带宽下

第四章 模拟角调制

4.8 已知受1kHz正弦信号调制的角调制信号为

S(t) 100cos( ct 25cos mt)

(1) 若为调频波，问 m增加为5倍时的调频指数及带宽； (2) 若为调相波，问 m减小为1/5时的调相指数及带宽； 解：(1) FM KFMAm/ m 25rad

' FM KFMAm/(5 m) 5rad

'BWFM 2( FM 1) F' 2 (5 1) 5 60kHz

(2)

' PM KPMAm PM 25rad

BWPM 2 (25 1)

4.12已知窄带调相信号为

1

10.4kHz 5

S(t) cos ct PMcos mtsin ct

若用相干载波cos( ct )相乘后再经过一个低通滤波器，问： (1) 能否实现正确解调？ (2) 最佳解调时 应为何值？

解： (1)

Sp(t) S(t) cos( ct )

11

[cos(2 ct ) cos ] PMcos mt [sin(2 ct ) sin ]22111

[cos(2 ct ) PMcos mt sin(2 ct )] cos PMsin cos mt 222

经低通滤波器后 S0(t)

11

cos PMsin cos mt 22

能实现正确解调。 （2）

4.19 题图4.19表示一种频率解调器，输入调频波通过一个对载频fc产生 /2相移的延时线。设调频波为

S(t) Accos[2 fct FMsin(2 fmt)]

试分析该解调器工作原理（当调频指数 FM 1，且延时线产生的延时T很小时，有

2

cos(2 fmT) 1，sin(2 fmT) 2 fmT。

题图 4.19

解：令 2 fct FMsin2 fmt

2 fmT FMcos2 fmt

S(t)经过延时线输出S(t T)

S(t T) Accos{2 fc(t T) FMsin[2 fm(t T)]} sin[2 fm(t T)] sin2 fmtcos2 fmT cos2 fmtsin2 fmT

sin2 fmt (2 fmT)cos2 fmt

S(t T) Accos{2 fc(t T) FMsin[2 fm(t T)]}

Accos[2 fct Acsin( )

2

FM(sin2 fmt 2 fmTcos2 fmt)]

注：2 fcT

2

(由题意可得）

S(t) S(t T) Ac[cos sin( )]

Ac(1 sin )cos Acsin cos 2sin Accos( ) 2Ac(sin

cos

其中 1 sin

cos)cos( )22

FM 1,T很小

co

2

1，sin

2

2

S(t) S(t T) 2Ac(

2

1)cos( )

包络检波，滤去直流分量后

S0(t)

2

Ac cos(2 fmt) 2

该电路可实现频率解调。

4.24设信道引入的加性白噪声双边功率谱密度为n0/2 0.25 10 14W/Hz，路径衰耗为

100dB，输入调制信号为10kHz单频正弦。若要求解调输出信噪比为40dB，求下列情况

发送端最小载波功率。

(1) 常规调幅，包络检波， AM 0.707； (2) 调频，鉴频器解调，最大频偏 f 10kHz； (3) 调相，最大相偏 180； (4) 单边带调幅，相干解调。 解（1） AM

12

GAM

AA02

2m

12Am2

1

2AM

12 AM2

1 0.4 111 22

GAM

S0/N0S0/N0104

， Si/Ni 2.5 104

Si/NiGAM0.4

Ni n0BAM 0.5 10 14 2 10 103 10 10W Si (Si/Ni) Ni 2.5 10 6W

ST 1010 Si 2.5 104W

（2）窄带调频

BFM 2fm 20kHz

GFM

fmax Ef2(t)S0/N0

3 2 Si/Niff(t)max m

1

104 3

2

B

f m

FM

1 3 1 2 3 2

Si/Ni

Ni n0BFM 2 0.25 10 14 20 103 10 10W

1

Si 1010 104 10 10 3333.3W

3

(3) 此题意不明确 (4) Si/Ni S0/N0 104

Ni n0BSSB 0.5 10 14 104 0.5 10 10W Si Si/Ni Ni 104 0.5 10 10 0.5 10 6W ST 1010Si 0.5 10 6 1010 5000W

第五章 脉冲编码调制

t)，抽样频率fs 250Hz。求 5.2 已知信号S(t) 10cos(20 t)cos(200

(1)抽样信号S (t)的频谱；

(2)要求无失真恢复S(t)，试求出对S (t)采用的低通滤波器的截止频率。 (3)无失真恢复S(t)情况下的最低抽样频率fs ?

t) 5cos(220 t) 5cos(180 t) 解：（1） S(t) 10cos(20 t)cos(200

S( ) 5 [ ( 220 ) ( 220 ) ( 180 ) ( 180 )]

S ( )

1 1 2

S( ) ( n ) S( n s) s n 2 Tsn Ts

1250 [ ( 220 500n ) ( 220 500n )

n

( 180 500n ) ( 180 500n )]

（2）fH 110Hz

要求无失真恢复S(t)，对S (t)采用的低通滤波器的截止频率为110Hz。 （3）S(t)可视为带通信号

fH 110Hz，fL 90Hz，B fH fL 110 90 20Hz

fH 5B 0.5B，N 5,M 0.5

fs 2B(1

5.3 12路载波电话信号占有频率范围为60 108kHz，求出其最低抽样频率fsmin ?，并画

出理想抽样后的信号频谱。

解： fH 108kHz，fL 60kHz，B fH fL 48kHz fL

M0.5

) 2 20 (1 ) 44Hz N5

fH 2B 0.25B，N 2,M 0.25

fs 2B(1

5.9 已知模拟信号抽样值的概率密度p(x)如题图5.9所示，量化器是四电平的均匀量化器。

求输入信号与量化噪声功率比SNR。

M0.25) 2 48 (1 ) 108kHz N2

题图 5.9

1 x,

解： p(x)

1 x,

0 x 1 1 x 0

1

S

xp(x)dx 2 x2(1 x)dx

2

1

， V 1 6

2

0.5 4

21

1248

2q

1S

SNR 2 8

1 q

48

即9dB

5.10 正弦信号线性编码时，如果信号动态范围为40dB，要求在整个动态范围内信噪比不

低于30dB，问最少需要几位编码。

解：满足一定量化信噪比要求时输入信号的取值范围定义为动态范围。

对正弦信号线性编码有：SNR 4.77 20lgD 6.02n 满载时Am V，D 1/2

由题意得： 3.01 40dB 20lgD 20lg

12

3.01dB

3.01 40 4.77 6.02n 30

n 11.37

6.02n 1.76 30

由上面计算可知，如果信号动态范围为40dB，并要求在整个动态范围内SNR 30dB，

则正弦线性编码最少要12位。

5.13 正弦信号输入时，若信号幅度不超过A律压缩特性的直线段，求信噪比SNR的表达式。

Ax

, 1 lnA

解：f(x)

1 lnAx, 1 lnA

由题意可知：f(x)

'

0 x

1

A

1

x 1A

A律压缩特性

A

1 lnA

2

，则量化噪音为： L

假定输入信号的概率密度函数为p(x)，量化电平数为L，

22

q

6

f

V0

'

(x)

2

2

p(x)dx 2

3L

1/A0

1 lnA p(x)dx A

2

1/A(1 lnA)2(1 lnA)2

2 p(x)dx 2203LA3L2A2

假定正弦信号的幅度为x，则

123L2A23L2A2x2

SNR 2 x 22

q2(1 lnA)2(lnA 1)

S

5.14 若13折线A律编码器的过载电平V=5V，输入抽样脉冲幅度为－0.9375V。设最小量化间隔为2个单位，最大量化器的分层电平为4096个单位。 （1） 求输出编码器的码组，并计算量化误差。 （2） 求对应该码组的线性码（带极性的13位码） 解：先将输入信号归一化： 0.9375/5 0.1875

4096 211 V, V 2个单位 0.1875 384 V

M1

极性码

M2M3M4

M5M6M7M8

384 V 0 M1 0 (1) 段落码

384 V 128 V M2 1

384 V 512 V M3 0

384 V 256 V M4 1

（3） 段内码

384 V 256 V 8 16 V

那么 M5 1 M6 0 M7 0 M8 0 所以输出编码器的码组为01011000

5.17 已知输入信号概率密度在 xmax,xmax 范围内是均匀分布的。均匀量化器电平L 2,

R

量化器过载电平xOL定义为xOL 2R 1 ，其中 是量化间隔。求证：

22(1) x xmax/3；

(2)若xmax xOL，则 q xOL/(3L)；

222

(3)若xmax

2xOL2

xOL，则 q 2

3L

3 xOL x2max

x 1 L x 1 。 max OL

22

(4)设L 16，画出SNR 10log10 x与xmax/xOL的关系图。 / q

解：输入信号的概率密度函数为 p(x)

2xOL1

,量化间隔

L2xmax

(1)

2

x

xmax xmax

2xmax1

xp(x)dx x dx

xmax

2xmax32

xmax

2

(2) xmax xOL,即量化器不会过载，于是有

2

1L 2xOL2

pR

12R 1123L22q

p

R

1

(3) 不过载时量化噪声：

2q1

2xOLxOL1xOL1xOL 2xOL 12

R p(x)dx dx 2 x x12OL12OL L 2xmax3Lxmax

2

过载时噪声：

2

q0

2

xmaxxOL

x xOL 2

2OL2

111

dx (xmax xOL)3

2xmax3xmax

3

x xOL 1132 xmax

1 L (xmax xOL) 1 3xmax3L xmax x OL

2max2

总的量化噪声：

222 q q0 q1

xx

OL3Lxmax

2

(4) 不过载时

2

xmax x

SNR 2 L2 ， L 16 q xOL

SNR dB 20lgL 20lgxmax

xOL

24 20lg

xmax

xOL

SNR dB~20lgxmax成线性关系。

xOL

过载时

2

xmax 2 x2xmax3 L1 L( 1) SNR 2 xx q OL OL

3

SNR dB 20lgL 30lg(xmax) 10lg[1 256(xmax 1)3]

xOL

xOL

20lg

maxxOL

5.18求A率PCM的最大量化间隔 max与最小量化间隔 min的比值。

解：A率PCM的最大量化间隔 max与最小量化间隔 min分别为64 和 ，它们分别位于第

8段和第1段（或第2段）。 max/ min 64。

第七章 增量调制

7.3 已知输入语音信号中含最高音频分量fH 3.4kHz，幅度为1V。若fs 32kHz，则增量调制量化器的量阶 ?

解：fH 3.4kHz， Amax 1V, fs 32kHz

V Amax /fs 1 2 3.4 103/(32 103) 0.668

7.4已知 M调制系统中低通滤波器的截止频率为300—3400Hz，求在不过载条件下，该 M系统的最大输出信噪比SNR。假定fs 10,16,32,48,64kHz，调制信号为1kHz单频。 解：f 1kHz,fB 3400 300 3100Hz 3.1kHz

M系统的最大输出信噪比为

SNRmax 30log10fs 20log10f 10log10fB 14

第九章 数字信号的基带传输

9.2 已知二元信息序列为10011000001100000101，画出它所对应的单极性归零码、AMI码和HDB3码的波形。

9.7 斜切滤波器的频谱特性如题图9.7所示， (1) 求该滤波器的冲激响应；

(2) 若输入为速率等于2fs的冲激脉冲序列，输出波形有无码间串扰；

(3) 与具有相同带宽的升余弦滚降频谱信号及带宽为fs的理想低通滤波器相比，因码元

定时偏差引起的码间串扰是增大还是减小？

s

题图 9.7

s

解：(1)总特性H(f)可看成下图两个三角形特性之差，即

H(f) H1

(f) H2(f)

s

s

其中：H1(f) h1(t)

1

(1 )fs Sa2[ (1 )fst] 2 1

H2(f) h2(t) (1 )fs Sa2[ (1 )fst]

2

所以冲激响应：

(1 )2(1 )22

h(t) h1(t) h2(t) fs Sa[ (1 )fst] fs Sa2[ (1 )fst]

2 2

sin2[ (1 )fst](1 )2sin2[ (1 )fst](1 )2

fs fs

2 2 [ (1 )fst]2[ (1 )fst]2

sin(2 fst) sin(2 fst)

2 2fst2

2fs Sa 2 fst Sa 2 fst

(2)因为该系统可等效成理想低通特性：

1,

Heq(f)

0,

f fsf fs

它对应的无码间串扰最高传码率为2fs，所以当传输速率为2fs时，在抽样点无码间串扰。 (3)该系统的h(t)尾部衰减较快，与t成反比。所以码元定时偏差引起的码间串扰比相同带宽的升余弦滚降频谱信号（与t成反比）大，比理想的低通滤波器（与t成反比）小。

9.10 某基带传输系统采用 0.2升余弦滚降频谱信号， (1) 若采用四进制，求单位频带信息传输速率(b/Hz);

(2) 若输入信号由冲激脉冲改为宽度为Ts的非归零矩形脉冲，为保持输出波形不变，基带系统的总传递函数应如何变化？写出表达式。

解：(1) 若采用四进制，则单位频带的信息传输速率为：

3

2

2log42/(1 ) 4/(1 0.2)

10

3.33(b/s/Hz) 3

（2）非归零矩形脉冲g(t)的付氏变换为：

G(

f) AT

sin fT j fT

e fT

非归零矩形脉冲可以看成是冲激脉冲通过一个频率传输函数为G(f)的网络后形成的，假定输入信号为冲激脉冲时，基带传输总的传递函数为H1(f)，现采用非归零矩形脉冲，为保持输出波形不变，基带传输系统总的传递函数为H2(f)，则

H2(f)

H1(f)/G(f)

H2(f) G(f) H1(f)

9.13 一个理想低通滤波器特性信道的截止频率为1MHz，问下列情况下的最高传输速率； (1) 采用2电平基带信号； (2) 采用8电平基带信号；

(3) 采用2电平 0.5升余弦滚降频谱信号； (4) 采用7电平第I类部分响应信号。 解：（1）采用2电平基带信号，最高传输速率为1 2 2Mb/s

(2) 采用8电平基带信号，最高传输速率为2log82 1 6Mb/s (3) 采用2电平 0.5升余弦滚降频谱信号, 最高传输速率为注：2电平信号，抽样值传输速率为1/T，所需带宽为B

2

1 1.33Mb/s 1

1

(1 )，频带利用率为2T

1/T2

(1 )/(2T)1

(4) 2L 1 7，L 4

采用7电平第I类部分响应信号，最高传输速率为2 2 1 4Mb/s

9.17 若要求基带传输系统的误比特率为10，求采用下列基带信号时所需要的信噪比： (1) 单极性NRZ码； (2) 双极性NRZ码；

(3) 采用格雷码的8电平NRZ码； (4) 7电平部分响应信号。

解：(1)接收信号为单极性NRZ码的误比特率为： pb Q(S/2N)

当pb为10时，

6

6

S/2N 4.76

S

45.32N

即16.6dB

(2)接收信号为双极性NRZ码时的误比特率为：

pb Q(S/N)

当pb为10时，

6

S/N 4.76

S

22.7N

即13.6dB

注（2），应用公式Q(x)

12 x

e

x2

2

(3) 接收信号为8元码误符号率公式为： ps

2(M 1) 3 S 14 1 S Q Q 2 M M 1 N 8 21 N

n

采用格雷码时的误比特率为：8 2，n 3

7 1 S

pb psn pb3 Q

12 21 N

当pb为10时,

9.18 要求基带传输系统的误比特率为10，计算二元码、三元码和四元码传输所需要的信噪比。 解：（1）二元码

当接收为单极性NRZ码时，pb Q(S/2N) 当pb为10时，

5

5

6

S1 S

457 即26.6dB 4.68, N21 N

S/2N 4.266

S

36.4N

即15.6dB

当接收为双极性NRZ码时，pb Q(S/N) 当pb为10时，

5

S/N 4.266

S

18.2N

即12.6dB

（2）当接收为三元码时，pb

4 3S

Q 3 8N

当pb为10时，

5

S

16.9dB N

3 1 S (3) 当接收为四元码时，ps Q 2 5 N 1 S 2

自然码：pb ps Q 35N

S 5

19.6dB 当pb为10时， N13 1 S 格雷码：pb ps Q 24 5 N

S 5

19.5dB 当pb为10时， N

第10章 数字信号的载波传输

10.1 已知二元序列为10110010,画出以下情况的2ASK、2FSK和2PSK波形： (1) 载频为码元速率的2倍； (2) 载频为码元速率的1.5倍；

解：(1) 因为载频为码元速率的2倍，所以码元宽度是载波周期的2倍。

(2)因为载频为码元速率的1.5倍，所以码元宽度是载波周期的1.5倍。

10.5 已知矩形脉冲波形p(t) A[U(t) U(t T)],U(t)为阶跃函数，求 (1) 匹配滤波器的冲激响应； (2) 匹配滤波器的输出波形；

(3) 在什么时刻和什么条件下输出可以达到最大值。 解：(1) 匹配滤波器的冲激响应 h

(t) p(T t)

(2) 匹配滤波器的输出波形可由p(t)与h(t)卷积求得，即有

2

At, 22

s(t) p(t) h(t) At 2AT,

0,

0 t TT t 2T 其它

A2

(3) 当时刻t T时输出可以达到最大值。

最大输出信噪比为SNR=2E/n0, E=A2T,n0为单边噪声功率谱密度。

10.8 2PSK相干解调中相乘器所需的相干载波若与理想载波有相位差 ，求相位差对系统误比特率的影响。

解：设信道噪声是均值为零的高斯白噪声，带通滤波器输入混有噪声信号

yi(t) R(t) ni(t)

s0t, aco

其中 R(t)

aco s0t,

式中 0是载频，a 0是振幅 带通滤波器输出为：

发0时发1时

acos 0t nc(t)cos 0t ns(t)sin 0t

y1(t)

acos t n(t)cos t n(t)sin t

0c0s0

与载波cos( 0t )相乘，经低通滤波器后

发0时发1时

acos nc(t)cos ns(t)sin x(t)

acos n(t)cos n(t)sin

cs

发0时发1时

x(t)的一维概率密度函数呈高斯分布，发0、1时均值为—acos 、acos ，方差为

222

cos2 n sin2 n n

(x acos ) 21 f0(x) e2 n

2 n

那么：

(x acos )2 12 n

f(x) e 1 2 n

2

p(0) p(1) 1/2时，判决门限电平为0。

系统误比特率为：

pe p(0) p(1/0) p(1) p(0/1) p(0) p(x 0) p(1) p(x 0)

p(0)

0

0

f0(x)dx p(1)

0

f1(x)dx

f1(x)dx[p(0) p(1)]

a co 2Eb 1s 2 erfc Qcos 2 2 n N0

10.18 已知电话信道可用的信号传输频带为600 3000Hz，取载频为1800Hz，试说明： (1) 采用 1升余弦滚降基带信号QPSK调制可以传输2400b/s数据； (2) 采用 0.5升余弦滚降基带信号8PSK调制可以传输4800b/s数据； (3) 上述两种情况下， 6dB带宽各为多少？ 解：信号带宽为B 3000 600 2400Hz

Mlog2 B2 2400

2400b/s (1) 采用 1升余弦滚降基带信号QPSK调制时：Rb

1 1 1Mlog2 B3 2400Rb 4800b/s (2) 采用 0.5升余弦滚降基带信号8PSK调制时：

1 1 0.5

(3) 两种情况下， 6dB带宽为2400Hz。

10.19 采用8PSK调制传输4800b/s数据，最小理论带宽是多少？ 解：在理想情况下，MPSK的最高频带利用率可以达到log2b/s/Hz

则采用8PSK调制传输4800b/s数据时，最小理论带宽为B 4800/log2 1600Hz

10.27 若峰值功率相同且误比特率相同，16PSK与16QAM相比所需信噪比相差多少分贝？若平均功率相同，两者又相差多少？ 解：

8

M

Pav,16QAM

18d2 10d2 10d2 2d2 10d2 Pav,16PSK 18d2

4Es2(M 1) 3

Q 10 ()16QAM M

N0Mlog2 (M 1)

(1) 峰值功率相同、误比特率相同,M 16 Pb,16QAM

Pb,16PSK

Es2

Q 2 18 ()16PSKsin M

N0M log2

忽略系数，要使两者误比特率相同

M

3 10

1.4597 即1.64dB

2 18 sin2( /16) (16 1)

16QAM相对16PSK信噪比有1.64dB的改善。

(2) 平均功率相同, M 16 Pb,16QAM

Es 2(M 1) 3

Q M

(M 1)NMlog2 0 2Es2

Q sin M

NM log2 0

Pb,16PSK

忽略系数, 要使两者误比特率相同

M

(M 1)3/15 2.6274 即4.2dB

2 sin2 M2 sin2( /16)

16QAM相对16PSK信噪比有4.2dB的改善。

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