2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (理科) wo

2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学试题（理工农医类）

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一．选择题

1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）

A ． 第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D

【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ．

2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ?”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】3,a A B =??2A B a ??=，或3．因此是充分不必要条件．

3．双曲线2

214

x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45

C

D

【答案】C

【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2

204

x y -=，即20

x y ±=．带入点到直线距离公

式d =

=．

4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6

组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所

示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测

试成绩不少于60分的学生人数为（ ）

A ．588

B ．480

C ．450

D ．120

【答案】B

【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=

故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．

5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实

数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）

A ．14

B ．13

C ．12

D ．10

【答案】B

【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论

①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可

以取4个值．故有4种有序数对

②当0a ≠时，需要440ab ?=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数

对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．

(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．

6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）

A ．计算数列{}12n -的前10项和

B ．计算数列{}12n -的前9项和

C ．计算数列{}21n -的前10项和

D ．计算数列{}21n -的前9项和

【答案】C

【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：10

21,11,10S i i =-=>，输出S ． 根据选项，101(12)12

S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．

7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）

A

B

． C ．5 D ．10

【答案】C

【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S= 11(****)(*)22

AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算

出

AC BD ==，则算出S=5．故答案C

8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）

A ．0,()()x R f x f x ?∈≤

B ．0x -是()f x -的极小值点

C ．0x -是()f x -的极小值点

D ．0x -是()f x --的极小值点

【答案】D

【解析】A ．0,()()x R f x f x ?∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．

B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点

C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．

D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确

9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++

*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=???∈则以下结论一定正确的是（ ）

A ．数列{}n b 为等差数列，公差为m q

B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2m q

C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q

D ．数列{}n c 为等比数列，公比为m m q

【答案】C

【解析】等比数列{}n a 的公比为q,

2

222222,m m m m m m m a a a a a a ++++=?=?112...m c a a a =???,212...,

m m m m c a a a +++=???321222...,m m m m c a a a +++=???2213c c c ∴=?∴数列{}n c 为等比数列，

2221212211212............m

m m m m m m m m m

a a a a a a q c q q c a a a a a a +++???????====??????故选C

10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：

(){()|};()

i T f x x S i i =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）

A ．*

,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q ==

【答案】D

【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确； 令55(13)()228

(1)x x f x x ?+-<≤?=??-=-?，则B 选项正确； 令1()tan ()2

f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．

二．填空题

11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23

【解析】1

3103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数

1(,1)3a ∴∈1

12313p -

∴==

12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________

【答案】12π

【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体

，

2412R S R ππ∴====球表

13．如图ABC ?中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC

，sin ,33BAC AB AD ∠=

==则BD 的长为_______________

【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π

∠=∠+=∠=

∴根据余弦定理可得222

cos 2AB AD BD BAD AB AD

+-∠=?

222

3BD ∴==

14．椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c

，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于

__________

1

【解析】由直线方程)y x c =

+?直线与x 轴的夹角1223

3

MF F π

π

∠=

或

，且过点

1-F （c,0）1221

2M F F M F F ∠=∠∴

122123

M F F M F F π

∠=∠=

即

12F M F M ⊥12RT F MF ∴?在中，121

22,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得

21

c a c a =+∴==

15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:21

1.......1n x x x x

+++++=- 两边同时积分得：11111

222222

0000011.......1n

dx xdx x dx x dx dx x

+++++=-????? 从而得到如下等式：2311111111

1()()...()...ln 2.2223212

n n +?+?+?++?+=+

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

122311111111()()...()_____2223212

n

n n n n n

n C C C C +?+?+?++?=+ 【答案】113

[()1]12

n n +-+

【解析】由01221......(1)n n n

n n n n C C x C x C x x +++++=+

两边同时积分得：

111112222220

0000

1......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+?

????

从而得到如下等式：

122311*********()()...()[()1]222321212

n n n n n n n n n C C C C ++?+?+?++?=-++

三．解答题 16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中

奖率为

23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为2

5

，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求3X ≤的概率； （2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？

本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能

力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为

23，小红中奖的概率为2

5

，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X

”，

224(5)3515==

?=P X ，11

()1(5)15

∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为11

15

．

（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这

两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X 由已知：12

~(2,)3

X B ，22~(2,)5X B 124()233∴=?=E X ，224()255

=?=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5

==E X E X 12(2)(3)>E X E X

∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．

17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈

（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；

（2）求函数()f x 的极值．

本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分．

解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-

a f x x

． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x

， (1)1,(1)1'∴==-f f ，

()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，

即20+-=x y ． （Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x

可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值；

②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；

(0,)∈x a 时，()0'f x

()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．

综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值

当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．

18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的

坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．

（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；

（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1，求直线l 的方程．

本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．

解：（Ⅰ）依题意，过*

(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i (10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10

=i y x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=???=??

x i i y x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y

（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx

由21010=+??=?y kx x y

得2101000--=x kx 此时2100+4000?=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N

设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100

+=???=-?x x k x x 4??=OCM OCN S S ∴124=x x

又120?

分别带入21010=+??

=?y kx x y ，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y

19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，

11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．

（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面

（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67

，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四

棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和

大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方

案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，

写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）

本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及

表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能

力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分

13分．

解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE

//AB DE Q ，3AB DE k ==

∴四边形ABED 为平行四边形

//BE AD ∴且4BE AD k ==

在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q 222BE CE BC ∴+=

90BEC ∴∠=?,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥

A B D C

D 1C 1B 1A 1

1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ?平面ABCD

1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，

CD ∴⊥平面11ADD A （Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k 所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r 设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100

AC n AB n ??=???=??uuu r uuu r 得46030kx ky ky z -+=??+=?取2y =，得(3,2,6)n k =-

设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||

AA n AA n AA n θ=??=?uuu r uuu r uuu r

67

==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案

2257226,018()53636,18k k k f k k k k ?+<≤??=??+>??

20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π

，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）

，在将所得图像向右平移2

π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；

（2）是否存在0(

,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；

若不存在，说明理由．

（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．

本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分．

解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ω?=+的周期为π，0ω>，得2ω=

又曲线()y f x =的一个对称中心为(

,0)4π，(0,)?π∈ 故()sin(2)044f ππ

?=?+=，得2π

?=，所以()cos 2f x x =

将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =

（Ⅱ）当(

,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22

x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >> 问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(

,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64

x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(

,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64

ππ内单调递增

又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(

,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64

x ππ

∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=

当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方

程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x

=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x

=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32

x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表

当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞

当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞

当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞

故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点；

当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点

由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=?，所以

67121342

n =?= 综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点

21．（本题满分14分）

（1）（本小题满分7分）矩阵与变换

已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ??=?

???

对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值； （2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ????= ? ?????

，求点p 的坐标．

本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分． 解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y ''' 由12201x x x y y y y '+????????== ? ??? ?'????????

，得2x x y y y '=+??'=? 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=

依题意121a b =??+=?，解得11

a b =??=-? （Ⅱ）由0000x x A y y ????= ? ?????，得00000

2x x y y y =+??=?解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =

故点P 的坐标为(1,0)

（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A

的极坐标为)4

π，直线l 的极坐标方程为cos()4a π

ρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；

（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα

=+??=?，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分． 解：

（Ⅰ）由点)4

A π在直线cos()4a πρθ-=

上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=

从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-= （Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=

所以圆心为(1,0)，半径1r =

以为圆心到直线的距离12

d =<，所以直线与圆相交

（3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且

32A ∈，12A ?． （1）求a 的值；

（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．

本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．

解：（Ⅰ）因为

32A ∈，且12A ?，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322

a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=

当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/11mq.html