2008年全国高考文科数学试题及答案-四川延考卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)

数 学（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A?{?1,0,1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

解：A的子集共23?8个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B 2．函数y?1?x?lgx的定义域为（ ）

A．(0,??) B．(??,1] C．(??,0)?[1,??) D．(0,1]

?1?x?0?x?04解：选D．由?1x?0?x?1．

3．(1?)(1?x)的展开式中含x项的系数为（ ） A．4 B．5 C．10 D．12

1x)(1?x)?(1?42解： 选C．(1?1x)(1?C4x?C4x?C4x??)，

1223323其展开式中含x2项的系数为C4?C4?10．

4．不等式x?2?1的解集为（ ）

A．{x|1?x?3} B．{x|0?x?2} C．{x|1?x?2} D．{x|2?x?3} 解：选A．x?2?1??1?x?2?1?1?x?3． 5．已知tan??12，则

cos??sin?cos??sin??（ ）

A．2 B．?2 C．3 D．?3 解：选C．

cos??sin?cos??sin??1?tan?1?tan??3

6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ） A．83?3 B．3?3 C．3?283? D．

解： 设球的半径为r?V1?43?r；正三棱锥的底面面积S?3342r，h?2r，

- 1 -

?V2?13?34r?2r?236223r。所以

V1V2?83?3，选A

7．若点P(2,0)到双曲线（ ）

xa22?yb?1的一条渐近线的距离为2，则双曲线的离心率为

A．2 B．3 C．22 D．23 22解：设过一象限的渐近线倾斜角为??sin??所以y??bax??x?a?b，因此c????45?k?1 ca?2a,e??2，选A。

8．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A．

15 B．

12 C．

23 D．

45

解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。问题等价于选3本书有文艺书的概率： P(A)?1?P(A)?1?C4C633?1?420?45

9．过点(0,1)的直线与圆x2?y2?4相交于A，B两点，则AB的最小值为（ ）

A．2 B．23 C．3 D．25 22解：如图AB最小时，弦心距最大为1，AB?22?1?23

???????10．已知两个单位向量a与b的夹角为，则a??b与?a?b互相垂直的充要条件是

3（ ）

A．???数 解：

?????????2?2????22(a??b)?(?a?b)?(a??b)?(?a?b)??a??b?(??1)a?b?(??1)a?b?0

3232或?? B．???12或??12 C．???1或??1 D．?为任意实

?????2 a?b?0???1?0????1。另外a与b是夹角为的单位向量，画图知??1时

3???? a?b与a?b构成菱形，排除AB，而D选项明显不对，故选C。

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11．设函数y?f(x)(x?R)的图像关于直线x?0及直线x?1对称，且x?[0,1]时，

2f(x)?x，则f(?32)?（ ）

34A．

12 B．

314 C． D．

94

解：f(?3111121)?f()?f(1?)?f(1?)?f()?()? 222222412．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（ ）

A．510 B．

1010 C．55 D．105

解：如图以D为坐标系原点,AB为单位长，DA,DC,DD1分别为?????????1x,y,z轴建立坐标系，易见A1B?(0,1,?1)，D1E?(1,,0)，所以

2?????????cos?A1B,D1E??(0,1,?1)?(1,(0,1,?1)?(1,1212,0)?,0)122?54?1010，选B。（如果连结D1C,EC,用余

弦定理解三角形也可以求得答案。）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．函数y?e解：y?ex?1x?1?1(x?R)的反函数为_____________________．

x?1?1?e ?y?1?x?1?ln(y?1)，所以反函数y?ln(x?1)?1(x??1)，

214．函数f(x)?3sinx?cosx的最大值是____________．

解： 因为3sinx? ?f(x)?3，cos2x?0，

23sinx?cosx?3，正好sinx?1,cosx?0时取等号。

（另f(x)?大值）

3sinx?cosx?sinx?223sinx?1?(sinx?32)?274在sinx?1时取最

15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5?a5．若a4?0，则

a7a4?__________．

- 3 -

解：S5?a5?a1?a2?a3?a4?0?a1?a4?a2?a3?0，取特殊值

令a2?1,a3??1,?a4??3a7?2a4?a1??9，所以

a7a4?3

16．已知?AOB?90?，C为空间中一点，且?AOC??BOC?60?，则直线OC与平面AOB所成角的正弦值为___________．

解：由对称性点C在平面AOB内的射影D必在?AOB的平分线上 作DE?OA于E，连结CE则由三垂线定理CE?OE，设DE?1

?OE?1,OD?2，又?COE?60,CE??OE?OE?2,所以

CD?OC?OD?222，因此直线OC与平面AOB所成角的正弦值sin?COD?22

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在?ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知a2?c2?2b2． （Ⅰ）若B??4，且A为钝角，求内角A与C的大小；

（Ⅱ）求sinB的最大值．

解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有sin2A?sin2C?2sin2B?1．

22 故sinC?cosA．因为A为钝角，所以sinC??cosA．

由cosA?cos(???42?C)，可得sinC?sin(12?4?C)，得C??8，A?5?8．

（Ⅱ）由余弦定理及条件b?(a?c)，有cosB?22a?c4ac3222，

22 因a?c?2ac，所以cosB?12．故sinB?，

当a?c时，等号成立．从而，sinB的最大值为32．

C类．A类、B类、18．（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：检

验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C类产品或2件都是B类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A类品，B - 4 -

类品和C类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响． （Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；

（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率． 解：（Ⅰ）设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为A类品”，i?1,2． Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为B类品”，i?1,2．

． Ci表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”

则C?A1?A2?A1?B2?B1?A2．

由已知 P(Ai)?0.9，P(Bi)?0.05，i?1,2．

所以，所求的概率为P(C)?P(A1?A2)?P(A1?B2)?P(B1?A2) ?0.92?2?0.9?0.05?0.9．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为P(C)?0.9． 故所求概率为： 1?0.93?0.271

19．（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片ABC0D中，AD?BD?1，AB?2．沿它的对角线BD把?BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置．

（Ⅰ）证明：平面ABC0D?平面CBC0；

（Ⅱ）当二面角A?BD?C为120?时，求AC的长 解：（Ⅰ）证明：因为AD?BC0?BD?1，

AB?C0D?2，所以?DBC0?90?．

因为折叠过程中，?DBC??DBC0?90?，

所以DB?BC，又DB?BC0，故DB?平面CBC0． 又DB?平面ABC0D，

所以平面ABC0D?平面CBC0．

（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知BC?DB，BC0?DB，

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