免费-高等代数模拟试卷11-20套 - 图文

《高等代数》试题11

一、选择题（每题3分，共12分）

1、下列集合有（ ）个不是R的子空间；

w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；

（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法中不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；

（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；

（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关； 以上说法中不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；

（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分） 1、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。

2、设{?1,?2，?，?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?n，?n?1?，?1} 的过渡矩阵为___________________。

n?11?1???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?12?3?，

?12?2???

???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。

080000310??0?的特征值是____________。 ?4?3???7??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。

6、二次型f(x,y,z)?x2?y2?z2?xy?xz?yz的矩阵是______________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）

1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?2x?1在该基下的坐标。

2?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。

?4??223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x2x3?4x1x2化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3正定。 四、证明题（每小题10，共20分）

1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)?的特征多项式的根都在C内；(ii)对于?的特征多项式的每一根?，本征子空间V?的维数等于?的重数。证明?可以对角化 2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是对称变换，且?是单位变换。证明?是正交变换。

《高等代数》试题12 一、选择题：（3?3=9分）

1 、A，B，C是同阶方阵，且ABC = I ，则必有（ ）

（A） ACB = I （B） BAC = I （C） CAB = I （D） CBA = I 2、设

。 ?为任意非零向量，则?（ ）

2222(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关

3、设向量组I（?1,?2,??r），II（?1,?2,??r,?r?1,?,?s）则必有（ ）。 (A)I无关?II无关 (B ) II无关?I无关

(C) I无关?II相关 (D) II相关?I相关

二、填空：（3?4?12分）

1、单个向量?线性无关的充要条件是______________________________。

2、A是n?n矩阵，对任何bn?1矩阵，方程AX=b都有解的充要条件是________________________________________________。

3、叙述替换定理______________________________________________

________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________。

x34、f(x)?21三、计算题：

1x3221x332, 则f(4)=__________________________ 1x?11?1??1?11?????110?（9分）

21、 解矩阵方程X02??????1?10????211????1?(1,0,?1)?32、 R中的两向量组??2?(2,1,1) ，

???(1,1,1)?3（i） （ii） （iii）

证明它们都是R的基，

并求第一个基到第二个基的过渡矩阵，

如果?在基{?1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2）， 求?在基{?1,?2,?3}下的坐标。（15分）

3??1?(0,1,1)???2?(?1,1,0) ???(1,2,1)?31?a113、 计算行列式Dn??111?11 （a1a2?an?0）（9分） ?1?a21????11?1?an4、 求线性齐次方程组的基础解系

?2x1?2x2?x3?x5?0??x?x?2x?3x?x?0?12345（10分） ?x?x?2x?x?01235??x3?x4?x5?0?5、 已知向量组（I）?1,?2,?3,(II) 四、证明题：

1、 证明向量?1,?2,??r（r?2）线性相关必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合。（10分）

：?1,?2,?3,?5??4的秩为4。（5分） ?1,?2,?3,?4,(III) ?1,?2,?3,?5.若各向量组的秩分别为r (I) = r (II) = 3 , r (III) = 4 ,证明向量组（IV）

2、设W1，W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1+ W2也是V的一个子空间。（7分）

3、设在向量组?1,?2,??r中，?1?0并且每一?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,??i?1的线性组合，证明?1,?2,??r线性无关。（7分） 4、设向量?可由向量组?1,?2,??s线性表示，证明表法唯一的充要条件是?1,?2,??s线性无关。（7分）

《高等代数》试题13

一、选择题：（3?3=9分）

1、A，B是n阶方阵，则下列结论成立得是（ ） （A） AB?0?A?0且B?0 （B） |A|=0?A?0 (C) |AB|=0?|A|?0或|B|?0 (D) A?I?|A|?1 2、若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）

(A)线性相关 (B) 线性无关 (C) 线性相关或线性无关

3、n维向量组?1,?2,?,?s (3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ ） （A） 存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2??ks?s?0 （B）?1,?2,?,?s中任意两个向量组都线性无关

（C）?1,?2,?,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 （D）?1,?2,?,?s中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 二填空：（3?4?12分）

0000x0002x01、003x00??15 ，x = _____________________

04500000002、已知向量组?1?(1,0,1),?2?(2,2,3),?3?(1,3,t)线性无关，则 t = __________________________

3、向量组{?1,?2,?,?n}的极大无关组的定义是___________________________

x34、f(x)?21三、计算题

1x3221x332, 则f(4)=____________________________ 1x?11?1??1?11???X??110?（9分）

26、 解矩阵方程02???????1?10???211??

10?00a1?1?000a21?a2?0000??000??1000 (9分) ?an1?an?11?a12、计算行列式

a3???00??1?an?1??1?(1,0,?1)?33、R中的两向量组??2?(2,1,1) ，

???(1,1,1)?33??1?(0,1,1)???2?(?1,1,0) ???(1,2,1)?3（i）证明它们都是R的基， (ii) 求第一个基到第二个基的过渡矩阵， (iii) 如果?在基{?1,?2,?3}下的坐标为（3，1，2），

求?在基{?1,?2,?3}下的坐标。（14分）

?x1?x2?x3?4x4?3x5?0?2x?x?3x?5x?5x?0?123454、 线性齐次方程组的基础解系 ?（10分）

x?x?3x?2x?x?02345?1??3x1?x2?5x3?6x4?7x5?0四、证明题

1、设?,?,?线性无关，证明???,???,???也线性无关。（8分）

2、设W1，W2是向量空间的两个子空间，那么它们的交W1? W2也是V的一个子空间。（7分）

3、（维数定理）设W1和W2都是数域F上的向量空间V的有限维子空间，那么W1+W2也是有限维的，并且

dim(W1+W2)=dim W1+dim W2--dim(W1?W2)（12分） 4、设向量组{?1,?2,?,?n}线性无关，且?k??b?kii?1ni (k?1,2,?,n)

b11证明?1，?2，?，?n线性无关的一个充要条件是

b12?b1nb21?bn1b22?b2n?0（9分）

???bn2?bnn

《高等代数》试题14

一、填空题（每小题3分，共15分）

??11．设A为5阶方阵，且detA?3，则detA? ，det(AA?)? ，A的伴随矩阵A的行列式det(A?)? 。

2．多项式f(x)?x4?x3?3x2?4x?1与g(x)?x3?x2?x?1的最大公因式(f(x),g(x))? 。

1?13．设A?1?20131?12，则A14?A24?A34?A44? 。

1?102144．把f(x)?x4?5表成x?1的多项式是 。

?x1?x2?a1?5．方程组?x2?x3?a2有解的充要条件是 。

?x?x?a13?3二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A为四阶行列式，且A??2，则AA?（ ） （A）4 （B）2 （C）?2 （D）8

2．设A为任意阶(n?3)可逆矩阵，k为任意常数，且k?0， 则必有(kA)n55?1?（ ）

n?1（A）kA （B）k（C）kA （D）

?1?1A?1

1?1A k3．下列对于多项式的结论不正确的是（ ） （A）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) （B）如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x)) （C）如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x) （D）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

4．对于非齐次线性方程组AX=B其中A?(aij)nn,B?(bi)n1,X?(xj)n1，则以下结论不正确的是（ ） （A） 若方程组无解，则系数行列式A?0。 （B） 若方程组有解，则系数行列式A?0。 （C） 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解。 （D） 系数行列式A?0是方程组有惟一解的充分必要条件。 5．设A?1(B?I)，则A2?A的充要条件是（ ） 2（A）B=I （B）B??I （C）B2?I （D）B2??I 三、解下列各题（40分） 1．计算下列行列式

a011?111a10?00(1)D10a2?00n??????? 100?an?10100?0anxa?a(2)Dax?an?????

aa?x2．求f(x)?3x4?8x3?6x2?3x?2的有理根。3．讨论a取何值时，方程组有解，并求解。

??ax1?x2?x3?a?3?x?1?ax2?x3??2 ?x1?x2?ax3??2?4．求解矩阵方程?10?1??2?3?042?1??X?????110??1?10????211??四、证明下列各题（30分）

1．设a,b,c,d?F，且ad?bc?0，对于任意的f(x),g(x)?F[x]，则有

(f(x),g(x))?(af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x))

2．令A?是n（n≥2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证：detA??(detA)n?1 3．设A，B，C，D都是n阶矩阵，其中A?0并且AC=CA，证明：

ABCD?AD?CB

4．已知方阵A满足A2?2A?I?0，试证：A可逆，并求出A?1。

一、填空题（每小题3分，共15分）

1．把f(x)?2x3?x2?3x?5表成x?1的多项式是 。10132．设A??11?1211?10，则A41?A42?A43?A44? 。

?22143．设A?12(B?I)，则A2?A的充要条件是 。 4．a ,b满足 条件时，实系数多项式f(x)?x3?ax?b有重因式。?x1?x5．方程组?2?x3?a1??x1?x2?x3?x4?a2有解的充要条件是 。

???2x2?2x3?x4?a3二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A为n阶方阵，k为非零常数，则det(kA)?（ ） （A）k(detA) （B）kdetA

（C）kndetA （D）kndetA

?bx1?ax2??2ab2．设线性方程组???2cx2?3bx3?bc，则（ ）

??cx1?ax3?015

《高等代数》试题

（A）当a,b,c取任意实数时，方程组均有解。 （B）当a?0时，方程组无解。 （C）当b?0时，方程组无解。 （D）当c?0时，方程组无解。

3．设A为3阶方阵，A1,A2,A3为按列划分的三个子块，则下列千万行列式中与A等值的是（ ） （A）A1?A2A2?A3A3?A1 （B）A1A1?A2（C）A1?A2A1?A2A3 （D）2A3?A1A14．设A、B为n阶方阵，则有（ ） （A）A，B可逆，则A+B可逆 （B）A，B不可逆，则A+B不可逆 （C）A可逆，B不可逆，则A+B不可逆 （D）A可逆，B不可逆，则AB不可逆 5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ） （A）如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

（B）如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x)) （C）如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x) （D）如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) 三、解下列各题（40分） 1．计算下列行列式

xy0?000xy?00（1）Dn???????

000?xyy00?0xa1?ma2?an（2）

a1a2?m?an????

a1a2?an?m2．讨论a取什么值时，方程组有解，并求解。

A1?A2?A3 A1?A3

??x1?(a2?1)x2?2x3?a?ax?1?ax2?(2a?1)x3?0 ?x1?(2a?1)x2?2x3?2?11?1??13．求解矩阵方程X??11??022???110????? ?1?10????211??4．求f(x)?x5?x4?52x3?2x2?12x?3的有理根。 四、证明下列各题（30分）

1．令A?是n（n>2）阶矩阵A的伴随矩阵，试证： （1）detA??(detA)n?1

（2）(A?)??(detA)n?2A

2．设(f(x),g(x))?1，则(f(x),g(x)h(x))?(f(x),h(x))。

3．设A，B均为n阶方阵，证明：ABBA?A?B?A?B

《高等代数》试题16

一、 填空题（3?3=9分）

1、 A相似于单位阵，A = ______________。 2、 设A为3阶方阵，其特征值为3，—1，2，则 |A| =__________________。

3、

当t满足条件____________________，使二次型f?x22x221?2?3x3?2x1x2?2x1x3?2tx2x3是正定的。

二、 判断题（1?5=5分） 1、若

?1,?2是方程(A??I)X?0的一个基础解系，则k1?1?k2?2是A的属于?的全部特征向量，其中k1,k2是全不为零的常数。 2、A、B有相同的特征值，则A与B相似。 （ ）

3、若f（x）无有理根，则f（x）在Q上不可约。（ ） 4、两个本原多项式的和仍是本原多项式。 （ ） 5、对于整系数多项式f（x），若不存在满足艾森施坦判别法条件的素数p，那么f（x）不可约。 （ ） 三、 证明定理（10?2=20分） nn1、n个变量的二次型q(x1,x2,?,xn)???aijxixj的一切主子式都大于零，则q(x1,x2,?,xn)是正定的。

i?1j?12、令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果?1,?2,?,?n分别是?的属于互不相同的本征值?1,?2,??n的本征向量，那么?1,?2,?,?n线性无关。四、 计算题（10?4=40分）

） （

1、a,b应该满足什么条件，有理系数多项式x?3ax?b才能有重因式。 2、求多项式x?x?6x?14x?11x?3的有理根。

54323?122???/3、设A?212 ，求一个正交矩阵T，使TAT是对角

????221??矩阵。 4、

将二次型

2化为规范形，并指出所用的线性变换。 f(x1,x2,x3)?2x12?2x1x2?4x1x3?6x2x3?x3五、 证明题（8+12=20分）

1、（f，g）= 1，证明（fg，f + g）= 1 。

2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果?满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：（i）?是正交变换，（ii）?是对称变换，（iii）?六、证明：正定对称矩阵的主对角线上的元素都是正定的。（6分）

《高等代数》试题17

一、选择题（每题3分，共12分）

1、下列集合有（ ）个不是R的子空间；

w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；

（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法中不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；

（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；

（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关；

n2?I是单位变换。

以上说法中不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；

（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法不正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分） 2、 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。

2、设{?1,?2，?，?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?n，?n?1?，?1} 的过渡矩阵为___________________。

?11?1???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?12?3?，

?12?2???

???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。

080000310??0?的特征值是____________。 ?4?3???7??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。

6、二次型f(x,y,z)?x?y?z?xy?xz?yz的矩阵是______________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）

1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?2x?1在该基下的坐标。

2222?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。

?4??223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?2x1?x2?4x2x3?4x1x2化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?t(x1?x2?x3)?2x1x2?2x2x3正定。 四、证明题（每小题10，共20分）

1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果(i)?的特征多项式的根都在C内；(ii)对于?的特征多项式的每一根?，本征子空间V?的维数等于?的重数。证明?可以对角化

2222、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是对称变换，且?是单位变换。证明?是正交变换。

《高等代数》试题18

一、选择题（每题3分，共12分） 1、下列集合有（ ）个是R的子空间；

w1?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn?0}； w2?{??(x1,x2,?xn)|xi?R,x1?x2???xn}； w3?{??(a,b,a,b,?,a,b)|a,b?R}； w4?{??(x1,x2,?xn)|xi为整数}；

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 2、（1）若两个向量组等价，则他们所含向量的个数相同；

（2）若向量组{?1，?2，?，?r}线性无关，?r?1可由?1,?2,??r线性表出，则向量组{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （3）设{?1，?2，?，?r}线性无关，则{?1，?2，?，?r?1}也线性无关； （4）{?1，?2，?，?r}线性相关，则?r一定可由?1,?2，??r?1线性表出； 以上说法正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 3、（1）n维向量空间V的任意n个线性无关的向量都可构成V的一个基；

（2）设?1,?2，??n是向量空间V中的n个向量，且V中的每个向量都可由之线性表示，则?1,?2，??n是V的一个基；

（3）设{?1,?2，??n}是向量空间V的一个基，如果{?1，?2，??n}与{?1,?2，??n}等价，则{?1，?2，??n}也是V的一个基； （4）n维向量空间V的任意n?1个向量线性相关； 以上说法中正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 4、（1）线性变换?的本征向量之和仍为?的本征向量；

（2）属于线性变换?的同一本征值?0的本征向量的任一线性组合仍是?的本征向量； （3）相似矩阵有相同的特征多项式；

（4）(?0I?A)X?0的非零解向量都是A的属于?0的特征向量； 以上说法正确的有（ ）个。

（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4个 二、填空题（每空3分，共18分）

1、复数域C作为实数域R上的向量空间，则dimC?___________ 它的一个基为____________________。

n22、设{?1,?2,??n}是向量空间V的一个基，由该基到{?2，?，?n，?1} 的过渡矩阵为___________________。

?111???3、设V是数域C上的3维向量空间，?是V的一个线性变换，{?1，?2，?3}是V的一个基，?关于该基的矩阵是?123?，

?12?3???

???1??2??3，则?(?)关于{?1，?2，?3}的坐标是____________。

030000410??0?的特征值是____________。 6??3??2?2??04、矩阵A??0??0?5、在欧氏空间C[?2,2]里x的长度为______________。

6、二次型f(x,y,z)??x?y?z?xy?xz?yz的矩阵是____________. 三、计算题（3小题14分，其余每小题12分，共50分）

1、已知{x3,x3?x,x2?x,x?1}是C3[x]的一个基，求x?x?1在该基下的坐标。

2222?1?2?4??5???x?2?与B??2、设矩阵A???2??4?21???????y?相似，求x,y。

?4??2223、求一个正交变换X?PY把二次型f(x1,x2,x3)?4x1?3x2?2x2x3?3x3化为只含有平方项的标准形。 4、t取何值时，二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3 正定。 四、证明题（每小题10，共20分）

1、令?是数域C上向量空间V的一个线性变换，如果?1，?2，?，?n 分别是?的属于互不相同的本征值?1，?2，?，?n的本征向量，证明?1，?2，?，?n线性无关。 2、设?是n维欧氏空间V的一个线性变换，如果?是正交变换又是对称变换，证明?是单位变换。

《高等代数》试题19

一、选择题（每小题 3 分，共15分）

1、设A,B均为n阶矩阵，则正确的为 （ ）

A det(A?B)?detA?detB B AB?BA

222C det(AB)?det(BA) D (A?B)?A?2AB?B

22222、设A*为n阶方阵A的伴随矩阵且A可逆，则结论正确的是=（ ）

A (A*)*?|A|n?1A B (A*)*?|A|n?1A C (A*)*?|A|n?2A D (A*)*?|A|n?2A

3、设n阶方阵A满足A2?2A?0，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A. A-2I B. A-I C. A+I D. A

4、设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解。

A m?n B A的秩等于n C m?n D A的秩等于m 5、如果矩阵rankA?r,则 （ ）

A 至多有一个r阶子式不为零 B 所有r阶子式都不为零

C 所有r?1阶子式全为零，而至少有一个r阶子式不为零 D 所有低于r阶子式都不为零 二、填空题（每小题 3 分，共15 分）

12a1、设行列式203中，余子式A21?3，则a＝__________

3692、若9元排列1274i56k9是奇排列，则i=_____,k=_______

?1?11??101?????23?B??020?，则(AB)'＝_____________ 3、设A??1??102??101?????4、设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x?a)(x?b)所得的余式为=____ 5、设f(x)?R[x]使得degf(x)?3且f(1)?1,f(-1)?2,f(2)?0,则f(x)=_________ 三、 计算题（共60分）

1． （10分）求n阶行列式

x1?1D?x1x1x2x2?1x2xnxnxn?1

2、（10分）已知f(x)?x4?2x3?x2?4x?2,g(x)?x4?x3?x2?2x?2，求u(x),v(x),使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?(f(x),g(x))

?3．（10分）求解矩阵方程设?10?1??2?31??042??X?????1?10??110? ???211??4（10分）设非齐次线性方程组为

??x1?3x2?x3?0?x1?4x2?ax3?b ??2x1?x2?3x3?5试问:a,b取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？有解时请求出解。 5（10分）求多项式f(x)?x3?6x2?15x?14的有理根。 6（10分）请把n元对称多项式?x31x2表成是初等对称多项式的多项式

一、证明题（10分）

设p(x)是F[x]中次数大于零的多项式，若?f(x),g(x)?F[x],只要p(x)|g(x)f(x)就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x),则p(x)不可约

一、选择题（每小题 3 分，共15分）

1、设A为方阵，满足AA?1?A?1A?I，则A的行列式|A|应该有 A |A|?0 B |A|?0 C |A|?k,k?1 D |A|?k,k??1 2、设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，则||A*|A|=（ ）

A |A|n2 B |A|n C |A|n2?n D |A|n2?n?1

3、设n阶矩阵A满足A2?A?2I?0，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ） A. A+2I B. A-I C. A+I D. A

4、设A是m?n矩阵，若（ ），则n元线性方程组AX?0有非零解。

A m?n B A的秩等于n C m?n D A的秩等于m 5、以下命题不正确的是 （ ） A 若f(x)|g(x),则f(x)|g(x) B 集合F?{a?bi|a,b?Q}是数域

《高等代数》试题20

）

（C 若(f(x),f'(x))?1,则f(x)没有重因式

D 设p(x)是f'(x)的k?1重因式，则p(x)是f(x)的k重因式 二、填空题（每小题 3 分，共15 分）

12a1、设行列式203中，余子式M22?3，则a＝__________ 3692、若9元排列1274i56k9是偶排列，则i=_____,k=_______

?101??1?11?????23?，则(AB)'＝_____________ 3、设A??020?，B??1?111???102?????4、设a,b是两个不相等的常数，则多项式f(x)除以(x?a)(x?b)所得的余式为=____ 5、设f(x)?R[x]使得

degf(x)?3且f(1)?1,f(-1)?3,f(2)?3,则f(x)=_________

三、 计算题（共60分）

1.（10分）求n阶行列式

x12?1D?x2x1xnx1x1x22x2?1x1xnx2xn2xn?1

xnx22、（10分）已知f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x3?x2?5x?4，求u(x),v(x),使得f(x)u(x)?g(x)v(x)?(f(x),g(x))

23??2???1*3．（10分）设?1?10?，判断A是否可逆？若可逆请求A和A。

??121???4（10分）设非齐次线性方程组为

?(1??)x1?x2?x3?0??x1?(1??)x2?x3?3 ?x?x?(1??)x??23?1试问: ?取何值时，方程组无解？有唯一的解？有无穷多个解？当有解时请求出解来。 5（10分）求多项式f(x)?x5?x4?6（10分）请把n元对称多项式二、证明题（10分）

531x?2x2?x?3的有理根。 223123?xxx表成是初等对称多项式的多项式

(x),g(x)) 设g(x),f(x)?F[x]，证明：如果(f(x),g(x))?1，那么对?h(x)?F[x]，都有(f(x)h(x),g(x))=(h

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考试课程名称：高等代数模拟试题（1）答案 学时： 60

考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）如果(x?1)2|Ax4?Bx2?1，则A，B各为 1，-2 。 ??5200??1?200?（2）设四阶方阵A??2100??????001?2?，则A的逆阵A?1???2500??001/32/?。 ??0011???3???00?1/31/3???（3）设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为n?1，则线性方程组AX?0的通解为x?c(1,1,?,1)。 （4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 n，0，0，0，……，0 。 （5）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7)则该向量组的秩是 2 。 二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） （A）(AB)T?ATBT ； (B) (AB)?1?A?1B?1； (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。 （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ C ） (A) (A*)*?|A|n?1A； (B) (A*)*?|A|n?1A； (C) (A*)*?|A|n?2A； (D) (A*)*?|A|n?2A。 （3）设n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ B ） （A）充分必要条件； (B) 充分而非必要条件； (C ) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。 （4）设矩阵Am?n的秩为R(A)?m?n，Im为m阶单位方阵，下述结论中正确的是（ C ） (A) A的任意m个列向量必线性无关； (B) A的任意一个m阶子式不等于零； (C) 若矩阵B满足BA?O，则B?O，或非齐次线性方程组AX?b，一定有无穷多组解 (D) A通过初等行变换，必可化为(ImO)的形式。 （5）设A是m?n矩阵，AX?O是非齐次线性方程组AX?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ） (A) 若AX?O仅有零解，则AX?b有唯一解； (B) 若AX?O有非零解，则AX?b有无穷多个解； (C) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O仅有零解； (D) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O有非零解； ??2x1?x2?4x3?3x4??4三、(10分)解线性方程组??x1?x3?x4??3?x ?3x1?x23?1??7x1?7x3?3x4?3??2x1?x2?4x3?3x4??4???x2?2x3?x4?2解：由??x1?x3?x4??3?x 得 ?3?x1?x3?x4??31?x2?x3?1??x?2x?3x 234?10?7x1?7x3?3x4?3??4x4?24??x1?x3?x4??3??x1??c?3进而有 ??x2?2x3?3x4?10解之得??2x?x2?2c?84?12??x3?c ?4x4?24??x4?6?010??1?1?四、(10分)已知X?AX?B，其中A????111?????，B??20?，求矩阵X。 ??10?1????5?3??解：由 X?AX?B 得 (E?A)X?B ?100??010??1?1而 E?A???010??????111????0??10?1?? 可逆 ??001?????10?1????102??

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可以求得 (E?A)?1?1??021?3??321??? ?0?11???所以 X?(E?A)?1B?1?021??1?1??3?1?3??321????????20?=?20? ?0?11????5?3????1?1?? 五、(10分)设集合V=?x|x?(0,x2,x3,?,xn)?，试证V构成一个线性空间，并说明它的维数是多少。 证明：设x?V,y?V, 即 x?(0,x2,x3,?,xn)，y?(0,y2,y3,?,yn)； 于是 kx?(0,kx2,kx3,?,kxn)?V x?y?(0,x2,x3,?,xn)?(0,y2,y3,?,yn) =(0,x2?y2,x3?y3,?,xn?yn)?V 由此可见，V关于向量的数乘与加法是封闭的，根据定义可以知道，V构成一个线性空间。并且其维数是n-1。 六、(10分) 设n阶方阵A满足条件ATA?E，其中AT是A的转置矩阵，E为单位矩阵。证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。 证明：因为n阶方阵A满足条件ATA?E，所以矩阵A是正交矩阵，即A?1?AT 由于 |A??E|?|AT??E|?0，所以AT与A有相同的特征值。 又 |A??E|?0， 所以 |A?1?1?E|?0， 即A?1与A的特征值互为倒数。 因此有 ??1??， 即?2?1，或者|?|?1 七、（10分）已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x22?3x32?2ax2x3，(a?0)通过正交变换化为标准型f?y12?2y22?5y32，求参数a，并判断该二次型是否为正定二次型。 ?20解：二次型的矩阵A??0??03a??，所以 |A|?2(9?a2)， ??0a3??而 |A|??1?2?3?10， 因此有 |A|?2(9?a2)?10，解之得 a?2。 由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。 ??1?26八、（10分）计算矩阵A?????103???的约当（Jordan）标准形。 ??1?14??解：首先计算矩阵A的初等因子， ???12?6??0???1??2?3??2??E?A???1??3???????0??1???1? ?11??4????11??4???11??4?00???0??1???1?????1??0??1???1??? ?0???1??2?3??2????0???1??2?3??2???0000??1??1??0??1???1?????0??10??? ?00??2?2??1????00(??1)2??可知A的初等因子为 ??1，(??1)2，因此A的约当标准型为 ?100J????010??? ?011??

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中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制 考试课程名称：高等代数模拟试题（2）答案 学时： 60

考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一 填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7),则向量α1?α2?α3?α4?（-2，-2，-2，-2 ） 。 5200（2）设四阶行列式A?2100001?2，则A的值为 3 。 0011（3）设n阶方阵A的各行元素之和均为1，X1,X2,?Xn?r为线性方程组AX?0的一个基础解系，则线性方程组AX?b（其中列向量b?(1，1，?，1)'）的通解为 c1X1?c2X2???cn?rXn?r?b 。 （4）设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有n?r为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 r,n?r 。 ?（5）设行矩阵A?(a,b,c)，则AA'?a2?b2?c2 。A'A??a2abac???abb2bc?? 。 ?acbcc2??二 选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）下列运算中正确的是（ D ） （A）(AB)'?A'B' ； (B) (AB)?1?A?1B?1； (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。 （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ A ） (A) |A*|?|A|n?1； (B) |A*|?|A|n?1； (C) |A*|?|A|n?2； (D) |A*|?|A|n?2。 （3） 设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ） (A) A的3个列向量必线性无关； (B) A的3个列向量必线性相关； (C) A的秩为2； (D) A的行列式为零。 （4）设f(x),g(x)为两个多项式，而且满足f(x)|g(x)和g(x)|f(x)，则（ D ） （A）f(x)?g(x)； (B) f(x)?[g(x)]?1； (C ) f(x)?2g(x)； (D) f(x)?cg(x) ，c为非零常数。 （5）设V?{X?(x1,x2,?,xn)|x1?x2???xn?0},则下列结论正确的是（ C ） (A) V?{O}； (B) V的维数是n； (C) V是子空间； (D) V 不是子空间。 ??x1?x3?x4??3三 (10分)解线性方程组??2x1?x2?4x3?3x4??4?3x1?x 2?x3?1??7x1?7x3?3x4?3解：此方程组的增广矩阵为 ??101?1?3??1B??2?14?3?4??12???01?1?3??0?12???31101????707?33????01?2310? ??00424??0????101?1?3??10103???01?21?2?????00016???01?20?8???00016? ??00000??????00000???由于A的秩等于B的秩，都为3，因此该方程组有解。对应齐次线性方程组的基础解系为ξ?(?1,2,1,0)'，而容易求得该方程的一个解α?(3,?8,0,6)'，所以该方程组的通解为 ??kξ?α?k(?1,2,1,0)'?(3,?8,0,6)'。

?110?

四、(10分)已知矩阵A???011??，且A2?AB?E，其中E为三阶单位矩阵，求矩阵??00?1??B。 ?1?1?1?解：由A2?AB?E可得B?A?A?1，而A?1???011???，所以有 ?00?1???110??1?1 B???011?????1??011??021???=??000?? ?00?1????00?1????000??103100204100五、(10分)计算行列式A?199200395200301300600300的值。 402400799401解：根据行列式的性质有 103100204100310040A?199200395200?1200?50301300600300?1300004024007994012400?1131403140?100?12?50?12?501300?1001300? 24?110001?100(?8?45?5?12)?2000.六、(10分) 设n阶对称矩阵A正定，证明A*也是正定矩阵，其中A*表示A的伴随矩阵。 证明：因为n阶对称矩阵A正定，所以|A|?0,A'?A，并对任意的非零列向量X，恒有X'AX?0，从而 X'A*X?X'|A|A?1X?(|A|X')A?1(|A|X)?Y'A?1Y?(A?1Y)'A(A?1Y)?0 由此说明, A的伴随矩阵A*也是正定矩阵。 七、（10分）已知二次型f(x?2x2221,x2,x3)1?x2?5x3?4x2x3，通过合同变换化为规范型，并求出所需的变换矩阵。 ?200?解：二次形的矩阵A???012??，利用初等变换 ??025????200??100?100??012????010?????010???A???025?021?001????E?????2?100??????00??????2?010??021?2?200?? ????01?2??001??????001????001?????200??2?因此在变换X??01?2?Y下，原二次型变换为规范型 ??001???f(x?x2222?y21,x2,x3)?2x212?5x3?4x2x3?y1?y23 ?122?八、（10分）设矩阵A???212??，求它的特征值和特征向量。 ??221?? 解：请参考教材293页例2。

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中国地质大学（武汉）考试出题专用纸 教务处制 考试课程名称：高等代数模拟试题（3）答案 学时： 60

考试方式：开卷，闭卷，笔试，口试，其它 考试内容： 一、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程） （1）已知向量组α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5)，α3?(3,4,5,6)，α4?(4,5,6,7)则该向量组的一个极大线性无关组是α1?(1,2,3,4)，α2?(2,3,4,5) 。 5200（2）设四阶行列式A?2100121?2，则A的值是 3 。 1211（3）设A为n阶正交矩阵，则A的特征值是 1 或 -1 。 （4）设n阶矩阵A的元素全为1，则A的伴随矩阵A*=0n。 （5）若n阶矩阵A满足A2?0，则方程AX?X的解X＝ 0 。 二、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） （1）设x???x1??11?,则二次型?x?,A??1??f?xTAx等于（ D ） 2??1 (A) x2?x222212; (B) x1?x1x2?x2; (C) x1?x2; (D) (x1?x2). （2）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A*是A的伴随矩阵，则（ C ） (A) A*?|A|A； (B) A*?|A|2A； (C) A*?|A|A?1； (D) A*?|A|2A?1。 ?（3）线性方程组?x1?x2?a1??x2?x3?a2有解的充分必要条件是（ B ） ?x3?x4?a3??x4?x1?a4 (A) a1?a2?a3?a4?0; (B) a1?a2?a3?a4?0; (C) a1?a2?a3?a4?0; (D) a1?a2?a3?a4?0. （4）设n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的（ B ） (A) 充分必要条件； (B) 充分而非必要条件； (C) 必要而非充分条件； (D) 即非充分也非必要条件。 （5）已知向量组?1,?2,?3线性无关,向量组?2,?3,?4线性相关,则（ D ） (A) ?1一定可由?2,?3,?4线性表示； (B) ?2一定可由?1,?3,?4线性表示； (C) ?3一定可由?1,?2,?4线性表示； (D) ?4一定可由?1,?2,?3线性表示； xaaa三、(10分)计算行列式axaaaaxa. aaaxr1?r2x?3ax?3ax?3ax?3a解：Dr1?r3axaar1?r4aaxa aaax1111r1?(x?3a)(x?3a)axaaaaxaaaaxc2?c11000=c3?c1a00ca)x?a4?c(x?31a0x?a0 a00x?a(x?3a)(x?a)3. ?11?1? 四、(10分) 已知A????111??,A*是A的伴随矩阵,且A*X?A?1?2X,求矩阵X. ??1?11??解：由已知条件得 (A??2E)X?A?1,(AA??2A)X?E,(AE?2A)X?E, X?(AE?2A)?1. 由于 11?1A??111?4 1?11所以 ?1?11?AE?2A?2??11?1?? ???111??所以 ?1?11?1X?1???2?11?1?1??110??????111??4?011? ??101????10?12?五、(10分) 求矩阵A??2111????0010?的逆矩阵A?1. ??00?11???解：利用初等变换 ??10?121000??1000??21110100?10?12???013100????00100010???3?2?0010010? ??00?110001???0???00010011?????1000101?2???0100?21?33????00100010? ??00010011???所以 ??101?2?A?1???21?33????0010? ??0011??? 六、(10分) 设A是可逆实矩阵,证明ATA是正定矩阵. 证明：由(ATA)T?ATA知，ATA是对称矩阵．又?x?0,Ax?0，由于 xT(ATA)x?(Ax)T(Ax)?Ax2?0， 所以ATA是正定矩阵。（其中AT表示矩阵A的转置） 七、（10分）设3阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为p1?(1,1,1)T,求A. 解：根据已知条件，3对应的特征向量x?(x1x2xT3)满足 x1?x2?x3?0 得 ?x1x????x???x??1?????1???2?2?1??x?x3?????30?0???1? ??所以，3对应的特征向量为 ??1?p???1???,p??1??23??0? ??0????1??令 ??1???1/2b??[p,b]???2??1?? b3?p3?32?0??[bb2???1/22,b2]??1? ??进行标准化 ?1/3???1/2??1/6e?p1????b?|p|???1/3?,eb2?3?12=??1/2?,e3=?????1/3??|b2|????0??|b1/6? 13|??????2/6??令 ?1/3?1/21/6?P?(e1e2e?3)???1/31/21/6????1/30?2/6? ??

则有 ?P?1AP??600??030??? ?003??或 ?600?A?P?00??6?030??30???P?1?P?0?003????03?PT0?? ?1/3?1/21/6??600??1/31/31/3??????1/31/21/6???0?????1/21/20?411?????141?? ??1/30?2/6??03????003?????1/61/6?2/6?????114?? 八、（10分）设f(x)?x4?3x3?6x2?ax?b，g(x)?x2?1，a与b是什么数时，f(x)能被g(x)整除？ 解：方法一、利用辗转相除法，得余式： r(x)?(a?3)x?b?7， 由已知， a?3,b??7 方法二、由于f(x)能被g(x)整除，而g(x)?x2?1的零点为1和-1，所以1和-1也应是f(x)的零点，即 f(1)?4?a?b?0 和 f(?1)?10?a?b?0 解之即得 a?3,b??7。

考试名称： 高等代数模拟试题（4）答案 （高起专/专升本）考试方式： 闭卷 学时：60 考试时间：120 分钟 总分：100

试卷共 页，请将所有答案写在答题纸相应位置上，答在试卷上不得分

（1）如果(x?1)2|Ax4?Bx2?1，则A，B各为 1，-2 。

四、填空题（每小题4分，共5小题，总20分，将答案填在横线上，不填解题过程）

?5??2（2）设四阶方阵A??0??0?210000?00??1?2???00??2500???1A，则的逆阵。 A????1?2001/32/3?????11?0?1/31/3??0?52（3）设四阶行列式A?0021000000，则A的值为 3 。

1?211（4）设n阶实对称矩阵A的特征值中有r个为正值，有n?r为负值，则A的正惯性指数和负惯性指数是 r,n?r 。

?a2abac???2222bc? （5）设行矩阵A?(a,b,c)，则AA'?a?b?c 。A'A??abb?acbcc2???（1）下列运算中正确的是（ D ）

五、选择题（每小题4分，共5小题，总20分，每小题给出四种选择，其中有且只有一个是正确的，将你认为正确的代号填入括号内） (C) (A?B)?1?B?1?A?1； (D) (AB)?1?B?1A?1。

（2）设A是m?n矩阵，AX?O是非齐次线性方程组AX?b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）

(A) 若AX?O仅有零解，则AX?b有唯一解； (B) 若AX?O有非零解，则AX?b有无穷多个解； (C) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O仅有零解； (D) 若AX?b有无穷多个解，则AX?O有非零解； （3）设n阶矩阵A的行列式|A|?0，A是A的伴随矩阵，则（ A ）

(A) |A|?|A|(C) |A|?|A|**n?1(A) (AB)T?ATBT ； (B) (AB)?1?A?1B?1；

*

； (B) |A|?|A|**n?1； 。

n?2； (D) |A|?|A|n?2（4） 设3阶矩阵A的行向量组为线性无关的，下述结论中正确的是（ A ）

(A) A的3个列向量必线性无关； (B) A的3个列向量必线性相关； (C) A的秩为2； (D) A的行列式为零。 （5）设V?{X?(x1,x2,?,xn)|x1?x2???xn?0},则下列结论正确的是（ C ）

(A) V?{O}； (B) V的维数是n； (C) V是子空间； (D) V 不是子空间。

?2x1?x2?4x3?3x4??4?x?x3?x4??3?1三、(10分)解线性方程组?

3x?x?x?1123???7x3?3x4?3?7x1?2x1?x2?4x3?3x4??4?x?x3?x4??3?1解：由? 得

3x?x?x?1123???7x3?3x4?3?7x1?x3?x4??3?x1?x2?2x3?3x4?10?进而有 ?2x4?12??4x4?24???x?1?????x2?2x3?x4?2?x3?x4??3x2?2x3?3x4?104x4?24

?x1??c?3?x?2c?8?2解之得?

?x3?c??x4?6?110???2A?011四、(10分)已知矩阵??，且A?AB?E，其中E为三阶单位矩阵，求矩阵B。

?00?1????1?1?1????12?11?，所以有 解：由A?AB?E可得B?A?A，而A??01?00?1????110??1?1?1??021???????1?=?000? B??011?-?01?00?1??00?1??000???????

五、(8分) 设n阶方阵A满足条件AA?E，其中A是A的转置矩阵，E为单位矩阵。 证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。

证明：因为n阶方阵A满足条件AA?E，所以矩阵A是正交矩阵，即ATT?1TT?AT

由于 |A??E|?|A??E|?0，所以A与A有相同的特征值。

T又 |A??E|?0， 所以 |A因此有 ?

?1?1?1?E|?0， 即A?1与A的特征值互为倒数。

??， 即?2?1，或者|?|?1

103199六、(8分)计算行列式A?301402解：根据行列式的性质有

100200300400100200?3004012043956007993?112100200的值。 3004011004200?53000400?100?010001103199A?3014023?1?10012

100200300400204395600799142?5304?1030?1?1000110142?53000

?100(?8?45?5?12)?2000.222222七、（8分）已知二次型f(x1,x2,x3)?2x1，求参数a，并判断该二次型是否为正定二次型。 ?3x2?3x3?2ax2x3，(a?0)通过正交变换化为标准型f?y1?2y2?5y3?200???2解：二次型的矩阵A??03a?，所以 |A|?2(9?a)，

?0a3???而 |A|??1?2?3?10， 因此有

|A|?2(9?a2)?10，解之得 a?2。

由于二次型的三个特征值为1，2，5，均为正，因此可断定该二次型是正定二次型。

八、(8分) 设A是可逆实矩阵,证明AA是正定矩阵.

TTT证明：由(AA)?AA知，AA是对称矩阵．又?x?0,Ax?0，由于

TTxT(ATA)x?(Ax)T(Ax)?Ax所以AA是正定矩阵。（其中A表示矩阵A的转置）

T2?0，

T232九、(8分) 假设g(x)?x?4x?a，如果存在唯一的多项式f(x)?x?bx?cx?d，使得g(x)f(x)，且f(x)g(x)，试求f(x)的表示式．

22解：设 g(x)?x?4x?=a(x?x1)(x?x2)，由于g(x)f(x)，所以可设

f(x)?x3?bx2?cx?d=(x?x1)(x?x2)(x?x3)

2又由于 f(x)g (x，所以)f(x)?(x?x1)2(x?x2) 或者 f(x)?(x?x1)(x?x2)2

再由函数f(x)的唯一性可知，必有x1?x2，即g(x)?(x?x1)2，x1?2，因此有

f(x)?(x?2)3

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