2012年北京西城区二模数学(文)

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北京市西城区2012年高三二模试卷

数 学（文科） 2012.5

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项.

1．已知复数z满足(1?i)?z?1，则z?（ ） （A）

2．给定函数：①y?x；②y?x?1；③y?sinx；④y?log2x，其中奇函数是（ ） （A）① ②

3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y?2x； ②y??2x； ③f(x)?x?x； ④f(x)?x?x． 则输出函数的序号为（ ） （A）① （B）② （C）③ （D）④

4．设m，n是不同的直线，?，?是不同的平面，且m,n??. 则“?∥?”是“m∥?且n∥?”的（ ） （A）充分而不必要条件 （C）充要条件

5．已知双曲线x?ky?1的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A）y??22?1?11i? 22（B）

1i? 22（C）?1i? 22（D）?1i? 2232（B）③ ④ （C）① ③ （D）② ④

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分又不必要条件

1x 4（B）y??4x （C）y??1x 2（D）y??2x

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6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为x1和x2，标准差依次为s1和s2，那么（ ） （注：标准差s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]，其中x为x1,x2,?,xn的平均数） n（A）x1?x2，s1?s2 （C）x1?x2，s1?s2

（B）x1?x2，s1?s2 （D）x1?x2，s1?s2

7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S．则S最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A）7层

8．已知集合A?{a1,a2,?,a20}，其中ak?0(k?1,2,?,20)，集合B?{(a,b)|a?A,

（B）8层

（C）9层

（D）10层

b?A,a?b?A}，则集合B中的元素至多有（ ）

（A）210个

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（B）200个 （C）190个 （D）180个

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第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在△ABC中，BC?3，AC?2，A?

10．设变量x，y满足?

11．已知向量a?(x,?1)，其中x随机选自集合{?1,1,3}，y随机选自集合{1,3}， b?(3,y)，

那么a?b的概率是_____．

12．已知函数f(x)?x2?bx?1是R上的偶函数，则实数b?_____；不等式f(x?1)?x的

解集为_____．

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图

是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．

14．已知曲线C的方程是(x?π，则B?_____． 3??1?x?y?1, 则2x?y的最小值是_____．

??1?x?y?1,|x|2|y|2)?(y?)?8，给出下列三个结论： xy① 曲线C与两坐标轴有公共点；

② 曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P，Q在曲线C上，则|PQ|的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．

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三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）

在等差数列{an}中，a2?a7??23，a3?a8??29． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．

16．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin(?x??)?的部分图象如图所示，其中??0，3cos(?x??)??(?,)．

（Ⅰ）求?与?的值； （Ⅱ）若f()?ππ22?42sin??sin2?45，求的值．

2sin??sin2?5

17．（本小题满分13分）

如图，四棱锥E?ABCD中，EA?EB，AB∥CD，AB?BC，AB?2CD． （Ⅰ）求证：AB?ED；

（Ⅱ）线段EA上是否存在点F，使DF// 平面BCE？若存在，求出说明理由．

EEF；若不存在，EABCDA京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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18．（本小题满分13分）

2ax?a2?1已知函数f(x)?，其中a?R．

x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调区间．

19．（本小题满分14分）

31x2y26已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，且经过点(,)．

22ab3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点P(0,2)的直线交椭圆C于A，B两点，求△AOB（O为原点）面积的最 大值．

20．（本小题满分14分）

若正整数N?a1?a2???an(ak?N*,k?1,2,?,n)，则称a1?a2???an为N的 一个“分解积”．

（Ⅰ）当N分别等于6,7,8时，写出N的一个分解积，使其值最大；

（Ⅱ）当正整数N(N?2)的分解积最大时，证明：ak(k?N*)中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数N(N?2)，求出ak(k?1,2,?,n)，使得N的分解积最 大．

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北京市西城区2012年高三二模试卷

数学（文科）参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A； 2．C； 3．D； 4．A； 5．D； 6．B； 7．C； 8．C ．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．

π1； 10．?2； 11．； 46112．0，{x|1?x?2}； 13．，3π； 14．② ③．

3注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差是d．

依题意 a3?a8?(a2?a7)?2d??6，从而d??3． ??????2分 所以 a2?a7?2a1?7d??23，解得 a1??1． ??????4分

所以数列{an}的通项公式为 an??3n?2． ??????6分 （Ⅱ）解：由数列{an?bn}是首项为1，公比为c的等比数列，

得 an?bn?cn?1，即?3n?2?bn?cn?1，

所以 bn?3n?2?cn?1． ??????8分 所以 Sn?[1?4?7???(3n?2)]?(1?c?c2???cn?1) ?n(3n?1)?(1?c?c2???cn?1)． ??????10分 2n(3n?1)3n2?n?n? 从而当c?1时，Sn?； ??????11分 22n(3n?1)1?cn? 当c?1时，Sn?． ??????13分 21?c

16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：f(x)?2sin(?x???π)． ??????2分 3京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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设f(x)的最小正周期为T． 由图可得

Tπππ??(?)?，所以 T?π，??2． ??????4分 2442π由 f(0)?2，得 sin(??)?1，

3πππ因为 ??(?,)，所以 ??． ??????6分

622π（Ⅱ）解：f(x)?2sin(2x?)?2cos2x． ??????8分

2由 f()?2cos??224?45?25，得 cos?， ??????9分 525?1?所以 cos??2cos所以

?23． ??????11分 52sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?1???． ??????13分

2sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?4

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．

因为 EA?EB，所以 EO?AB． ?????2分

GFE因为 AB∥CD，AB?2CD， 所以 BO∥CD，BO?CD．

又因为 AB?BC，所以四边形OBCD为矩形，

CBDOA所以 AB?DO． ??????4分 因为 EO?DO?O，所以 AB?平面EOD． ??????5分

所以 AB?ED． ??????6分 （Ⅱ）解：点F满足

EF1?，即F为EA中点时，有DF// 平面BCE．?????7分 EA2证明如下：取EB中点G，连接CG，FG． ??????8分 因为F为EA中点，所以FG∥AB，FG?因为AB∥CD，CD?1AB． 21AB，所以FG∥CD，FG?CD． 2所以四边形CDFG是平行四边形，所以 DF∥CG． ??????11分 因为 DF?平面BCE，CG?平面BCE， ??????12分

所以 DF// 平面BCE． ??????13分

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18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当a?1时，f(x)?(x?1)(x?1)2x?f(x)??2，． ??????2分 22x2?1(x?1)由 f?(0)?2， 得曲线y?f(x)在原点处的切线方程是2x?y?0．????4分 （Ⅱ）解：f?(x)??2(x?a)(ax?1)． ??????6分

x2?12x① 当a?0时，f?(x)?2．

x?1所以f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减． ??????7分

1(x?a)(x?)a．当a?0，f?(x)??2a2x?1

② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1??a，x2?

1，f(x)与f?(x)的情况如下：a

x2 0 x f?(x) (??,x1) ? x1 0 (x1,x2) (x2,??) ? ? ↗ f(x) ↘ f(x1) f(x2) ↘ 故f(x)的单调减区间是(??,?a)，(,??)；单调增区间是(?a,)．???10分 ③ 当a?0时，f(x)与f?(x)的情况如下： x f?(x) 1a1a

(??,x2) x2 0 (x2,x1) ? x1 0 (x1,??) ? ↗ ? ↗ f(x) f(x2) ↘ f(x1) 所以f(x)的单调增区间是(??,)；单调减区间是(?1a1,?a)，(?a,??)． a1a ??????13分 综上，a?0时，f(x)在(??,?a)，(,??)单调递减；在(?a,)单调递增.

1a1a?0时，f(x)在(0,??)单调递增，在(??,0)单调递减；a?0时，f(x)在(??,)，

a(?a,??)单调递增；在(1,?a)单调递减．

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19．（本小题满分14分）

b1a2?b2b22??1??（Ⅰ）解： 由 e?， 得 ． ① ??????2分 22aaa332由椭圆C经过点(,)，得

312291??1． ② ??????3分 4a24b2联立① ②，解得 b?1，a?3． ????4分

x2?y2?1． ????5分 所以椭圆C的方程是 3（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为

y?kx?2．

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得 (1?3k2)x2?12kx?9?0． ??????7分 令??144k2?36(1?3k2)?0，得k?1． 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2?? 所以 S?AOB?S?POB?S?POA?22212k9xx?，． ?????9分 121?3k21?3k21?2?x1?x2?x1?x2． ??????10分 212k23636(k2?1)因为 (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?， )??22221?3k1?3k(1?3k)设 k?1?t(t?0)， 则 (x1?x2)?2236t36363???． ?????13分

(3t?4)29t?16?2441629t??24tt当且仅当9t?1643，即t?时等号成立，此时△AOB面积取得最大值． t32 ??????14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：6?3?3，分解积的最大值为3?3?9； ??????1分

7?3?2?2?3?4，分解积的最大值为3?2?2?3?4?12； ??????2分 8?3?3?2，分解积的最大值为3?3?2?18． ??????3分

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，ak(k?1,2,?,n)中可以有2个2． ??????4分

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当ak(k?1,2,?,n)有3个或3个以上的2时， 因为2?2?2?3?3，且2?2?2?3?3， 所以，此时分解积不是最大的．

因此，ak(k?N*)中至多有2个2． ??????7分 （Ⅲ）解：① 当ak(k?1,2,?,n)中有1时， 因为1?ai?(ai?1)，且1?ai?ai?1，

所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ??????8分 ② 由（Ⅱ）可知，ak(k?1,2,?,n)中至多有2个2． ③ 当ak(k?1,2,?,n)中有4时，

若将4分解为1?3，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为2?2，则分解积相同；

4?3?3?2 若有两个4，因为4?4?3?3?2，且4?使得分解积更大．

，所以将4?4改写为3?3?2，

因此，ak(k?1,2,?,n)中至多有1个4，而且可以写成2?2． ??????10分 ④ 当ak(k?1,2,?,n)中有大于4的数时，不妨设ai?4， 因为ai?2(ai?2)，

所以将ai分解为2?(ai?2)会使得分解积更大． ??????11分 综上所述，ak(k?1,2,?,n)中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．

于是，当N?3m(m?N)时，N?3?3?????3使得分解积最大； ????12分 ???m个* 当N?3m?1(m?N)时，N?3?3?????3?2?2?3?3?????3?4使得分解积??????(m?1)个(m?1)个*最大； ??????13分 当N?3m?2(m?N)时，N?3?3?????3?2使得分解积最大． ???m个 ??????14分

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