2012年北京西城区二模数学(文)

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北京市西城区2012年高三二模试卷

数 学(文科) 2012.5

第Ⅰ卷(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

要求的一项.

1.已知复数z满足(1?i)?z?1,则z?( ) (A)

2.给定函数:①y?x;②y?x?1;③y?sinx;④y?log2x,其中奇函数是( ) (A)① ②

3.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ①y?2x; ②y??2x; ③f(x)?x?x; ④f(x)?x?x. 则输出函数的序号为( ) (A)① (B)② (C)③ (D)④

4.设m,n是不同的直线,?,?是不同的平面,且m,n??. 则“?∥?”是“m∥?且n∥?”的( ) (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

5.已知双曲线x?ky?1的一个焦点是(5,0),则其渐近线的方程为( ) (A)y??22?1?11i? 22(B)

1i? 22(C)?1i? 22(D)?1i? 2232(B)③ ④ (C)① ③ (D)② ④

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

1x 4(B)y??4x (C)y??1x 2(D)y??2x

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6.右图是1,2两组各7名同学体重(单位:kg) 数据的茎叶图.设1,2两组数据的平均数依次 为x1和x2,标准差依次为s1和s2,那么( ) (注:标准差s?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2],其中x为x1,x2,?,xn的平均数) n(A)x1?x2,s1?s2 (C)x1?x2,s1?s2

(B)x1?x2,s1?s2 (D)x1?x2,s1?s2

7.某大楼共有12层,有11人在第1层上了电梯,他们分别要去第2至第12层,每层1人.因 特殊原因,电梯只允许停1次,只可使1人如愿到达,其余10人都要步行到达所去的楼层.假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1,每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时,电梯所停的楼层是( ) (A)7层

8.已知集合A?{a1,a2,?,a20},其中ak?0(k?1,2,?,20),集合B?{(a,b)|a?A,

(B)8层

(C)9层

(D)10层

b?A,a?b?A},则集合B中的元素至多有( )

(A)210个

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(B)200个 (C)190个 (D)180个

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第Ⅱ卷(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在△ABC中,BC?3,AC?2,A?

10.设变量x,y满足?

11.已知向量a?(x,?1),其中x随机选自集合{?1,1,3},y随机选自集合{1,3}, b?(3,y),

那么a?b的概率是_____.

12.已知函数f(x)?x2?bx?1是R上的偶函数,则实数b?_____;不等式f(x?1)?x的

解集为_____.

13.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图

是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,该几何体 的体积是_____;若该几何体的所有顶点在同一球面 上,则球的表面积是_____.

14.已知曲线C的方程是(x?π,则B?_____. 3??1?x?y?1, 则2x?y的最小值是_____.

??1?x?y?1,|x|2|y|2)?(y?)?8,给出下列三个结论: xy① 曲线C与两坐标轴有公共点;

② 曲线C既是中心对称图形,又是轴对称图形; ③ 若点P,Q在曲线C上,则|PQ|的最大值是62. 其中,所有正确结论的序号是_____.

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三、解答题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)

在等差数列{an}中,a2?a7??23,a3?a8??29. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)设数列{an?bn}是首项为1,公比为c的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.

16.(本小题满分13分)

已知函数f(x)?sin(?x??)?的部分图象如图所示,其中??0,3cos(?x??)??(?,).

(Ⅰ)求?与?的值; (Ⅱ)若f()?ππ22?42sin??sin2?45,求的值.

2sin??sin2?5

17.(本小题满分13分)

如图,四棱锥E?ABCD中,EA?EB,AB∥CD,AB?BC,AB?2CD. (Ⅰ)求证:AB?ED;

(Ⅱ)线段EA上是否存在点F,使DF// 平面BCE?若存在,求出说明理由.

EEF;若不存在,EABCDA京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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18.(本小题满分13分)

2ax?a2?1已知函数f(x)?,其中a?R.

x2?1(Ⅰ)当a?1时,求曲线y?f(x)在原点处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)的单调区间.

19.(本小题满分14分)

31x2y26已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为,且经过点(,).

22ab3(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点,求△AOB(O为原点)面积的最 大值.

20.(本小题满分14分)

若正整数N?a1?a2???an(ak?N*,k?1,2,?,n),则称a1?a2???an为N的 一个“分解积”.

(Ⅰ)当N分别等于6,7,8时,写出N的一个分解积,使其值最大;

(Ⅱ)当正整数N(N?2)的分解积最大时,证明:ak(k?N*)中2的个数不超过2; (Ⅲ)对任意给定的正整数N(N?2),求出ak(k?1,2,?,n),使得N的分解积最 大.

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北京市西城区2012年高三二模试卷

数学(文科)参考答案及评分标准

2012.5

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A; 2.C; 3.D; 4.A; 5.D; 6.B; 7.C; 8.C .

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.

π1; 10.?2; 11.; 46112.0,{x|1?x?2}; 13.,3π; 14.② ③.

3注:12、13题第一问2分,第二问3分;14题少选、错选均不给分.

三、解答题:本大题共6小题,共80分. 15.(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:设等差数列{an}的公差是d.

依题意 a3?a8?(a2?a7)?2d??6,从而d??3. ??????2分 所以 a2?a7?2a1?7d??23,解得 a1??1. ??????4分

所以数列{an}的通项公式为 an??3n?2. ??????6分 (Ⅱ)解:由数列{an?bn}是首项为1,公比为c的等比数列,

得 an?bn?cn?1,即?3n?2?bn?cn?1,

所以 bn?3n?2?cn?1. ??????8分 所以 Sn?[1?4?7???(3n?2)]?(1?c?c2???cn?1) ?n(3n?1)?(1?c?c2???cn?1). ??????10分 2n(3n?1)3n2?n?n? 从而当c?1时,Sn?; ??????11分 22n(3n?1)1?cn? 当c?1时,Sn?. ??????13分 21?c

16.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:f(x)?2sin(?x???π). ??????2分 3京翰教育网 http://www.zgjhjy.com/

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设f(x)的最小正周期为T. 由图可得

Tπππ??(?)?,所以 T?π,??2. ??????4分 2442π由 f(0)?2,得 sin(??)?1,

3πππ因为 ??(?,),所以 ??. ??????6分

622π(Ⅱ)解:f(x)?2sin(2x?)?2cos2x. ??????8分

2由 f()?2cos??224?45?25,得 cos?, ??????9分 525?1?所以 cos??2cos所以

?23. ??????11分 52sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?1???. ??????13分

2sin??sin2?2sin?(1?cos?)1?cos?4

17.(本小题满分13分)

(Ⅰ)证明:取AB中点O,连结EO,DO.

因为 EA?EB,所以 EO?AB. ?????2分

GFE因为 AB∥CD,AB?2CD, 所以 BO∥CD,BO?CD.

又因为 AB?BC,所以四边形OBCD为矩形,

CBDOA所以 AB?DO. ??????4分 因为 EO?DO?O,所以 AB?平面EOD. ??????5分

所以 AB?ED. ??????6分 (Ⅱ)解:点F满足

EF1?,即F为EA中点时,有DF// 平面BCE.?????7分 EA2证明如下:取EB中点G,连接CG,FG. ??????8分 因为F为EA中点,所以FG∥AB,FG?因为AB∥CD,CD?1AB. 21AB,所以FG∥CD,FG?CD. 2所以四边形CDFG是平行四边形,所以 DF∥CG. ??????11分 因为 DF?平面BCE,CG?平面BCE, ??????12分

所以 DF// 平面BCE. ??????13分

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18.(本小题满分13分) (Ⅰ)解:当a?1时,f(x)?(x?1)(x?1)2x?f(x)??2,. ??????2分 22x2?1(x?1)由 f?(0)?2, 得曲线y?f(x)在原点处的切线方程是2x?y?0.????4分 (Ⅱ)解:f?(x)??2(x?a)(ax?1). ??????6分

x2?12x① 当a?0时,f?(x)?2.

x?1所以f(x)在(0,??)单调递增,在(??,0)单调递减. ??????7分

1(x?a)(x?)a.当a?0,f?(x)??2a2x?1

② 当a?0时,令f?(x)?0,得x1??a,x2?

1,f(x)与f?(x)的情况如下:a

x2 0 x f?(x) (??,x1) ? x1 0 (x1,x2) (x2,??) ? ? ↗ f(x) ↘ f(x1) f(x2) ↘ 故f(x)的单调减区间是(??,?a),(,??);单调增区间是(?a,).???10分 ③ 当a?0时,f(x)与f?(x)的情况如下: x f?(x) 1a1a

(??,x2) x2 0 (x2,x1) ? x1 0 (x1,??) ? ↗ ? ↗ f(x) f(x2) ↘ f(x1) 所以f(x)的单调增区间是(??,);单调减区间是(?1a1,?a),(?a,??). a1a ??????13分 综上,a?0时,f(x)在(??,?a),(,??)单调递减;在(?a,)单调递增.

1a1a?0时,f(x)在(0,??)单调递增,在(??,0)单调递减;a?0时,f(x)在(??,),

a(?a,??)单调递增;在(1,?a)单调递减.

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19.(本小题满分14分)

b1a2?b2b22??1??(Ⅰ)解: 由 e?, 得 . ① ??????2分 22aaa332由椭圆C经过点(,),得

312291??1. ② ??????3分 4a24b2联立① ②,解得 b?1,a?3. ????4分

x2?y2?1. ????5分 所以椭圆C的方程是 3(Ⅱ)解:易知直线AB的斜率存在,设其方程为

y?kx?2.

将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,消去y得 (1?3k2)x2?12kx?9?0. ??????7分 令??144k2?36(1?3k2)?0,得k?1. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2?? 所以 S?AOB?S?POB?S?POA?22212k9xx?,. ?????9分 121?3k21?3k21?2?x1?x2?x1?x2. ??????10分 212k23636(k2?1)因为 (x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )??22221?3k1?3k(1?3k)设 k?1?t(t?0), 则 (x1?x2)?2236t36363???. ?????13分

(3t?4)29t?16?2441629t??24tt当且仅当9t?1643,即t?时等号成立,此时△AOB面积取得最大值. t32 ??????14分

20.(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:6?3?3,分解积的最大值为3?3?9; ??????1分

7?3?2?2?3?4,分解积的最大值为3?2?2?3?4?12; ??????2分 8?3?3?2,分解积的最大值为3?3?2?18. ??????3分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知,ak(k?1,2,?,n)中可以有2个2. ??????4分

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当ak(k?1,2,?,n)有3个或3个以上的2时, 因为2?2?2?3?3,且2?2?2?3?3, 所以,此时分解积不是最大的.

因此,ak(k?N*)中至多有2个2. ??????7分 (Ⅲ)解:① 当ak(k?1,2,?,n)中有1时, 因为1?ai?(ai?1),且1?ai?ai?1,

所以,此时分解积不是最大,可以将1加到其他加数中,使得分解积变大. ??????8分 ② 由(Ⅱ)可知,ak(k?1,2,?,n)中至多有2个2. ③ 当ak(k?1,2,?,n)中有4时,

若将4分解为1?3,由 ① 可知分解积不会最大; 若将4分解为2?2,则分解积相同;

4?3?3?2 若有两个4,因为4?4?3?3?2,且4?使得分解积更大.

,所以将4?4改写为3?3?2,

因此,ak(k?1,2,?,n)中至多有1个4,而且可以写成2?2. ??????10分 ④ 当ak(k?1,2,?,n)中有大于4的数时,不妨设ai?4, 因为ai?2(ai?2),

所以将ai分解为2?(ai?2)会使得分解积更大. ??????11分 综上所述,ak(k?1,2,?,n)中只能出现2或3或4,且2不能超过2个,4不能超过1个.

于是,当N?3m(m?N)时,N?3?3?????3使得分解积最大; ????12分 ???m个* 当N?3m?1(m?N)时,N?3?3?????3?2?2?3?3?????3?4使得分解积??????(m?1)个(m?1)个*最大; ??????13分 当N?3m?2(m?N)时,N?3?3?????3?2使得分解积最大. ???m个 ??????14分

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