中考数学压轴题精选精析(81-90例)

中考数学压轴题精选精析（81-90例）

一、解答题

1、(2011年湖北随州 十校联考数学试题) 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. 连结AP，△APB为等腰直角三角形。 (1)求a的值和点P、C、D的坐标；

(2)连结BC、AC、AD。将△BCD绕点线段CD上一点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S。

①当点E在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.

②当点E在线段CD(端点C、D除外)上运动时，设E(0，b)，用含b的代数式表示S，并判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

解：（1）a=1 P（2，-1） C（0，3） D（0，-3），（各1分，共4分）

（2）画出图形 （1分） 可用相似三角形的面积求S=

2

2 （2分） 3 （3）当b≥0如图，可用相似三角形的面

积求s?1(b?3)2 （2分） 63 （1分） 2 当b=0时，S=

当b＜0时 BD旋转后经过A时，b=-1

① -1＜b≤0时， （2分） ② b＜-1时 （2分）

2、(2011年重庆一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC中，

AC=BC=4,?ACB?90o 直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与?AEF重叠的面积为S． (1)求折痕EF的长；

(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y?x2?4x?3的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

(3)直接写出．．．．S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

解：（1）折痕EF?2 （2）t?2 （s）

（3）s??t2?2t,(0?t?2).

12s?1,(2?t?22).

1s??t2?2t?1,(22?t?32).

4

1s?t2?22t?8,(32?t?42).

43、（2011泰兴市 济川实验初中 初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的，O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．O’C’与AB交于D点.

(1)如果二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象经过O，O’两点且图象顶点M的纵坐标为?1，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标．

y C B C? D (3)若将直线OC绕点O旋转α度(0<α<90)后与抛物线的另一个 交点为点P，则以O、O’、B、P为顶点的四边形能否是平行 四边形？若能，求出tan?的值；若不能，请说明理由．

A? O A O? x M 第28题图

解：(1)y?x2?2x (2)D(1,

4) 3

(3)tan?=1或

4、（2011年山东三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线y?x2?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． P （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴 于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似． A 若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令y?0，得x2?1?0 解得x??1

令x?0，得y??1

13y o C B x ∴ A(?1,0) B(1,0) C(0,?1) ··· （2分）

y （2）∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=45?

P ∵AP∥CB， ∴?PAB=45?

过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形

令OE=a，则PE=a?1 ∴P(a,a?1)

∵点P在抛物线y?x2?1上 ∴a?1?a2?1 解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去） ∴PE=3

E B A oC x

∴四边形ACBP的面积S=

11AB?OC+AB?PE 22121?2?3?4 2=?2?1?(3)假设存在

∵?PAB=?BAC =45? ∴PA?AC

∵MG?x轴于点G， ∴?MGA=?PAC =90?

在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M点的横坐标为m，则M (m,m2?1) ①点M在y轴左侧时，则m??1

AGMG(ⅰ) 当?AMG ∽?PCA时，有=

PACA∵AG=?m?1，MG=m2?1

M y P ?m?1m2?1即 ?3222解得m1??1（舍去） m2?（舍去）

3(ⅱ) 当?MAG ∽?PCA时有

G A oC B xAGMG= CAPA?m?1m2?1即 ?232解得：m??1（舍去） m2??2

1?a??,?36a?6b?0,? 依题意得?解得?2

?16a?4b?4.??b?3. ∴所求抛物线的表达式为y??12x?3x. 2 y??1219x?3x=?(x?3)2?，∴点P坐标（3,9）. ??????7分 2222 （3）设直线MF、NE与y轴交于点P、Q， 则△OQE是等腰直角三角形. ∵OE=13t= t， ∴EQ=OQ=2t，∴E（2t，2t）.

222 ∵EF∥y轴， ∴PF=

22t，PO??2?t?12=12－2t. 22 ∴EF=PQ=12－2t－

322t. t=12?22 ①当EF＞QE时， 即12?322t＞t，解得t?32.

223 ∴当0?t?32时，S?EF?QE?2t(12?32t)=?t2?62t.

222 ②当EF≤QE时,即12? ∴当32?t?4322，解得 t?32.

t≤t222时，S=EF2=(12?32t)2 . ?????????11分

2 （4）当

0?t?32时， S??3t2?62t=?(t?22)2?12.

232 ∴当t?22时，S最大=12 . 当32?t?42时，S最大=(12?32?32)2=9.

2 ∴当t?22时，S最大=12. ???????????13分 当t?22时，E（2，2），F（2，8），

∵P（3，分

9），∴点P不在直线EF上. ???????????1428、（2011江苏苏港综合试题）（本小题满分10分）有一根直尺的短边长2㎝，长边长10㎝，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm..如图12，将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合.将直尺沿AB方向平移(如图 13)，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S㎝2.

(1)当x=0时(如图12)，S=_____________；当x = 10时，S =______________. (2) 当0＜x≤4时(如图13)，求S关于x的函数关系式；

(3)当4＜x＜10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值(同学可在图14、图15中画草图).

C

F A

(D) E (图12)

B

F G C A x D E B

(图13)

C

A (图14)

C B

A

(图15)

B

9、(2011年通州杨港模拟试卷)已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于A、B点（A点在

2B点的左边），与y轴交点C的纵坐标为2. 若方程x?bcx??0的两根为x1=1,x2=aa－2 .

⑴求此抛物线的解析式；

⑵若抛物线的顶点为M，点P为线段AM上一动点，过P点作x轴的垂线，垂足为H点，设OH的长为t，四边形BCPH的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

⑶将△BOC补成矩形，使△BOC的两个顶点B、C成为矩形的一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标 .

y解： ⑴ y=－x2－x＋2

5⑵S=－t2?3451t?1 （?t?2） 2232143214842⑶ （－,） （,?）

5555

o12123x10、（2011年浙江温州龙港三中模拟试卷）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式； (3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

yCEOFBDPAxCyDBEFOP图2

图1 Ax

解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE

＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．

∴Rt△POE∽Rt△BPA．??????????????????????2分 x3POBA114．即?．∴y=x(4?x)??x2?x(0＜x＜4)． ?y4?xOEAP333∴

且当x=2时，y有最大值

4．???????????????????4分 3(2)由已知，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)． ??????6分

1?a?,?2?c?1,?3??设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则?a?b?c?0,∴?b??,

2?16a?4b?c?3.???c?1.??13y=x2?x?1．???????????????????????????8分 22(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．????????? 9分 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， ∴该直线为y=x＋1．????????????????????????11分 ?y?x?1,?x?5,?由?得?∴Q(5，6)． 123y?x?x?1,y?6.??22?

故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．???????? 14分 11.（20112浙江温州2模拟1）在?ABC中，∠C=Rt∠,AC=4cm,BC=5cmm,点D在BC上，并且CD=3cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

BQDCEPA（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设?EDQ的面积为y(cm2)，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当x为何值时，?EDQ为直角三角形。

答案：解：（1）在Rt?ADC中,AC?4,CD?3,?AD?5，????????1

?EP?DC,??AEP??ADC,　　　 ????????????????2 EAAPEAx55?,即?,?EA?x,DE?5?xADAC5444????????4

?（2）?BC?5,CD?3,?BD?2，????????????????5

当点Q在BD上运动x秒后，DQ＝2－1.25x,则

1157y??DQ?CP?(4?x)(2?1.25x)?x2?x?42282????????7

527x?x?482，其中自变量的取值范围是：0＜x<1.6

y?即y与x的函数解析式为：

???????? 8

A

(3)分两种情况讨论： ①当?EQD?Rt?时，

显然有EQ?PC?4?x,又?EQ?AC,??EDQ??ADC

?即EQDQ?,ACDC

4?x1.25x?2?,解得　x?2.543

解得　x?2.5 ????????10

A②当?QED?Rt?时，

??CDA??EDQ,?QED??C?Rt?,??EDQ??CDA ?EQDQ5(4?x)1.25x?2?,即?,CDDA125

BEDQPC解得　x?3.1???????12

综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，?EDQ为直角三角形。

12. （20112浙江温州2模拟2） 如图1，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限.点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向运动，同时，点Q从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时，P，Q两点同时停止运动.设运动时间为t(s). （1）求正方形ABCD的边长.

（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t(s)之间的函数

图像为抛物线的一部分（如图2所示），求P，Q两点的运动速度.

（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t(s)的函数解析式及面积S取最大值时点P的坐标.

（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随

着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时，能使∠OPQ＝90°吗？若能，直接写出这样的点P的个数；若不能，直接写不能.

答案：解：（1）作BF⊥y轴于F. ∵A（0，10），B（8，4） ∴FB=8,FA=6,

∴AB=10 ?????????????2分

G

O E A

y

D

28 C

P B Q 图 1

x （第24题） O 20 S 10 图 2 t （2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s??1分 ∵AB=10

∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度.?1分 （3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF.

F

∴△AGP∽△AFB ∴

GAAPGAt??,即. FAAB610∴GA?3t. 535∴OG?10?t. ??????????2分

又∵OQ?4?t

∴S?113?OQ?OG?(t?4)(10?t)???2分 2253219t?t?20 105 即S?? ∵?19b19???，且在0≤t≤10内，

332a2?(?)31019时，S有最大值. 3476331t?,OG?10?t?, 51555195 ∴当t? 此时GP? ∴P(7631,) ???????????2分 155 解法2：由图2，可设S?at2?bt?20,

∵抛物线过（10，28）∴可再取一个点，当t=5时，计算得S?63， 2∴抛物线过（5,1

63），代入解析式，可求得a,b.?????评分参照解法2（4）这样的点P有2个. ?????????2分

13. （20112浙江温州2模拟3）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处

有一钉子。动点P，Q同时从点A出发，点P沿A——B——C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止；点Q沿A——D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止。P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋连结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为y cm2。 （1）当0≤ x ≤1时，求y与x之间的关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x的值；

（3）当1≤ x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的x变化范围；

（4）当0 ≤x≤2时，请在下面给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象。

B P A

O C

B

P O

C

Q D A

Q D

0

答案：（1）当0≤x≤1时 AQ= x AP=2 x ∴y= S△APQ=

11AP2AQ=22 x2 x= x２ (3分) 22B P A

Q P

O O C

(2)当橡皮筋刚好触及钉子时，有ＢＰ＝ＤＱ

D C

∵ＢＰ＝２x－２ ＤＱ＝２－x

4∴２x－２＝２x x＝（2分）

3

（3）当１≤x≤

B 4时3

A Q D

ＡＢ＝２，ＰＢ＝２－２x，ＡＱ＝x ∴y＝

AQ?BPx?2x?2?ＡＢ＝3２＝３x－２ 22即y＝３x－２ （2分） 当

4≤x≤２时，作ＯＥ⊥ＡＢ，Ｅ为垂足 3则ＢＰ＝２x－２，ＡＱ＝x，ＯＥ＝１ y＝S梯形ＢＥＯＰ＋S梯形ＯＥＡＱ＝

3x1?2x?21?x3１＋3１＝

222y3即y＝

3x（2分）

2

（４）如图所示： （3分）

2B E P O C x２ （0≤x≤1）

Y= 3x-2 (1＜x≤

1A Q 2D 34） 3

0143x3x4(＜x≤2)

2 314. （20112浙江温州2模拟4.）关于x的二次函数y＝－x＋(k－4)x＋2k－2以y

2

2

轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．

(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；

(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；

(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

答案：解：(1)根据题意得：k2－4＝0

∴k＝±2 ??1分 当k＝2时，2k－2＝2＞0 当k＝－2时，2k－2＝－6＜0 又抛物线与y轴的交点在x轴上方

∴k＝2 ??2分 ∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2 函数的草图如图所示： ??3分

(2)令－x2＋2＝0，得x＝±2

当0＜x＜2时，A1D1＝2x，A1B1＝－x2＋2 ??4分 ∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝－2x2＋4x＋4 ??5分 当x＞2时，A2D2＝2x

A2B2＝－(－x2＋2)＝x2－2 ??6分

y ∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x2＋4x－4 ??7分

D1 A1 B2 C1 2???2x＋4x＋4(0＜x＜2)l??2??2x＋4x－4(x＞2)∴l关于x的函数关系式是：

C2 B1 x

D2 A2 (3)解法①：当0＜x＜2时，令A1B1＝A1D1

(第24题图)

得x2＋2x－2＝0

解得x＝－1－3(舍)，或x＝－1＋3 ??8分

将x＝－1＋3代入l＝－2x2＋4x＋4 得l＝83－8 ??9分 当x＞2时，A2B2＝A2D2 得x2－2x－2＝0

解得x＝1－3(舍)，或x＝1＋3 ??10分 将x＝1＋3代入l＝2x2＋4x－4

得l＝83＋8 ??11分 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且 当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8；

当x＝1＋3时，正方形的周长为83＋8． ??12分

解法②：当0＜x＜2时，同“解法①”可得x＝－1＋3 ??8分[来源:学*科*网Z*X*X*K]

∴正方形的周长l＝4A1D1＝8x＝83－8 ??9分 当x＞2时，同“解法①”可得x＝1＋3 ??10分 ∴正方形的周长l＝4A2D2＝8x＝83＋8 ??11分 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且

当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8；[来源:学|科|网] 当x＝1＋3时，正方形的周长为83＋8．??12分 解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上 ∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，－x2＋2) 令AB＝AD，则?x2?2＝2x

∴－x2＋2＝2x ① 或－x2＋2＝－2x ② 由①解得x＝－1－3(舍)，或x＝－1＋3 ??8分 由②解得x＝1－3(舍)，或x＝1＋3 ??9分 又l＝8x

∴当x＝－1＋3时，l＝83－8；??10分 当x＝1＋3时，l＝83＋8 ??11分 综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且 当x＝－1＋3时，正方形的周长为83－8； 当x＝1＋3时，正方形的周长为83＋8．??12分

15. （20112浙江温州2模拟5）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?23mx?n经过P(3，，5)A(0，2)两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；

（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标． y

4 3 ?3m?6m?n?5解：（1）根据题意得?

?n?21??m?3 解得???n?2

2 1 ?4 ?3 ?2 ?1 O 1 2 3 ?1 ?2 x

?3

1223y?x?x?2 所以抛物线的解析式为：

331223x?x?2得抛物线的顶点坐标为B（?3，1）， 33（）由y? 依题意，可得C（?3，??y?kx，-1），且直线 过原点， 设直线 的解析式为

3 3 则?3k??1 解得k?所以直线? 的解析式为y?3x 3（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，

由勾股定理得 OB=OC=BC=2， 所以△OBC为等边三角形。

易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，

作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，

作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点， 反向延长线交x轴于M4点，

可得点M1，M2，M3，M4 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。 可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：

①OM1 ?32323，所以点M1的坐标为（?，0）。 OB?333②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0 ，2），

③点M3与点A关于x轴对称，所以点M2的坐标为（0 ，-2），

④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N ，

M4N ?3BC?3，且ON = M4N， 2所以点M4的坐标为（?23，0）

综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：

M1（?23，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（?23，0）。

316. （20112浙江温州2模拟6）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；

(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

24(3) 当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？

答案：答案：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b

3??b=6k?? 解得?4??8k?b?0??b?6由题意，得?

所以，直线AB的解析式为y＝－

3x＋6． 4分 4 （2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t 1) 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

10?2t所以 t＝10

6解得 t＝11(秒) 2分 2) 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以

t1030＝10?2t 解得 t＝50(秒) 2分

613（3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝BO＝4

AB5在Rt△AEQ中，QE＝AQ2Sin∠BAO＝(10-2t)24＝8 －8t 2分S△APQ＝1AP2QE＝

51252t2(8－8t)

542 ＝－5t＋4t＝24 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）． 2分

517. （20112浙江温州2模拟7）设抛物线y?ax2?bx?2与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C.且∠ACB＝90°. （1）求m的值；

（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；

（3）已知过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E. 问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与

△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由. 答案：解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）??（1分）

∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ， ∴OA·OB＝OC2

OC222＝＝4 ∴m＝4 （2分） ∴OB＝OA11?a＝??2 （2）将A（－1，0），B（4，0）代入y＝ax2?bx?2，解得??b＝?3?2?13∴抛物线的解析式为y＝x2?x?2??（2分）

2213当x=1时，y＝x2?x?2=－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。??（1分）

22?y＝x?1?x1＝?1?x2＝6?（3）由? 得 ，∴E（6，7）??（2分） 123??

y＝x?x?2?y1＝0?y2＝7?22?过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）， ∴ AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45° 作DF⊥x轴于F，则F（1，0） ∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45° ∴∠EAH=∠DBF=45°

∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135° 则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若△DBP1∽△EAB，则

BPAB?BD5?3215BD1,∴BP1＝＝＝ ＝AE7ABAE72∴OP1＝4?151313??（2分） ＝，∴P（，0）1777BP2BDAE?BD72?3242＝＝ ,∴BP2＝＝AB55AEAB②若△DBP2∽△BAE，则∴OP2＝422222??（2分） ?4＝ ∴P（?，0）25551322综合①、②，得点P的坐标为：P （，0）或P（?，0）127518.（20112浙江温州2模拟8）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△

ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O. （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；

（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延

长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.

①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；

②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？

AEAQE A OE DOBPO

BC（第24题图1）DRC（第24题图2）DB

C（备用图）1答案：解：（1）四边形ABCE是菱形。 ????????1分

∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC＝AB，

∴四边形ABCE是平行四边形， ????????3分

又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形 . ???????4分 （2）①四边形PQED的面积不发生变化。 ???????5分 1

方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4，

2过A作AH⊥BD于H，（如图1）. 11

∵S△ABC＝BC3AH＝AC3BO，

22

1124

即：353AH＝3634，∴AH＝. ????????6分

225【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用， ∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC，

24

即：AH:4＝6:5，∴AH＝. ????????6分】

5由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE，

111

∴S四边形PQED＝（QE+PD）3QR＝（BP+PD）3AH＝BD3AH

222124

＝3103＝24. ????????8分

25

方法二: 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO，????6

分

∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，

又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED， ?????7

分

∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED

11

＝2×BE×ED＝2×8×6＝24. ?????8

分

A Q E A Q E O O 3 2 1 B H P R C （第24题1） D B P G R C （第24题2） D

②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应， 即∠2＝∠1，∴OP=OC=3 ?????

9分

过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC， ?????10

分

9

∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=， ?????11分

597

∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－23＝. ?????12分

55方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时， ∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，

∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应， ?????9分 2418

∴QR:BO＝PR:OC，即：:4＝PR:3，∴PR＝， ?????10分

55过E作EF⊥BD于F，设PB＝x，则RF=QE=PB=x，

242182

6-() =， ?????11分

55

18187

＋x＋＝10，x＝. ?????12分 555

DF＝ED-EF =

2

2

∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋

方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，

由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线， ∴CO=PO， ?????9分 ∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO， ?????10分 18

∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝ ?????11分

5187

∴PB＝BC-PR＝5－＝. ?????12分

55

A Q E A Q E O 3 2 1 O B P R C F （第24题3） D B P C (R) （第24题4） D

由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线， ∴CO=PO， ?????9分 ∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO， ?????10分 18

∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝ ?????11分

5187

∴PB＝BC-PR＝5－＝. ?????12分

55

A Q E A Q E O 3 2 1 O B P R C F （第24题3） D B P C (R) （第24题4） D

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