答案需在答案出双击鼠标左键就出数了：2013电大高等数学基础形成

高等数学基础形考作业1：

第1章 函数 第2章 极限与连续

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C）中的两个函数相等． A. f(x)?(2x)，g(x)?x B. f(x)?2x，g(x)?x

C. f(x)?lnx，g(x)?3lnx D. f(x)?x?1，g(x)?3x?1x?12

⒉设函数f(x)的定义域为(??,??)，则函数f(x)?f(?x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴

C. y轴 D. y?x ⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. y?ln(1?x) B. y?xcosx

2 C. y?a?a2x?x D. y?ln(1?x)

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）．

A. y?x?1 B. y??x

C. y?x2 D. y????1,?1,x?0x?0

⒌下列极限存计算不正确的是（D）． A. limx22x??x?2sinxx?1 B. limln(1?x)?0

x?0 C. limx???0 D. limxsinx??1x?0

⒍当x?0时，变量（C）是无穷小量． A.

sinxx B.

1x

C. xsin1x D. ln(x?2)

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)?f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

x?x0 C. lim?f(x)?f(x0) D. lim?f(x)?lim?f(x)

x?x0x?x0x?x0（二）填空题

1

⒈函数f(x)?x?9x?32?ln(1?x)的定义域是?3,???．

2⒉已知函数f(x?1)?x?x，则f(x)? x2-x ．

⒊lim(1?x??12x1)x?e2．

1?x?⒋若函数f(x)??(1?x),??x?k,x?0，在x?0处连续，则k? e ．

x?0⒌函数y???x?1,?sinx,x?0x?0的间断点是x?0．

⒍若limf(x)?A，则当x?x0时，f(x)?A称为x?x0时的无穷小量x?x0。

（三）计算题 ⒈设函数

?ex,f(x)???x,求：f(?2),f(0),f(1)． 解：fx?0x?0

??2???2，f?0??0，f?1??e1?e

2x?1x的定义域．

⒉求函数y?lg?2x?1??x?0??2x?11?解：y?lg有意义，要求?解得?x?或x?0

x2??x?0???x?0? 则定义域为?x|x?0或x???1?? 2?⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．

解： D A R O h E

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R

2

直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE?OA?OE?222R?h

222则上底＝2AE?2故S?⒋求limR?h 22h?2?2R?2R?h．

??h?R?R?h22?

sin3xsin2xx?0sin3x解：limsin3xsin2x2x?0?limx?03xsin2x2x?3x?lim?2xx?0sin3x3x?3＝1?3?3 sin2x21222x⒌求limx?1sin(x?1)x?1sin(x?1)2．

x??1解：limx??1?lim(x?1)(x?1)sin(x?1)x??1?limx?1sin(x?1)x?1x??1??1?11??2

⒍求limtan3xxtan3xx．

x?0解：limx?0?lim2sin3xxx?01sin3x11??lim??3?1??3?3

x?0cos3x3xcos3x1⒎求lim1?x?1x?0sinx2．

解：lim1?x?1sinxx?0?lim(1?x?1)(1?x?1)(1?x?1)sinxx?0222x?0?limx22x?0(1?x?1)sinx

?limx?0(sinx1?x?1)x2?1?1??1 ?0⒏求lim(x??x?1x?3)．

x解：lim(x??x?1x?31?)?lim(x??x1x)x?limx??3x1?]?x?limxx??x133(1?)[(1?)]xxx33(1?1)x[(1?1)?x?1?e?13e?e?4

⒐求limx?6x?8x?5x?422．

x?4解：limx?6x?8x?5x?422x?4?lim?x?4??x?2?x?4?x?4??x?1??limx?2x?1x?4?4?24?1?23

⒑设函数

3

?(x?2)2,x?1?f(x)??x,?1?x?1

?x?1,x??1?讨论f(x)的连续性。

解：分别对分段点x??1,x?1处讨论连续性 （1）

x??1?limf?x??limx??1x??1?x??1?x??1?limf?x??lim?x?1???1?1?0

所以limfx??1??x??x??1?limf?x?，即f?x?在x??1处不连续

（2）

x?1?limf?x??lim?x?2???1?2??1x?1?22limf?x??limx?1x?1?x?1?

f?1??1所以limfx?1??x??limf?x??f?1?即f?x?在x?1处连续

x?1?由（1）（2）得f

?x?在除点x??1外均连续

高等数学基础作业2答案：

第3章 导数与微分

（一）单项选择题 ⒈设f(0)?0且极限limf(x)xx?0存在，则limf(x)x?（C）．

x?0 A. f(0) B. f?(0) C. f?(x) D. 0cvx

⒉设f(x)在x0可导，则limf(x0?2h)?f(x0)2hh?0?（D）．

A. ?2f?(x0) B. f?(x0) C. 2f?(x0) D. ?f?(x0) ⒊设f(x)?e，则limxf(1??x)?f(1)?x12e D.

14e

?x?0?（A）．

A. e B. 2e C.

⒋设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)，则f?(0)?（D）．

4

A. 99 B. ?99 C. 99! D. ?99! ⒌下列结论中正确的是（C）．

A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导． B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导． C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限． D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续． （二）填空题

1?2xsin,x?0? ⒈设函数f(x)??，则f?(0)? 0 ． x?0,x?0? ⒉设f(e)?ex2x?5e，则

xdf(lnx)dx?2lnxx?5x。

⒊曲线f(x)?x?1在(1,2)处的切线斜率是k?12。

⒋曲线f(x)?sinx在(π2,1)处的切线方程是y?1。

2x ⒌设y?x2x，则y??2x(1?lnx)

⒍设y?xlnx，则y???1x。

（三）计算题

⒈求下列函数的导数y?： ⑴y?(xx?3)e

x 解:

y??xx?3e?xx?3?ex2?????? ?(xx?32?3)e?x321x2e

x⑵y?cotx?xlnx 解：y???cotx??x ⑶y?????ln2x?x2?lnx????csc2x?x?2xlnx

x2lnx

解：

y???x??ln2x?xln22?lnx??x?2xlnx?xln2x

5

⑷

y?cosx?2x3x

解：

y???cosx?2x??x3??cosx?232x?x?2??x?? ?3x(?sinx?2ln2)?3(cosx?2)x4xx

⑸y?lnx?xsinx

解：

y??4?lnx?x2??sinx??lnx?xsin22??sinx???sinx(1x?2x)?(lnx?x)cosxsin22xx

⑹y?x?sinxlnx

解：y??x?????sinx??ln4sinx?3?cosxlnx x?sinx?lnx??4x?x⑺y?sinx?x3x2

解：

y??x?sinx?x2??3x??sinx?xx22??3??x?3??3(cosx?2x)?(sinx?x)3ln332xx2x

⑻y?etanx?lnx

解：y???ex??tanx?ex?tanx????lnx???etanx?xecosx2x?1x

⒉求下列函数的导数

xy?：

⑴

y?e

解：

y??e????e??xx?12x?12?12xex

⑵y?lncosx

解：y??1cosxx7??sinx???sinxcos??tanx

⑶y?xx

?解：y???x8??

??178???x ?8?6

⑷y?sin2x

?解：y??2sinx?sinx??2sinx?cosx?2sin2x ⑸y?sinx

2解：

y??cosx?2x?2xcosx

x22⑹

y?cose与13年的题目不一样13年的题y?cosex

解：

y???sinenx2?e???2xex2?x2sinex2？

⑺y?sinxcosnx

n解：y??sin⑻

??x?cosnx?sin

n?x?cosnx??nsinn?1xcosxcosnx?nsinnxsin(nx)

y?5sinx解：y??5sinxln5?cosx?ln5cosx5

sinx

⑼

y?ecosx解：

y??ecosx??sinx???sinxecosx

⒊在下列方程中，y?y(x)是由方程确定的函数，求y?： ⑴ycosx?e2y

2y解：y?cosx?ysinx?2e⑵y?cosylnx

y? y??ysinxcosx?2e2y

解：y??siny.y?lnx?cosy.1x y??cosyx(1?sinylnx)

⑶2xsiny?x2y

解：2xcosy.y??2siny?2yx?xy?y22 y?(2xcosy?xy22)?2yxy2?2siny y??2xy?2ysiny2xycosy?x22

⑷y?x?lny

7

解：y??y?yy?1 y??yy?1

⑸lnx?e2?y

解：

1x2?ey??2yy? y??y1x(2y?e)y

⑹y?1?esiny

esiny2y?ecosyxxx解：2yy??ecosy.y??siny.e y??xx

⑺ey?e?y

x3解：ey??eyx?3yy? y??2eexy?3y

2⑻y?5x?2

y解：y??5ln5?y?2ln2 y??xy5ln51?2ln2yx

⒋求下列函数的微分dy：（注：dy⑴y?cotx?cscx 解：y???csc⑵y?2?y?dx）

x?cscxcotx dy?(?1cosx2?cosxsinx2)dx

lnxsinx

1解：

y??xsinx?lnxcosxsin21

xdy?xsinx?lnxcosxsin2xdx

⑶y?sin解：

2x

y??2sinxcosx dy?2sinxcosxdx

x⑹y?tane 解：y??sec2e?e dy?secexx2x3?edx?exx3secedx

2x⒌求下列函数的二阶导数： ⑴

y?x 解：y??12x?121??1?? y???????x2??x2

2?2?4133 8

⑵y?3

解：y??3ln3 y???ln3?3?ln3?ln⑶

xx2x3?3

xy?lnx

解： ⑷

y??1x y????1x2

y?xsinx

y??sinx?xcosx y???cosx?cosx?x??sinx??2cosx?xsinx

解：

（四）证明题

设f(x)是可导的奇函数，试证f?(x)是偶函数． 证：因为f(x)是奇函数 所以f(?x)??f(x)

两边导数得：f?(?x)(?1)??f?(x)?f?(?x)?f(x) 所以f?(x)是偶函数。 高等数学基础形考作业3答案：

第4章 导数的应用

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在??(a,b)，使得f?(?)? A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导

C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]内连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)?x2f(b)?f(a)b?a．

?4x?1的单调增加区间是（D ）．

A. (??,2) B. (?1,1) C. (2,??) D. (?2,??) ⒊函数y?x2?4x?5在区间(?6,6)内满足（A ）．

A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

⒋函数f(x)满足f?(x)?0的点，一定是f(x)的（C ）． A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点

9

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0?(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值． A. f?(x0)?0,f??(x0)?0 B. f?(x0)?0,f??(x0)?0 C. f?(x0)?0,f??(x0)?0 D. f?(x0)?0,f??(x0)?0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 （二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0?(a,b)，且当x?x0时f?(x)?0，当x?x0时f?(x)?0，则x0是f(x)的 极小值 点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f?(x0)? 0 ． ⒊函数y?ln(1?x)的单调减少区间是(??,0)． ⒋函数f(x)?ex22的单调增加区间是(0,??)

⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f?(x)?0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)?2?5x?3x的拐点是?0,2?

3（三）计算题

⒈求函数y?(x?1)(x?5)的单调区间和极值． 解：令

2y???x?5??(x?1)?2?(x?5)?3(x?5)(x?1)

2?驻点x?1,x?5

列表： 极大值：

X (??,1) + 上升 1 0 极大值32 (1,5) — 下降 5 0 极小值0 (5,??) + 上升 y? f(1)?32

y 极小值：f(5)?0

⒉求函数y?x?2x?3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：令：y??2x?2?02?x?1(驻点），列表：

1 0 极大值2 （1,3） — 下降 + x y? y （0,1） 上升 10

y?x2?2x?3??x?1?2?2

f(0)?3f(3)?6f(1)?2

?极值点：f?1??2

?最大值f(3)?6 ?最小值f(1)?2

3.求曲线y2?2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：设p(x,y)是y2?2x上的点，d为p到A点的距离，则：

d?(x?2)2?y2?(x?2)2?2x

令d??2(x?2)?2x?1x?1?y??2

2(x?2)2??2x(x?2)2?0??2x?y2?2x上点(1,2)或?1，-2?到点A(2,0)的距离最短。。

4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h??(L2?h2)h

令：V???[h(?2h)?L2?h2]??[L2?3h2]?0?L?3hR?223L?当h?33,R?3L时其体积最大。

5.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：设园柱体半径为R，高为h，则体积V??R2h SV表面积?2?Rh?2?R2?2R?2?R2

令：S???2VR?2?4?R?0?V34V2??R3?R?3V2? h??

答：当R?3V2? h?34V?时表面积最大。

6.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底长为x，高为h。则：

62.5?x2h?h?62.5x2

11

h?33L 侧面积为：S?x令S??2x?2?4xh?x??02250x3

250x2?x?125?x?5

答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 （四）证明题

⒈当x?0时，证明不等式x?ln(1?x)． 证：在区间1,1?x上对函数??f?x??lnx应用拉格朗日定理，有

ln?1?x??ln1?11?x

其中1???1?x,故??1，于是由上式可得x?ln(1?x)

⒉当x?0时，证明不等式e证：设f(x)?exx?x?1．

?(x?1)

xf?(x)?e?1?0(当x?0时）?当x?0时,f(x)单调上升且f(0)?0

?f(x)?0,即e?(x?1)

高等数学基础形考作业4答案：

第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用

（一）单项选择题 ⒈若f(x)的一个原函数是 A. lnx B. ?C.

⒉下列等式成立的是（D）． A

x1x12，则f?(x)?（D）．

1x D.

x23x

?f?(x)dx?f(x) B.

?df(x)?ddxf(x)C.

d?f(x)dx?f(x) D.

⒊若f(x)?cosx，则

?f(x)dx?f(x)

?f?(x)dx?（B）．

A. sinx?c B. cosx?c C. ?sinx?c D. ?cosx?c

12

⒋

?xdx13d2f(x)dx?（B）．

233 A. f(x) B. xf(x) C.

3f(x) D.

13f(x)

3⒌若

?f(x)dx?F(x)?c，则?1xf(x)dx?（B）．

A. F(x)?c B. 2F(x)?c

C. F(2x)?c D.

1xF(x)?c

⒍下列无穷限积分收敛的是（D）．

A.

???1x1dx B. 1x???0edx 1x2xC.

???1dx D.

???1dx

（二）填空题

⒈函数f(x)的不定积分是

?f(x)dx。

⒉若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)?G(x)?c(常数）。 ⒊de?x2dx?ex2。

⒋

?(tanx)?dx?tanx?c。

⒌若

?3f(x)dx?cos3x?c，则f?(x)??9cos(3x)。 (sin5⒍

??3x?12)dx?3 1xp⒎若无穷积分（三）计算题

???1dx收敛，则p?0。

cos⒈

1x2??exdx???cosx111d()??sin?c xxxx?2exx⒉

x1dx?2?edx?d?c

⒊

?xlnx?ln1xd(lnx)?ln(lnx)?c

13

⒋

?xsin2xdx???e12e?xd?cos2x???12xcos2x?1212?cos2xdx??e112xcos2x?14sin2x?c

⒌

3?lnxx1dx??121(3?lnx)d(3?lnx)?(3?lnx)?72

⒍

??10xe?2xdx??1e?2x1x0?1?2x10e?2xdx??112ee?2?14e2e?2x1??034ee?2?14

⒎

exlnxdx??e2lnxdx2e?lnx??1?12xdx???e?121??e? 121212122??21??4ee⒏

?lnxdx??1lnx?e1dx??11ex2x1?1x2e?x??211e?1

（四）证明题

⒈证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为奇函数，则?a)d

?af(xx?0．证:

令x??t?a?a?af(x)dx???af(?t)dt??a?af(?t)dt??a?af(t)dt

??a?af(x)dx???a?af(x)dx??a?af(x)dx?0 证毕

⒉证明：若f(x)在[?a,a]上可积并为偶函数，则

?a?af(x)dx?2?af(x)dx．

0a)dx??0a证：

??af(x?af(x)dx??0f(x)dx

令x??t,则?00a?af(x)dx???af(?t)dt??0f(t)dt?f(x)是偶函数

?a0x)dx??aa?af(x)dx???af(0f(x)dx??0f(x)dx??a0f(x)dx?2?a0f(x)dx

14

4证毕

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1196.html