热学(秦允豪编)习题解答第四章 热力学第一定律

普通物理学教程《热学》（秦允豪编）

习题解答

第四章 热力学第一定律

4.2.1 解：

W

V2V1

PdV

T C

P

RTv b

（1）P v b RT

vf

vf b

W dv ln v b viv b

i

BB

P RT 1 Pv RT 1

vv （2）

RT

W

vf

vi

1vfB 1 RT 1 dv RTln BRT v vivi vf

4.2.2 应用（4.3）式

W

V2

V1

PdV

且PV

PiVi k

vf

P PiViV

W

VfVi

dV PiVi

PiViV

11

V

1

vi

故有：

1

11

PiViVf

1

Vi

1

（应用了

PiVi PfVf

1

PV

f

f

PiVi

）

4.4.2 （1）

P

RTv b

av

2

dv

W Pdv

RTv b

v

a

2

dv

V2 b 11

a RTln V b VV1 12

（2）

u cT

av

2

dQ du

C V d

dTdt V V 当V C时，

Q

∴CV C

T2

T1

CdT C T

4.4.3 水蒸气的凝结热即为定压状况下单位质量物质相变时吸收（或释放）的热量，在等压下此值即为比焓变化，即：

lV H

m

h 2545.0 100.59 2444.4kJ

（系统放热）

4.4.4 铜升温过程，是等压过程

H QP

T2

T1

CPdT

2

T2

T1

1

a bT dT aT bT

2

2

T1

T2

a T2 T1

4

b2

T

22

T1

12

5.92 1200

2.3 10 1200 300 2.47107J mol

1

2

300

2

4.4.5

QP hNH3

12

hN2

3

3 1

hH2 29154 8669 8468 46190.5J mol22 2

1molO

1

4.4.6 在定压情况下，1molH

5

2

和2

1

2

化合生成1mol水时吸收的热量为

Q H 2.858 10J mol

（系统放热Q' Q）

每产生一个水分子有两个电子自阴极到阳极，生成1mol水有2NA电子到阳极。总电量为

q 2 1.60 10

19

6.02 10

23

C （q 2NAe）

23

两极间电压为 ，A q

AQ'

1.229 2 1.60 10

19

6.02 10

5

2.858 10

82.84%

4.4.7 设1mol固体状态方程为：v v0 aT bP，内能表示为：u CT aPT，

a,b,C,v0均为常数。

求：（1） mol h （2）molC

P

,CV

解：（1）由摩尔焓定义h u Pv CT aPT P v0 aT bP

h CT Pv0 bP H h h CP' C' C PP

T T T P P P （2） a）

2

∴

CP

T

CT

Pv0 bP

2

P C

u

CV

T V b）

P

1b

v v0

aT

u CT

ab

v v0

aT T

abv0

2ab

2

CV

a u

C

b T V

a T

v v0 aT

C

a

2

ab

v T

（或）

C

ab

a T bP C

b

T aP

4.4.8 因缓慢加热，可认为气体吸热膨胀是一个等压过程，质量为m的气体吸热

dQ mCPdT （1）

PV

m

由

Q

RT

，

R

CP

m

T2

PV

RT

（2） PV

R

5

PV

∴

dTT

T1

CPln

T

2

T1

3

29 10

3

1.01 10 18.31

4.5.1 （1）导热板固定，A中气体为等容加热；B中气体为定压膨胀，且为准静态的，搁板导热， TA TB T

Q CP TB CV TA CP CV T

QQQ334.4

T 6.71K

75CP CV6R6 8.31R R22 55

QA CV T R T 8.31 6.71 139.4J

22

QB Q QA 334.4 139.4 195J

0.99 10ln

293273

24.7 10J

3

（2）隔板活动，A气体等压膨胀；隔板绝热，B中气体温度不变。 QB 0 TB 0 QA Q CP T

Q2Q2 334.4

T 11.50K

CP7R7 8.31

gh 1

P P0 dp dz 1 CT P0 RT4.5.2 利用，证明：

g

证明：（1）由绝热过程方程T

P

1

C

P 1

T T0 P 0 （1）

（2）将（1）代入dP表达中

dP P

RT0 P

g P0 1

dZP

1

dPP

g

RT0

P

P0 1dz

→ →

P

1

P0

P

dP

g

RT0

P0

1

h

dz

1 1 P 1 1 1

→

P0

g

RT0

1

P0

h

→

1

P 1

1

P 1 1 gh g 1

P0 P0 h 1 P0 RT0

RT 0 → （2）

（3）注意到

CP

1

1

R

，即： 1

CP

R （3）

P

P

（3）代入（2） 0

1

gh

CPT0

gh 1

P P0 1 CT P0

CT

h P0 1

g

DIS：将（2）式整理，代（3）进可得

V

a0

P膨胀，证明

2

1

P P 0

4.5.3 理想气体按

V

a0

C CV

a0

2

TV。

证明：（1）将（2）

P整理得： PV

a0 多方指数n 2

2

Q u A CV T

1n 1

P2V2 P1V1 CV T P2V2 P1V1

CV T

M

M

R T C R V T

C

Q T

（3）

CV

M

R CV

PVT

CV

PVTV

2

CV

a0

2

TV

NOT：

CV

M

CV

CV为热容量，CV为摩尔热容量。

C

RT

PVM

P

（4.67）

RT

u

1

CVT u0

1RT

u0

4.5.4 注意到

1

（1）

1C

2

u0

u

∴

h

1

CPT H0

Const

1

RT

1 R

（2）

1

T H0

1

H0

h

∴

Const 1

1

C

2

P2

TP4.5.5 （1）右则初态 P0V0T0 、终态 P2V2T2 ，由绝热过程方程0 0

T2

（1）

A u右

1

P2 CV T2 T0 CVT0 1 P 0

11

32727

T0CV 1 CVT0 1 CVT0 RT0

8 8 2 R

CV 2R

1（ 1.5）

1

2 27 3

T2 T0 T0

3 8 （2）由（1）式：

（3）左侧初态亦为 P0T0V0 ，终态为 P1V1T1 ∵ 活塞可移动，

P1 P2

278P0

V2

RT2

P2

P0V0T0149

T2P2

P0V0T0

，由PV RT 3T0

42 V0

279

P08

V1 2V0 V2 V0

278

T1

P1V1P0V0

P0

149

V0

T0

T0

214

∴

P0V0

T0

12

（4）由第（1）所求，左侧对右侧作功

Q u右 A CV T1 T0

12

A

CVT0

CVT0

4.5.6 过程很迅速，可认为是绝热的。

V1 V 2 C，T1

T2

1

1919 21 1

CV T1 T0 CVT0 CVT0 RT0

42 4 2

由TV

1

1

，

5

V

1

43

r

3

T1

r2 r1 T

2 3 1 r1 3 10 3 102

3 1.4 1 15 46.4 696m

DIS：该题估算的结果与r的取值相关性太大。 （1）上面的运算取 1.4,r2 696m。

7

CPCV

52R 1.4R

但当

，对应双原子，常温情况，显然与题意不合。

9

2

5

（2）若为双原子，取高温

r1 r2 10

2

R R

97

1.286

2

1 9 3 1

7

3232m

则：

（3）由此，按绝热膨胀模型对“火球”半径的估算无实在意义。

4.5.7 该题描述测 方法是1929年Riichhardt设计的，简易描述为如图。令平衡位置y 0，y向下为正。

（1）y 0处，活塞受合力为零。

P0A mg PA 0

PA P0A mg （1）

活塞偏离y 0处，受合力不为零，当活塞运动至y 0之下时，气体被压缩（可认为绝热的），气体压力变为P1A，且P1 P

V yA V，故 V dV， P可记为dP

有：P1 P dP，活塞受合力

F P0A mg P1A PA P dP A AdP

负号表合力方向与y反向，指向平衡位置y 0。

气缸内气体变化过程可视为绝热过程，满足PV微分得： PV

1

C。

dV VdP 0 PdV VdP 0

dP

2

P

V

因dV Ay，上式化为：因此得：

F AdP

dV

A PV

y

PAV

y

（2）

（2）式满足F ky，（准弹性力）活塞作简谐振动。 （2）活塞活动的微分方程为： mdydt

22

F ky

2

mV

km

2

T

2

2

mk

PA

（3）

2

APT（3）将（3）式改写为：

4 mV

2

2

4 mV0

P0A

2

22

4.5.8 （1）如图，水银总长度为h，y 0处两边水银等高，为平衡位置。总质量为m，截面为A。 水银密度

mAh

左管水银柱下y，则高差为2y， V 2yA 压强差为P g2y 指向y 0处的回复力

F PA gA 2y

mAh

2

gA 2y

2mgh

y ky

F是准弹性力，水银柱将作谐振动 水银柱运动的微分方程为

mdydt

2

F ky

1

km，

T1

2

2

mk

2

h2g

DIS：考虑水银柱与地球系统的机械能守恒，得运动方程亦可求解。

中图为振动初态，全部水银静止，质量为 m max上升

ymax

，具

a

有

x的

m m

gymax

势能。

右为振动任意状态，全部水银以v

1

运动，具有2

动能，m为全部水银质量， m部分上升y，具有 mgy的势能。 由机械能守恒：

mgy

12mv

2

mv

2

m maxgymax

v

dy

y

S m gS m hS m max ymaxdt

1

2 ymaxSgymax Const ySgy hSy2以上五式得： gy

2

12

hy

2

Const

hy 0 y 2gyy

2g

（2）水银柱振荡时，右端被封闭气柱经历绝热过程，设水银柱平衡时，右端气柱长L，左

h

y

2g

y 0

T1

2

2

h

端水银上升任意位置y时，右端气柱长度为 L y ，由绝热过程： Py L y S P0 LS

其中P0

gh0

L

Py P0 1 P0

L y 对微小振动y L 可改写为

hy yy

Py P0 1 1 P0 1 1 P0 P0 0 gy

L LLL 1

m gy mv2 m maxgymax AP

2由功能关系：

式中AP是由于右端空气压强AP

Py

与左端空气压强P0对水银柱作功之和，且

max

P

y

y

P0 Sdy

或

dAP Py P0 Sdy

将上述功能关系改写为：对t求导，将dAP代入：

ySgy

12

hSy

2

ymaxSgy AP

Shy 2 Sgyyy

dAPdt

Py P0 Syh0L

P

把

y

P0

结果代入：

Py P0 2 gy h y

y

gy

或

上式为右端封闭后，绝热条件下，水银柱作微小振动的运动方程，故水银柱作谐振动，

2 h

hT 2 1 202

g h0g 2g 2g h L L

h2

T1 h02g 1 T h2L 2 h 0g

2gL（3）由T1和T2得：

h0 1

g y 0 2g

h L

2L T1

h0 T 2

2

1

4.5.9 （1）氮为双原子气体即：

Cn CV

Rn 1

2R

CV

5

52

R

，经历了多方过程Cn 2R

Rn 1

3

2

n

R 2R

R

2

R

n 1 n 3

故该过程满足的方程为PV C PV C

3

P

P0（2）由过程方程：P30V0

P 4V0

64PV0

64

A PdV C

dVV

3

1

2P3

110V0

16V2

0V2

0

1

2 15

PV 15 8.31 16 0032273.15 1064J （负号表对外作功）

u

M

CV T

52

R P2V2 P1V1

5 P02 4VP

640 0V0

5 P0V02

P

515P5 15 160V0 32 0V0 32RT0 5 1532 8.31 273.15 5320J

（内能减少）

Q

M

CnT

M

2R T2 T1 2 P2V2 P1V1

2 P0V0 PV

1515 1600 RT 80 8 8.31 273.15 4256J

（系统放热）

DIS： u Q A 4256 1064 5320J故不必每一个量都求解。

Pn

1

V2

4.5.10 （1） PVn

C

P 2 V1

ln P1 n P ln 0.1020.05

1.19 1 ln V2 ..2ln4 2.3 1

（2 u

M

M5

CVT

2

R T2 T1

52

P2V2 P1V1

5

4.1 10 3

0.5 10

5

2.3 10 3

5

2

1.0 10

52

2.05 10

2

2.3 10

2

62.5J（内能降低）

Q

M

T

CR5R

（3）

Cn 其中：

n CV

n 1

2

R

1.2 1

52

R

M 5R T5

2 T1 P2V2 P1V1 62.5J 2 2

（4） u Q A

A u Q 62.5 62.5 125J

4.5.11 一定量理想气体，经历P a bV（a、b为常数）的过程方程，求C。 解：（1）P a bV dP bdV （1） 对一mol气体：PV RT PdV VdP RdT （2）

）

Vd由（2）式代入（1）：P VbdRdT

RTd

P bV dV RdT

或

PdV

RPdTP Vb

dV

P Vb

RPdT

2P a （3）

RPdT2P a bV bV

（2）由热力学第一定律微分表达式du dQ dA

对一mol气体：CVdT CndT PdV （dQ CndT为多方过程） 将（3）式代入：

故：

CndT CVdT PdV CV

RP

2P a （4）

RP2P a

dT

Cn CV

（3）由（4）式：Cn CV f P 该过程热容量不是常数。

4.5.12 理想气体mol热容为

Cm C0

a

T，求准静态过程方程。

解：由热力学第一定律微分表达式du dQ dA

PdV CmdT CVdT PdV CV Cm dT （1） 由PV RT

dVV

P

RTV

Cm C0

a

T 代入（1）

CV C0

T

a

TdT CV C0dT adT

2

TT （2）

aT

R C0

R C0

aT

R

（2）两边积分

lnV

R

RlnV CV C0 lnT

CV

C0

lnT

aT

aT T

CV

C0

ln

R

VT

CV

aT T

V

CV

e

即：e

V

Const

4.6.1 （1）如图一，等温线T1与绝热线交于a Pa,Va 。 P P

V 由PV C PdV VdP 0 V T

P P 0 VV SV由PV C P

将上述两式代入a的参数，依题意：

dP

dV

Pa

aa

Pa

0.714

10.714

1.4

∴

CV

R

1

R0.4

52

R

（2）将P T图转化为P V图（二） 该循环过程的功A A12 A23 A34

A12 0

A23 2P1 V1 V2 RT1 2RT1 RT1

V2P1

A34 RT1ln2 RT1ln RT1ln2

V1P1

A RT1 RT1ln2 RT1 1 ln2 0 （该循环为正，循环

对外，系统作净功） （3）Q1 Q31 Q12

Q31 RT1ln

V2V1

RT1ln2

52RT1

Q12 CV 2T1 T1

2 1 ln2 5 2ln2

AQ1

RT1 1 ln2 RT1ln2

2

52

RT1

5

3

4.6.2 （1）A R 3.14 1 10 10（2）

32

314J（ 0系统对外作功） 32

2 10 3 10

5

3

u CV TC TA 3 PCVC PaVa

5

3

2 10 1 10

5 3

4 10 10 600J

（3）QABC uAC AABC

AABC

12

R SAC31 157 3 1 10

2

3

2 10

5

557J

QABC 600 557 1157J

（4）循环过程为P V图上的园，过程方程为：

P V 1 2 2 P V 0 0

22

其中P0 5N m

V

2

,V0 10

3

m（为标度），若改变P、

2

3

轴标度，循环过程为椭园，其过程为：

P 2P0 2

2

PV

吸热和放热的转折点是绝热曲线与循环曲线的切点，如图。

dP

dP

dVdV 循环 绝热 交（切）点处斜率应满足：

V

2V0

2

1

dy dy

dx 循dx 绝 22

y 2 x 2 1 循环曲线

yx Const 绝热曲线 VP

x y

V0 P0 则： 令：

5

x 2

yx

CPCV

2

32

R R

53

由此得：y 2

转折点在循环曲线上，故其坐标 x,y 应满足的二元二次方程组为：

3x x 2 5y y 2 0 22

x 2 y 2 1

该方程组的两个解，即为两转折点M、N的坐标。

P

P0V

20

V

2

PV

2

P0V

20

Const

4.6.3 c a过程方程

可改写为

9P0

Tb

故c a过程为多方过程，其多方指数n 2。 （1）Qa b CV Tb Ta 且P0∴

Qa b

32

R 9T0 T0 12RT0

Ta Tb 9Ta

2

Qb c CP Tc Tb 且PV

T0

2 3

RT P

P C

2

C

P0

Tc

2 3

9P0

Tc 27T0

Qb c

52

R 27T0 9T0 45RT0

Qa c Cn Ta Tc Cn CV

R

3R

R

11

R

n 12 36 11

Q c a R T0 27T0 47.7RT0

6

1 （2）

Q2Q1

1

Qc a

Qa b Qb c

1

47.7RT012RT0 45RT0

1

47.757

16.3%

4.6.4 解：（1）由图可知，两个循环绝热线相同，则：

Q2 Q2

'

Q2

Q2 RT2ln

'

V3V4

1234

AQ1A'

'1

AA Q2

A'

'2

1 1

T2T1 T2T1

3

QA' Q12'3'4 '

Q Q2，由上两式得： 注意到2

'

'

T1 T1 T2

'

A'A

'

T2 373 273 1

273473

42.3%

1.6 10800

273 473K

' 1 （2）

T2T1

4.7.1 解：设锅炉、地下水、暖水系统温度分别为T1、T2、T3，如图为热机Ⅰ和制冷机

Ⅱ组合而成的动力暖气装置示意图。

T1 273 210 483K T2 273 15 288K

T3 273 60 333K

热机的效率

AQ1

1

T3

T3

Q1A 1 TT1 1

T2

Q2

T2T3 T2

A

AT3 T2 制冷机的制冷系数

则暖气系统所得的热量为：

Q Q3 Q4 Q1 A A Q2 Q1 Q2

Q2

T3 Q1 Q1 A Q1 1 T3 T2T3 T2 T1

T T2

1 3 Q1 1

T3 T2 T1

T T2 288333

1 3 H 1 H 1 1 T3 T2 T1 333 288 483

288150

H 1 H 1 1.986 3H45483

QT2

2

AT1 T2 4.7.2 （1）（其中A P）

（2）如图所示，夏天空调制冷时为逆向卡诺循环，无论连续工作还是间断工作，其作功

T2

T2

装置提供的平均功率统记为P，显然连续工作时P P0极大，间断工作时应大个折扣。 则：Q1 Q2 P

Q1

空调的循环是可逆卡诺循环 T1

Q2

T2T1 T2

P

Q2T2

由此可得：

dQ'

因dt，（单位时间室外向室内通过热传导传输热量） 为保持室内恒温，室内应处于热平衡，故应有：

Q

dQdt

Q2

D T1 T2

D T1 T2

T2T1 T2

P

或

PDT2

T1 T2

（1）

P 22

T2 2T1 T2 T1 0

D 整理该代数为方程：

2T1

PD

解此方程，舍去T2 T1的解：

P

T2 T1

2 D

P

1

T2

P 2

2T1 4T1

D 2

2

2

P P

4T1

D D

DIS：因连续工作上式中

P0 max

（3）题意T1 293K,P 0.3P0,T1 303K时，所求的是P P0对应的T1值Tmax。把（1）式分别用于上述情况： T1 T2

PDT2 P0D

a

3

0.3P0

D

T2

（2）

Tmax T2

Tmax T2

T2

tmax 38.26 C

（4）冬天，空调为热机，作正循环。

Q1

Q2 Q1 P0 且T1

'

'

T1 T2 311.26K

'

Q2T2

'

Q2

'

T2T2 T1

'

P0

Q'

dQdt

DT2 T1

单位时间从室内向室外通过热传导传输的热量为：室内亦应热平衡：Q' Q2

T2 T1

'

'

'

'

P0D

同理，

T2

T1 T2

'

P0D

T2

将（2）代入：T1 T2 Tmax T2 2T2 Tmax

2 293 311.26 274.74K t' 1.74 C

4.7.3 （1）依题意，系统作正循环，与上题同法

Q1

T T T0Q2 Q1 W T0

Q' T T0 且Q' Q2 （3）

Q2

Q2

T0

W

Te T0

T0Te T0

W

Te T0

W

T0

1W

Te T0

2 取Te T0的解，

Te T0

W

1 2

4

2

4W W

T0

或

T0 W （4）

'

（2）由（3）式 Te T0 W （Not W即为P，题误）

'

∴

Te T0

W

显然（5）式方法比较经济。

（5）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/1111.html