吉林省舒兰市第一高级中学2022届高三第二次月考数学(理)试卷Word

2018届高三年级第二次月考

数 学 试 卷（理）

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合}0,2|{<==x y y M x ，}{x

y x N -==1|，则“M x ∈”是“N x ∈”的 A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．已知R c b a ∈,,，命题“若3=++c b a ，则3222≥++c b a ”的否命题是

A ．若3≠++c b a ，则3222≥++c b a

B ．若3=++c b a ，则3222<++c b a

C ．若3≠++c b a ，则3222<++c b a

D ．若3222≥++c b a ，则3=++c b a 3．已知342=a ，3

15225,4==c b ，则

A ．c a b <<

B ．c b a <<

C ．a c b <<

D ．b a c << 4．若53sin -=α，α是第三象限角，则=+)4

sin(πα A ．102 B ．1027 C ．102- D ．10

27- 5．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象与直线y ＝2相交，相邻的两个交点距离为2

π， 则)6

(πf 的值是 A ．3- B ．3

3 C ．1 D ．3 6．设函数)(x f 的导函数为)('x f ，若)(x f 为偶函数，且在（0,1）上存在极大值， 则)('x f 的图象可能为

A ．

B ．

C ．

D ．

7．函数a x x y --=33在)2,0(上与x 轴有一个交点，则a 的范围为

A ．20<≤a

B ．a <0<2或2-=a

C ．2-=a

D ．20<≤a 或2-=a

8．若α∈[0,2π)，则满足1＋sin2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是

A ．????0，π2

B ．[]0，π

C ．????0，3π4

D ．????0，3π4∪???

?7π4，2π 9．设函数1log 2-=x y 与22x y -=的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,3)

D ．(3,4)

10．已知f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在区间

[－1，3]上的解集为

A ．(1，3)

B ．(－1，1)

C ．(－1，0)∪(1，3)

D ．(－1，0)∪(0，1)

11．??

???>-≤-=2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是 A ．??? ??-∞-21, B ．??? ??-∞-45, C ．??????+∞-,45 D ．?????

?--21,45 12．设过曲线f (x )＝－e x －x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在过曲线g (x )

＝ax ＋2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为

A ．－1≤a <2

B ．－1≤a ≤2

C ．a ≤2

D ．1≤a ≤2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．函数f (x )＝cos 2x ＋sinx 的最小值为________．

14．函数f (x )＝?????

x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．

15．若41)3sin(=-απ，则)23

cos(απ+＝________. 16. 已知函数))((R x x f y ∈= 有下列4个命题：

①若)21()21(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线1=x 对称；

②)2(-=x f y 与)2(x f y -=的图象关于直线2=x 对称；

③若)(x f 为偶函数，且)()2(x f x f -=+，则)(x f 的图象关于直线x =2对称； ④若)(x f 为奇函数，且)2()(--=x f x f ，则)(x f 的图象关于(1,0)点对称

其中正确的命题为________

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．(本小题满分12分)

已知函数)6

31sin(2)(π-=x x f （1）求)(x f y =的单调递减区间；

（2）设α、??????∈20πβ，，1310

)23(=+παf ，56)3(-=-πβf ，求)cos(βα+的值.

18．(本小题满分12分）

已知幂函数)1)(2(2)1()(k k x k k x f +-?-+=在),0(+∞上单调递增. （1）求实数k 的值，并写出相应的函数)(x f 的解析式；

（2）对于（1）中的函数)(x f ，试判断是否存在正数m ，使得函数x m x mf x g )12()(1)(-+-=在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m 的值; 若不存在, 请说明理由.

19．(本小题满分12分）

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝π2

，AC ＝3，BC ＝2， P 是△ABC 内的一点．

(1)若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长；

(2)若∠BPC ＝

2π3，设∠PCB ＝θ，求△PBC 的面积S (θ)的解析式，并求S (θ)的最大值．

20．(本小题满分12分） 已知函数x x x f ln 2

1)(2+=. （1）求)(x f y =在[]e ,1上的最大值和最小值；

（2）求证：当),1(+∞∈x 时，函数)(x f y =的图像在函数332)(x x g =图像下方。

21．(本小题满分12分）

已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－ax x ＋1

－x ，a ∈R. (1)当a >0时，求函数f (x )的单调区间；

(2)若存在x >0，使f (x )＋x ＋1<－x x ＋1

(a ∈Z)成立，求a 的最小值．

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为??

?=+=α

αα

αcos sin 2cos sin y x (α为参数)，若以直角坐标

系中的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为

t 2

2

)4

sin(=+πθρ(t 为参数)．

(1)求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； (2)若曲线N 与曲线M 有公共点，求t 的取值范围． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |<1， (1)解不等式5|)(|>x f ； (2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．

2018届高三第二次月考数学(理科)参考答案

二、填空题：(每小题5分，共20分)

13．-2 14. 21-e 15. 8

7

- 16. ①②③

三、解答题：

17.（本小题满分12分）

解：（1）由Z k k x k ∈+≤-≤

+

,2

3

263122ππππ

π 得函数的单调递减区间为：Z k k k ∈++],56,26[ππππ

（2）由135cos 1310)23(==+απα得：f 5

3

cos 56)3(=-=-βπβ得：f

则：65

33

)cos(-=+βα

18. （本小题满分12分）

解：(1)∵?

??>+-=-+0)1)(2(112k k k k

∴k =1 ∴2)(x x f =

(2)m

m m m x 21

2)(212-=

---=轴

①12110<-

1>m 5)(4)12(1)(4)211(2=---?-=-m m m m g ∴2625±=

m 又212625<-=m (舍) ②2

10211≤≤-m m 即 ，51)0(≠=g ∴2

625+=

m 19. （本小题满分12分） 解 (1)解法一：∵P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC ＝2，

∴∠PCB ＝π4

，PC ＝2， 又∵∠ACB ＝π2，∴∠ACP ＝π4

， 在△PAC 中，由余弦定理得PA 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos π4

＝5， ∴PA ＝ 5.

解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C (0,0)，B (2,0)，A (0,3)，

∵△PBC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝π2

， ∴∠ACP ＝π4，∠PBC ＝π4

， ∴直线PC 的方程为y ＝x ，直线PB 的方程为y ＝－x ＋2，

由???

y ＝x y ＝－x ＋2得P (1,1)， ∴PA ＝ 1－0 2＋ 1－3 2＝5，

(2)在△PBC 中，∠BPC ＝2π3

，∠PCB ＝θ， ∴∠PBC ＝π3

－θ， 由正弦定理得2sin 2π3＝PB sin θ＝PC sin ? ??

??π3－θ， ∴PB ＝433sin θ，PC ＝433sin ? ??

??π3－θ， ∴△PBC 的面积S (θ)＝12PB ·PC sin 2π3

＝433sin ? ????π3－θsin θ

＝2sin θcos θ－233sin 2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33 ＝233sin ? ????2θ＋π6－33，θ∈?

????0，π3， ∴当θ＝π6时，△PBC 面积的最大值为33. 20.(1)x x x f ln 2

1)(2+=

∴],1[e x ∈上，)(x f y =单调递增.

∴1=x 时21)1(min =f ,12

1)(2m ax +==e e f e x 时

方法一：

证：),1(,3

2ln 2132+∞∈<+x x x x 令x x x x F ln 2

132)(23--= 0)12)(1(1212)('2232>++-=--=--=x x x x x x x x x x x F

),1(,3

2ln 2132+∞∈<+∴

x x x x 得证. 方法二：

证：),1(,3

2ln 2132+∞∈<+x x x x 令x x x x F ln 2

132)(23--= x

x x x x x x F 1212)('232--=--= 令12)(23--=x x x h 026)('2>-=x x x h

()0)1(1)(=∞+=∴h x h y 上单调递增，，在

∴0)(>x h

),1(,32ln 2132+∞∈<+∴

x x x x 得证. 21. 解 (1)f ′(x )＝－x 2－x －a x ＋1 2，x >－1.

当a ≥14

时，f ′(x )≤0，∴f (x )在(－1，＋∞)上单调递减． 当0

时， 当－1

时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当－1－1－4a 2

时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x >－1＋1－4a 2

时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上，当a ≥14

时，f (x )的单调递减区间为(－1，＋∞)； 当0

??－1，－1－1－4a 2，? ??

??－1＋1－4a 2，＋∞， f (x )的单调递增区间为? ??

??－1－1－4a 2，－1＋1－4a 2. (2)原式等价于ax >(x ＋1)ln (x ＋1)＋2x ＋1，

即存在x >0，使x

x x x a 12)1ln()1(++++>

成立． 设x

x x x x g 12)1ln()1()(++++=，x >0， 则2)1ln(1)('x x x x g +--=，x >0， 设h (x )＝x －1－ln (x ＋1)，x >0，

则h ′(x )＝1－1x ＋1

>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又h (2)<0，h (3)>0，根据零点存在性定理，可知h (x )在(0，＋∞)上有唯一零点，设该零点为x 0，则x 0－1＝ln (x 0＋1)，且x 0∈(2,3)，

∴212)1ln()1()(00

000min +=++++=x x x x x x g 又a >x 0＋2，a ∈Z ，∴a 的最小值为5.

22解 (1)由x ＝cos α＋sin α得x 2＝(cos α＋sin α)2＝cos 2α＋2sin αcos α＋sin 2α，

所以曲线M 可化为y ＝x 2－1，]2,2[-∈x ，

由ρsin ? ????θ＋π4＝22t 得22ρsin θ＋22ρcos θ＝22t ， 所以ρsin θ＋ρcos θ＝t ，所以曲线N 可化为x ＋y ＝t .

(2)若曲线M ，N 有公共点，则当直线N 过点)1,2(,时满足要求，此时t ＝12+，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立??? x ＋y ＝t y ＝x 2－1，得x 2＋x －1－t ＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－5 4.

综上可求得t的取值范围是－5

4

≤t≤1

2+

23(1)

1

-45

22

x x x x

??

<<

?

????＜或＞或

(2)∵|x－a|<1，

∴|f(x)－f(a)|＝|(x2－x-15)－(a2－a-15)|

＝|(x－a)(x＋a－1)|

＝|x－a|·|x＋a－1|<1·|x＋a－1|

＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|<1＋|2a－1|≤1＋|2a|＋1 ＝2(|a|＋1)，

即|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/10vl.html