大学生数学建模竞赛

青海省第一届大学生数学建模大赛

参赛论文

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日期：2013年7月8日

高速公路发展及投资预测

摘要

高速公路被誉为一个国家走向现代化的桥梁，是发展现代交通业的必经之路，而中国在这条路上，刚迈出了非同寻常的一个个令人赞叹的脚印。然而，制约高速公路建设发展的因素主要是GDP，而GDP又与CPI有着明显的制约关系，尤其是通货膨胀的影响尤为严重，所以，我们认为有必要对GDP、CPI 的相关数据进行分析，以便更好的反映高速公路的修建与GDP 等因素的关系，确定相关模型。

首先在收集数据的基础上建立了一元线性回归模型：利用spss对1984到2010年的GDP相关数据和高速公路修建公里数进行数据拟合，得出线性方程并以30年规划为例，预测出未来高速公路具有良好的发展前景；然后用spss中的Compound模型拟合七座以下小型客车的发展趋势并建立复合模型，预测出未来30年小型客车在高速公路上行驶的数量，然后利用经济学中“利润=收入-成本”，假设通货膨胀率为4%，预测出未来30年内的利润比较高，具有良好的投资前景；最后以CPI的变化为分析依据，分别考虑三种不同情况，即在通货膨胀时、通货紧缩时以及正常情况下，分析得出结论：未来30年内高速公路收费标准将会上调。

综合以上结果，我们认为在未来30年内，高速公路的发展和投资呈现稳步上升的趋势，并且高速公路的收费标准将会有所上调。

关键词：spss、高速公路、GDP、CPI、线性回归、compound模型

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一、问题重述

背景：“要致富，先修路”，1984年至2012年，随着中国经济的不断增长，中国高速公路的通车里程已到96000公里，成功超越美国成为世界上规模最大的高速公路系统。正因为高速公路的不断发展，国家投资力度大，导致债务余额高达2.32万亿元，国家通过高速公路收费的手段来偿还债务，更好地让高速公路行业不断发展。 问题描述：

1、考虑未来GDP增长为6%，以30年规划计算，预测未来高速公路发展趋势；

2、以30年投资计算，讨论通货膨胀等对未来高速公路投资收益的影响；

3、 结合1、2问题规划未来高速公路收费策略。

二、问题分析

首先收集1984-2012年GDP总值数据、1984-2012年高速公路行驶车辆数、CPI数据，然后利用spss软件对原始数据进行分析，将表中数据绘成对应的散点图像。

在问题（1）中，观察图像具有线性关系，然后对其进行拟合（如图1所示），拟合度达到0.957，具有很高的拟合度。我们认为GDP总量与公路修建里程呈线性变化（一元线性变化）。选择一元线性回归的模型来解决该问题。

在问题（2）中，通过对车辆数据分析并进行拟合，拟合度达到0.958，我们决定用复合函数模型的方法来解决：先求出到2042年时

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高速公路行驶车辆数量，最后求得未来30年高速公路的投资收益。

在问题（3）中，结合问题（1）（2）的结果，考虑到CPI对收费标准的影响，通过对在通货膨胀时、通货紧缩时以及正常情况下收费标准最小值的分析，估计出未来30年的收费最低标准，得出未来高速公路收费政策的发展趋势。

三、模型假设

1.高速公路的里程长度随着GDP总量的增长而不断增长； 2.随着车辆的增多，高速公路呈现越来越快的发展；

3.在CPI和GDP的共同影响下，未来高速公路里程逐年增长，收费政策有所改变。

四、定义与符号说明

a???????? 因变量估计值 b???????? 回归标准差

Xi???????? 自变量 Yi???????? 因变量

si???????? 平均每天每辆车在高速公路上行驶的公里数

P???????? 利润

Xmin???????? 高速公路收费最低标准

Xmin1????????正常发展情况下高速公路收费最低标准 Xmin2????????通货膨胀时高速公路收费最低标准

3

Xmin3????????通货紧缩时高速公路收费最低标准

XXY2012????????2012年GDP总值 ???????未来30年GDP总值

2012?302012?30???????未来30年高速公路修建总里程

S????????? 未来30年高速公路上的行车数量 t????????? 时间段

五、模型的建立与求解

5.1 一元线性回归模型（逼近理想曲线） 5.1.1基本原理

在线性模型中，变量之间的关系呈线性关系。它可以描述被解释变量有哪些主要的影响因素，对其进行分析，然后采取相应对策，给出建议，使之更好发展。

一元线性回归模型

a=y-bx

??b??xyii?1ni?nxy?nx2???

?x2iYi=a+bXi +? （ i=1,2,3，?，n）

Yi为被解释变量，Xi为解释变量，a与b为待估参数， ?为随机

干扰项。

?随机干扰项对本回归函数的影响较小，故忽略随机干扰项对模

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型的影响。所以，得到如下模型：

Yi=a+bXi （i=1,2,3，?，n）

5.1.2具体问题分析：

5.1.2.1收集1984年到2012年的国民生产总值的数据和高速公路修建总公里的数据，并制表如下：

（表一）1984年到2012年GDP总量与高速公路修建里程 中国历年GDP总量与高速公路修建里程 年份 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 GDP(亿元) 7208.1 9016 10275.2 12058.6 15042.8 16992.3 18667.8 21781.5 26923.5 35333.9 48197.9 60793.7 71176.6 78973 84402.3 89677.1 99214.6 109655.2 120332.7 135822.8 159878.3 184937.4 216314.4 265810.3 314045.4 340506.9 397983 471564 519322 里程（公里） 15.9 30 70 100 147 277 407 537 667 1145 1600 2100 3258 4771 6258 11650 16314 19400 25130 29800 34000 41000 45300 53900 60300 65000 75000 85222 96000 5.1.2.2对数据进行分析、拟合，找出发展规律

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经过spss分析（见附表二）后，我们可以得到如图1的拟合曲线：

图1 公里数与国民生产总值拟合曲线

该图像具有线性关系，我们认为GDP总量与公路修建里程呈线性变化（一元线性变化）。

依据历年的GDP总量与高速公路修建里程的表格信息分析，我国国民经济将保持持续快速增长趋势。经济总规模不断扩大，工业化进程将以制造业规模快速扩张为主要特征，对能源、原材料需求大幅增加，市场活力增强，物流和人流加快，必然使高速公路需求保持持续增长势头，其后车流量增长基本与GDP的增长同步。因此，我国高速公路都将保持快速增长的态势。

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5.1.2.3一元线性回归方程解析式的得出与表达式

由（表一）知 GDPX2012=519322，再根据经济增长率为6%可求得：

30年后GDP总量 X2012?30=X2012所以

（1?6%）

30Y2012?30=0.199X2012?30-3659.462 ①

5.1.2.4 由①式得到结果

Y2012?30=589902 （公里） ② 由图1中的拟合曲线可以看出，一元线性回归模型对表1的数据有较好的拟合效果，同时R2为0.979，F检验为1283.517。具有非常高的拟合度。同时，拟合曲线也告诉我们国民生产总值和高速公路修建的公里数存在一定的依存关系，当国民生产总值增长缓慢时，政府在修建高速公路时投入也较少；反之，当高速公路投资减少时，国民生产总值也一定会随之又不同程度的减少。

由此得到：随着经济的不断增长高速公路里程不断增加，未来高速公路发展前景良好。 5.2 Compound模型 5.2.1 Compound函数

在spss中，我们利用spss拟合函数，最终以Compound函数拟合数据，得到Compound函数模型：

S=b0?b1t

5.2.2 对1994年到2009年全国高速公路行驶车辆进行数据统计并制表，如表⑵所示

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表（2）1994到2009全国高速行车辆 年份 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 高速行车辆（万辆） 134 144 146 157 160 183 208 237 325 430 507 576 722 879 938 13647 5.2.3对数据进行分析整理

由表（2）数据，经过spss分析（见附表三）后得到：

高速行车辆

图2 高速公路行车量

从图2可以看出，高速公路行车量随年份的变化呈非线性过程，近似于compound曲线。

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5.2.4对分析整理的结果进行函数解析式的确定

R2为0.958，从拟合曲线可以看出（见附表三），F检验为318.569，

得出拟合方程为：

S=84.629?1.174t ③

到2042年，车辆数 S=219409.7678（万辆）；

5.2.5在通货膨胀时期，以30年为例，预测未来高速公路发展前景

由③的结论预测在2012到2042年，平均每年在高速公路上行驶的车辆为S/2=109704.8839（万辆）；（在未来的30年里，在高速公路上行驶汽车总体呈上升趋势，在此，S/2表示取中间量，使得更符合发展的客观规律）

由②的结论预测在2012到2042年，平均每年在高速公路上行驶的里程为Y2012?30/2=294951（公里）。（在未来的30年里，汽车在高速公路上行驶的公里数总体呈上升趋势，在此，Y2012?30/2表示取中间量，使得更符合发展的客观规律）

纵观我国历次通胀高峰，1980年的通胀率为6%，1985年为9.3%，1988年为18.8%，1994年高达24.1%。2000年开始的新一轮经济周期中，除2004年通胀略有抬头外，我国经济经历了一个低通胀、高增长的黄金时期，直到 2007年上半年高通胀才开始显现，2007年我国通胀率上升为4.8%，而2006年仅为 1.5%。2008年，随着CPI不断冲高，对于通胀的担忧也开始增加。2008年2月，CPI 达到8.7%的峰值，随后开始回落，8月份降至4.9%，9月份降至4.6%。2010年降至4.1%，虽然CPI经历了升到降的反复过程，但总的来说，价

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格变动比较温和。所以在此基础上，我们做了一个假设，2013年通货膨胀率约为4%，假设未来三十年，在国家宏观调控的促进下，通货膨胀率持平。

假设：

Ⅰ.在2012到2042年，每年平均通货膨胀率为4%； Ⅱ.平均每辆车在高速公路每天行驶si=30公里； 从2012年到2042年，高速公路总体利润（P）为：

利润=收入-成本

其中：

收入=30年间总行驶车辆数×30年间高速公路总公里数×

高速公路每公里收费额×95%-节假日免收费用 成本=修建高速公路建设费用+银行贷款利息 由此可得：

P?si?S30Y2012?301?(1?4%)30?0.4?95%?345???(?5.56%?15) ④ 2223YS将数据si?30（公里），?109704.8839（万辆）， 2012?30?29495122（公里），代入④式中，得到：

即 P=1410527.5548 （亿元）

从2012到2042年，高速公路总利润P=1410527.5548 亿元，同时由于收费公路的存在，使得公路成本回收期长的弊端得以弥补。能够比较快地收回成本，并转投到新的高速公路建设当中，使高速公路能够滚动发展。

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5.3 利用简单模型预测

我们应当理解并支持投资者追求合理投资回报的要求，而不应当为此设置障碍；我们应当采取有效措施在一定程度上保障投资者投资公路有利可图，以调动投资者投资公路项目的积极性。

当利润为零的时候，即收入=成本。此时，没有利润可图，那么政府就不会把太多的精力放在高速公路的发展上，这样会制约经济的发展。所以，我们利用这样的关系，增加利润，以吸引政府及他人来投资高速公路的建设，从而促进经济的快速发展。 5.3.1 收集中国1980年-2010年CPI数据

制表（附表一）作图，如下图所示

中国1980-2010年CPI值中国1980-2010年CPI值302520CPI1510501975-51980198519901995年份2000200520102015

图4 中国1980-2010年CPI值

5.3.2分析图表

依据图表信息分析，得到CPI的变化没有一定的规律。并结合问题1、2的结论分析，考虑分三种不同情况，即在通货膨胀时、通货

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紧缩时以及正常情况下，预测未来30年内高速公路的利润情况：

⑴在正常发展情况下，以30年为例，得到公式：

si?S/2 ?Xnim1?95% ?345 ?30/2

= Y2012?30/2 ?(1/3+5.56%?15)

Xmin1 = 0.43（元）

此时，在正常发展情况下，以30年为例，收费标准至少为0.43元/公里。

⑵在有通货膨胀的情况下，以30年为例（且保持着4%的通货膨胀率）得到公式：

si?S/2 ?(1?4%)30?Xmin2?95% ?345 ?30/2

= Y2012?30/2 ?(1/3+5.56%?15)

Xmin2=0.13（元）

此时，在有通货膨胀情况下，以30年为例，收费标准至少为0.13元/公里。

⑶在有通货紧缩的情况下，以30年为例（且保持着-1%的通货紧缩率）得到公式：

si?S/2 ?(1?1%)30?Xmin3?95% ?345 ?30/2

= Y2012?30/2 ?(1/3+5.56%?15)

Xmin3=0.58（元）

此时，在有通货紧缩情况下，以30年为例，收费标准至少为0.58元/公里。

由于CPI的变化没有一定的规律可循，所以，在未来的30年期

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间，这3种情况都有可能发生。故取3种结果的平均值，希望更好地预测结果。

Xmin=0.38（元）

此时，在未来30年期间，我们预测高速公路收费标准至少为0.38元/公里。

由⑴⑵⑶的结果可得到未来30年，最小收费标准为0.38元/公里。此时，收入=成本，如果继续保持0.40元/公里，利润过少，考虑到我们忽略的其他影响较小的因素，不能够保证高速公路的正常运营。在保证正常收益的情况下，收费标准将会有所提高。

因此，我们认为高速公路投资前景非常广阔，我们应当通过制定相关法律、法规和规章，维护好公路投资者的合法权益，将越来越多的民间资金引入公路建设领域。如果我们做好了有效利用民间资金发展公路建设事业，相信公路融资的渠道会越来越宽广，将会更有力地促进我国公路建设事业的大发展。那么，未来的道路建设会发展更快，前景非常光明。

六、模型的检验

模型一： （1）平均值

X???1?Xi ni1Yi ?niY?（2）求各项平方和，乘积和

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1l2xx??(Xi?X)2??Xi?(?X2i)iin

il1yy??(Yi?Y)2??Y2i?(iin?Y2i)

il?(X1xx?i?X)(Yi?Y)?i?XiYi?in(?Xi)(i?Yi)

i（3）相关系数的计算

?(xi?x)(yi?y)r?lxyl?ixxlxy?(x2i?x)(y2

i?y)i?ir?lxyl

xxlxy得到相关系数 r=0.957，即相关极显著 。 模型二：

模型二是复合模型，由spss分析的出R2=0.958，R2?ESSTSS?1?RSSTSS ?2其中，TSS=?????Ya?Y??为总离差平方和

2 ESS=???^????Ya?Y??为回归平方和?? ? RSS=??^?2??Ya?Ya??为剩余平方和

R2=0.958，F为318.569，即相关极显著。

模型三：

模型三为简单模型，不必对其进行相关性检验。

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F为318.569。

七、模型的评价与推广

7.1模型一的评价与推广

本模型通过高速公路历年的公路里程数，历年GDP总量增长以及汽车在高速公路上的行驶量，利用一元线性回归方法进行分析，得到三十年后高速公路的总里程、高速公路对于经济的影响。 7.2模型二的评价与推广

采用spss模型进行拟合，使得结果进一步精确，减少了误差。 7.3模型三的评价与推广

对于问题三只是计算了最小利润，没有计算出最大利润，根据最小利润预测高速公路的投资前景。

八、参考文献

[1]姜启源等，数学模型， 1987年4月第一版，高等教育出版社， [2]繆铨生，概率与统计 ， 2007年6月第三版 ，260页—272页 [3]万福永登，数学实验教程， 2006年版， 科学出版社 [4]张韵华等，数学计算方法与算法，2006年第二版，科学出版社

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九、附件

附表一：中国历年CPI变化情况表

年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 消费者价值指数CPI（%） 6 2.4 1.9 1.5 2.8 9.3 6.5 7.3 18.8 18 3.1 3.4 6.4 14.7 24.1 17.1 8.3 2.8 -0.8 -1.4 0.4 0.7 -0.8 1.2 3.9 1.8 1.5 4.8 5.9 -0.7 4.4 16

附表二：Spss拟合公里数与国民生产总值拟合曲线数据

Model Description

Model Name Dependent Variable Equation

Independent Variable Constant

Variable Whose Values Label Observations in Plots

1 1 2 3

MOD_2 公里数 Linear Quadratic Cubic 国民生产总值 Included Unspecified

.0001

Tolerance for Entering Terms in Equations

Case Processing Summary

Total Cases Excluded Cases(a) Forecasted Cases Newly Created Cases

Variable Processing Summary

Number of Positive Values Number of Zeros Number of Negative Values Number of Missing Values

System-Missing User-Missing Variables Dependent 公里数 29 0 0 0 0 Independent 国民生产总值 29 0 0 0 0 N 29 0 0 0 17

Model Summary and Parameter Estimates

Equation Linear Quadratic Cubic R Square .979 .983 .984 F 1283.517 753.139 516.844 Model Summary df1 1 2 3 df2 27 26 25 Sig. Constant Parameter Estimates b1 .199 .239 .196 b2 -8.73E-008 1.64E-007 b3 -3.48E-013 .000 -3659.462 .000 -5667.571 .000 -4448.826

附表三：小型汽车的发展趋势

Model Name Dependent Variable Equation 1 1 2 3 4 Independent Variable Constant Variable Whose Values Label Observations in Plots Model Description

MOD_6 销量 Linear Compound(a) S(a) Logistic(a) 时序 Included Unspecified a The model requires all non-missing values to be positive.

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Case Processing Summary Total Cases Excluded Cases(a) Forecasted Cases Newly Created Cases N 16 0 0 0 a Cases with a missing value in any variable are excluded from the analysis.

Variable Processing Summary

Variables Dependent Number of Positive Values Number of Zeros Number of Negative Values Number of Missing Values

Model Summary and Parameter Estimates

Dependent Variable: 销量

Model Summary Equation Linear Compound S Logistic R Square .820 .958 .380 .958 F 63.942 318.569 8.575 318.569 df1 1 1 1 1 df2 14 14 14 14 Sig. .000 .000 .011 .000 Parameter Estimates Constant -145.700 84.629 6.226 .012 b1 69.421 1.174 -1.999 .852 User-Missing System-Missing

销量 16 0 0 0 0 Independent 时序 16 0 0 0 0 The independent variable is 时序.

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高速公路行车数

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/10t3.html