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慈溪中学2018年保送生招生考试数学

一、选择题（每题6分，共30分）

1. 若α为锐角，那么以sinα、cosα、tanα·cotα为三边长的△ABC的内切圆、外接圆的半径之和是（ ）

tanα+cotα（A）

2

sinα+cosα（B）

2

1

（C）2sinαcosα （D）

sinαcosα

2. 平面直角坐标系中，过点A（1，2）作直线l与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于B、C点，若△BOC（O为坐标原点）的面积为4，则这样的直线有（ ） （A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）3条 3. 直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC+BC=6，则⊿ABC的面积为（ ） （A）11/4 （B）11/2 （C）6 （D）11 4. 有同样大小的立方体8个，把它们竖2个，横2个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（如右图），如果用1根坚硬笔直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体（ ） （A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个 5. 把三根长为1cm的火柴杆和三根长为3cm的火柴杆摆放成如右图所示的圆周上，构成一个六边形，那么此六边形的面积是由三根长为1cm的火柴杆所构成的等边三角形面积的几倍（ ） （A）10 （B）15 （C）18 （D）22 二、填空题（每题6分，共36分）

6. 已知实数x满足(x2+1)x -3x-4＝1，则x＝ ．

200522005-620057. ＝ ．

32005-92005

2

8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（-1，0），以线段AB上一点P为圆心作圆与OA，OB均相切，则点P的坐标为 ．

9. 在△ABC中，AB＝BC＝9，且∠BAC＝45°，P 是线段BC上任意一点，P关于AB、AC的对称点为E、F，当△AEF的面积最小时，AP＝ ．

10. n个小球外观相同，其中只有一个质量小于其它小球（其它小球质量都相等），现请你用

一架没有砝码的天平作为工具称量3次，把那个质量最小的小球找出来，那么你认为n的最大值为 ． 11. 如右图，以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，

P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为 ． 三、解答题（每小题16分，共64分）

1

12. 已知b、c是满足c>b>0的整数，方程x2-bx+c＝0有两个不等的实根x1和x2，设P＝

x1

1

＋ ，Q＝x12＋x22，R＝(x1＋1)(x2＋1)，试比较P、Q、R的大小，并说明理由． x2

13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线y＝

12

，动点C、D同时从原点出发，分别沿x轴、x

y轴正方向运动，运动速度为每秒1个单位长．

（1）经过几秒钟，直线CD与双曲线有一个公共点？

7

（2）设直线CD与双曲线相交时，交点为A、B．当△AOB面积等于 时，求动点C、

2D两点所经过的时间t．

14. 三角形ABC中，BC=6，AB=2AC，P为BC

延长线上一点，且CP=2，

（1）当AB=8时，求三角形ABC的面积； （2）当AB变化时，求证AP的值为定值，并求出这个定值．

A B C P 15. A地产汽油，B地需要汽油，汽车自A地运汽

油往B地，往返所需的汽油正好等于满载汽油

的吨数，故无法直接自A地运往B地．因此，需在中途设一油库为中间站C，自A往返于A、C间的汽车将油从A地运送至C地，然后再由往返于C、B间的汽车将油从C地运至B地．设A、B两地的路程为s，B地收到的汽油吨数与A地运出汽油的吨数之比为运油率k．

1

（1）当AC＝ s时，求运油率k的值．

3

（2）当AC为何值时，运油率最大？并求出此时的运油率k．

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