必修二立体几何较难题汇总

1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（ ） A)

1111 B) C) D) 271698

如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N， 由于F、G分别是三角形的重心， 所以M、N分别是BC、CD的中点， 且AF：AM=AG：AN=2：3， 所以FG：MN=2：3，

又MN：BD=1：2，所以FG：BD=1：3， 即两个四面体的相似比是1：3，

所以两个四面体的表面积的比是1：9；故选C．

如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB︰BC＝1︰3，求AB，BC，EF的长

设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线AB与CD交于S，若AS=18,BS=9,CD=34,则CS=?68/3或68

与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个? 七个

你可以把它想象成一个三棱锥

四个顶点各对应一个 有四个，

两条相对棱对应一个 共三组相对棱 因此有三个

总共有七个

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形， 已知BD=2AD=8， AB=2DC=

。

（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （2）求四棱锥P-ABCD的体积

解：（1）证明：在所以故又平面

平面

所以又故平面

平面平面

平面 平面

，

， ，

。 ，平面

平面

，

中，由于

，

，

，

（2）过由于平面所以因此又

作

平面平面为四棱锥

交于O， ，

的高，

是边长为4的等边三角形

因此在底面四边形所以四边形

中，是梯形，

，

，

在此即为梯形

中，斜边

的高，

边上的高为，

所以四边形的面积为

故

。

（2008福建）(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面

BB1D1D所成角的正弦值为

6A.

315 C. 5

26B.

5D.

D1C1B1

A1

10 5DABC.（15）如图，二面角??l??的大小是60°，线段AB??.B?l，

??B?A?3AB与l所成的角为30°.则AB与平面?所成的角的正弦值是 . 419．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求二面角A1－BD－C1的大小。 【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC， 得：?ADC?45，

?? 同理：?A1DC1?45??CDC1?90，

?1AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。 2C1A1B1DCAB 得：DC1?DC。

又DC1⊥BD，DCBD?D，

所以DC1?平面BCD。

而BC?平面BCD，所以DC1?BC。

（2）解法一：（几何法）

由DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1

?BC?AC。

取A1B1的中点O，连接C1O，OD。 因为AC11?B1C1，所以C1O?A1B1，

因为面A1B1C1?面A1BD，所以C1O?面A1BD，从而C1O?BD，

又DC1⊥BD，所以BD?面DC1O，因为OD?平面DC1O，所以BD?OD。 由BD?OD，BD⊥DC1，所以?C1DO为二面角A1－BD－C1的平面角。 设AA1?2a，AC?BC?a，则C1O?

在直角△C1OD，C1O?OD，C1O?2a，C1D?2a， 21C1D， 2?所以?C1DO?30?。 因此二面角A1?BD?C1的大小为30。

D1A1DABOB1C1C(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出 AB//平面MNP的图形的序号是（ ）

A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④ 答案：B

3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，

M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大

致描绘了三棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系（x?(0,3)）（ ）

答案：A

ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:AP∥GH.

平面α过正方形ABCD- A1B1C1D1的三个顶点B,D, A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？

如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。求证：PQ∥面BCE

4下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不共面的一个图是( )．

空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少

1、 2、 3、

若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面； 若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。 若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。

答案：一个或三个

线面平行的判定定理证明 线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

线面平行的定义是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。 证明：设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。用反证法证明a‖α。 假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。 则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。 过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。 而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。 于是假设错误，故原命题正确。（反证法）

例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线，求k的最大值．

D1C1解答 考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC1，D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又

A1若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点B1相异且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故 K的最大值是4．

DC

AB

练习1 在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共

计27个点中，问共线的三点组的个数是多少

8?7?28个；两端点都为面的中心共线解答 两端点都为顶点的共线三点组共有26?112?3?3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有?18个，且三点组共有22没有别的类型的共线三点组，所以总共有28?3?18?49个．

例题3在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P最短，求AP+D1P的最小值．

解答 将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至A?A1B，使三角形A?A1B与四边形A1BCD1共面，联结A?D1，则A?D1的长即为AP+ D1P的最小值，所以，

A?D1?12?12?2?1?1?cos1350?2?2

练习3已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1的对棱BB1、D1上有两个动点E、F，

1BE=D1F=?（0???）．设EF与AB所成的角为?，与BC所成的角为?，求???2的最小值．

1?????．解答 当??时，不难证明????f(?)是单调减函数．因此???的22?最小值为．

2例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是 ．

分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：2r??2?423 ∴ V?????a??a ???324?4?32a 2P

练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外 接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球 与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连， A R O rE

C D

可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体B 高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．

?3?66226又：h?a2??，所以，R?a,r?a． a?a?a?3??41233??例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分2的体积比．

分析：取BC的中点D，连接PD交AM于G，设 所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由 直线与平面平行的性质定理得：EF∥BC，连接 AE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面． 作OH∥PG，交AG于点H，则：OH=PG．

BCEF?PDPG?PG?GDPG?1?GDPG?1?GDAD5OH?1?AO?2； 2故：VA?PEFV?S?PEF?EF?4VA?PEF4S????；于是：A?PBC?PBC?BC?25V?．A?EFBC21

P F M G H E C A

O D B

8、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有

(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条

解：在a、b、c上取三条线段AB、CC?、A?D?，作一个平行六面体ABCD—A?B?C?D?，在c上取线段A?D?上一点P，过a、P作 一个平面，与DD?交于Q、与CC?交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．

c P

D’C’bQ

RDC

A‘B‘ aBAS

3. 设四棱锥P?ABCD的底面不是平行四边形, 用平面?去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 ?( )

(A) 不存在 (B)只有1个 (C) 恰有4个 (D)有无数多个

例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为

（A）4； （B）8； （C）12； （D）24． 分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现

1两次，故所有边共出现2C12?24次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成

24?8个． 3例 1在桌面上放着四个两两相切、 半 径均为r的球， 试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个 球均相切的小球的半径．

的等边三角形个数为

(2012重庆)9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是（ A ）

A.(0,2) B.(0,3) C.(1,2) D.(1,3)

（2010全国）(6)直三棱柱ABC?A1B1C1中，若?BAC?90?，AB?AC?AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ C ） (A)30° (B)45°(C)60° (D)90°

6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABC?A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.

【解析】延长CA到D，使得AD?AC，则ADAC11为平行四边形，?DA1B就是

异面直线

BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，??DA1B?600

过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线a，使 a与棱AB, AD, A A1所在直线所成的角都相等，这样的直线a可以作（ D ） A)1条 B）2条 C）3条 D）4条

(2010重庆)（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点( D ) （A）只有1个 （B）恰有3个 （C）恰有4个 （D）有无穷多个

11．如图，M是正方体ABCD?A1BC11D1的棱DD1的中点，给出下列命题

①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；

④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.

BADC MD1其中真命题是： B1

A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 3、 如图：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，EF分别是棱BC与C1D1的中点.

求证：EF //平面BDD1B1(方法两种)

D1

E

C1

B1

A1C1A1

D

F

A B C

4、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点. 求证：PC//平面BDQ（隐含中点的运用） P

Q A B C D （20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。求证：BF∥平面A’DE（方法两种）

18. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，?BAC=90?，AB=AC=?AA'，点M,N分别为A'B和B'C'的中点

证明：MN//平面AACC''；

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