浙江省杭州市2015年高考数学命题比赛模拟试卷(5)及答案

试卷设计说明

本试卷设计是在通过对《2015年考试说明》与近几年高考试卷的学习与研究前提下，精心编撰形成。总体题目可分为二类：原创题、改编题。整张试卷的结构从题型，分数的分布到内容的选择力求与高考保持一致。对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查，对相关知识联系设问。从了解、理解、掌握三个层次要求学生。对能力考查做到多层次、多方位，选题注重能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。检验学生对知识理解上更高层次的数学思想方法的掌握程度，其中对函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化及整体思想都有一定的涉及。同时也注重学生的通性通法的掌握，但不追求解题的技巧。

其中原创题有12道，改编题有3道。

2015年高考模拟数学(文科)试题

注意：本卷共20题，满分l50分，考试时间l20分钟。 参考公式：

球的表面积公式：S?4?R，其中R表示球的半径；[来源:学。科。网]

24?R3，其中R表示球的半径； 3棱柱体积公式：V?Sh，其中S为棱柱底面面积，h为棱柱的高；

1棱锥体积公式：V?Sh，其中S为棱柱底面面积，h为棱柱的高；

31棱台的体积公式：V?h(S1?S1S2?S2)，其中S1、S2分别表示棱台的上、下底面积，h3球的体积公式：V?为棱台的高

如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)

第I卷(选择题 共40分)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（摘录）已知q是等比数列{an}的公比，则“q?1”是“数列{an}是递增数列”的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

m??，n??，?,?为两个不同平面，2．（摘录）已知m,n为异面直线，且直线l满足l?m，

l?n（ ）

，

l??，

l??，则

A．?//?且l//? B．???且l??

C．?与?相交，且交线垂直于l D．?与?相交，且交线平行于l 3．（原创）设sin2???3cos?，??(?（ ）

A．3 B．?3 C．

?2,0)，则tan2?的值是

33 D．?

334．（摘录）将函数y?sin(2x??)的图象沿x轴向左平移

则?的一个可能取值为

（ ） A．

?个单位后,得到一个偶函数的图象,83??? B． C．0 D．? 4441114??1，则?5．（原创）若正数a,b满足的最小值为 aba?1b?1（ ）

A．4 B．6 C．9 D．16

??????6．（原创）已知向量a,b满足a?2b?2，则a?b的最小值为

（ ） A．

11 B．? C．?1 D．1 22x2y27．（摘录）已知双曲线2?2?1的焦点到渐近线的距离为23，且双曲线右支上一点P到

ab右焦点的距离的最小值为（ ）

A．3 B．3 C．2 D．8．（摘录）如图，正方体ABCD?A?B?C?D?中，M为

2，则双曲线的离心率为

1 2ADMCBBC边的中点，点P在底面A?B?C?D?和侧面 CDD?C?上运动并且使?MAC???PAC?，

那么点P的轨迹是 （ ）

A?PD?B?C?

A．两段圆弧 B．两段椭圆弧 C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧

第（Ⅱ）卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共7小题，9-12小题每小题6分，13-15小题每小题4分，共36分） 9．（原创）设全集集U?R，集合M?{x?2?x?2}，N?{xy?1?x}，那么

MN? ▲ ， M?N? ▲ ，CUN= ▲ 10．（改编）已知?an?为等差数列，若a1?a5?a9?8?，则前9项的和S9? ▲ ，

cos(a3?a7)的值为 ▲ ．

11．(原创)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长为6， 某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视图是错误的， 则该视图修改正确后对应图形的面积为 ▲ ． 该正四面体的体积为 ▲

12．(原创)若将向量a?(3,3)围绕起点按逆时针方向旋转2?，

3得到向量b，则向量b的坐标为 ▲ ．

a?b? ▲ . 13．（改编）已知函数f(x)?loga

则实数a= ▲ ．

x?1(a?0,a?1)， x?1当x?(r,a?2)时，函数f(x)的值域是(1,??)，

?2x?y?2?0?14．（原创）若变量x,y满足：?x?2y?4?0，且满足(t?1)x?(t?2)y?t?0，则参数t的

?x?3y?11?0?取值范围为 ▲ ．

15．（原创）若关于x的不等式(ax?20)lg2a?0对任意的正整数x恒成立，则实数a的取x值范围

为 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分15分）（原创）在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知函数f(x)?sin(2x?（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?

17．（本小题满分15分）（改编）设数列?an?的前n项和为Sn．已知a1?a，an?1?Sn?3n，

?6) 满足：对于任意x?R，f(x)?f(A)恒成立.

3，求BC边上的中线AM长的取值范围.

n?N*．

（Ⅰ）设bn?Sn?3n，求数列?bn?的通项公式； （Ⅱ）若an?1≥an，n?N，求a的取值范围．

*

18．（本小题满分15分）（原创）如图，四棱锥A?BCDE，平面ABC?平面BCDE，?ABC边长为2的等边三角形，底面BCDE是矩形，且CD?（Ⅰ）若点G是AE的中点，求证：AC//平面BDG；

（Ⅱ）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B?CE?F的大小为

B

19．（本小题满分15分）（原创）已知抛物线

2,其焦点M:y?2px(?p0)F到直线l:x?y?2t?0 的

2．

?． 4A

F

C

G

D

E

距离为

32. 2（Ⅰ）若t?1,求抛物线M的方程；

（Ⅱ）已知t?0,直线l与抛物线M相交于A,B两点，直线PQ与抛物线M相交于P,Q两

点，且满足PQ?AB?0，BP?BA?AP?AB?32,若A,P,B,Q四点在同一个圆?上，求圆?上的动点到焦点F最小距离.

20．（本小题满分14分）（原创）设函数f(x)?x|x?a|?a， (a?0) （Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的零点；

（Ⅱ）若x???1,1?时，f(x)?1恒成立，求实数a的最大值．

2015年高考模拟数学(文科)答题卷

题号 一．选择题 二．填空题 16 得分17 三．解答题 18 19 20 得 分

总分 结分人

一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

结分人 二.填空题（共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分） 9．

得 分 结分人

10． 11． 12．

13． 14． 15．

三.解答题（共5小题，共74分） 16．解： 得 分 结分人 17．解： 得 分 结分人

18．解： 得 分 结分人 A F C G D B E

19．解： 得 分 结分人

20．解： 得 分 结分人

2015年高考模拟数学(文科)参考答案及评分标准

一.选择题：（共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 D D A B A 6 B 7 C 8 D 1．D 【命题意图】 本题考查等比数列单调性及充要条件，属于容易题． 【解题思路】 等比数列{an}中， a1?0，若q?1，则数列{an}是递减数列；若数列{an} 是递增数列，则0?q?1，所以选D．

2．D 【命题意图】 本题考查线面位置关系判定，属于中档题．

【解题思路】 若?//?，且m??，n??，则m//n，矛盾，故A不正确；所以?与?相交．由m??，l?m，l??，可知l//?，同理l//?，可得l平行两个平面的交线．所以选D．

3． A 【命题意图】 本题考查三角恒等变换，属于容易题． 【解题思路】sin2??2sin?cos???3cos?，sin???2?3，??，所以

32tan2??3，选A．

4．B 【命题意图】 本题考查三角函数图象平移和奇偶性，属于容易题． 【解题思路】 平移后的新函数为y?sin(2x??4??)，该函数为偶函数，则

?4????2?k?，

???4?k?,k?Z，所以选B．

111b1a14b4a??1，可得?，?，所以????4，aba?1ab?1ba?1b?1ab5．A 【命题意图】 本题考查基本不等式，属于中档题． 【解题思路】 由选A．

6．B 【命题意图】 本题以向量为依托考查最值，属于较难题．

??????【解题思路】 设t?a?2b,t?2，则a?t?2b，所以

??2?2??????ttt1a?b?(t?2b)?b?2(b?)2?????，故选B．

4882法二：几何意义

7．C 【命题意图】 本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．

【解题思路】焦点到渐近线的距离为b?23，双曲线右支上一点P到右焦点的距离的最小值为c?a?2，

解得a?2,c?4，所以e?2

8．D 【命题意图】 本题考查空间位置关系

【解题思路】?PAC???MAC??定值，所以，点P在空间的轨迹是以直线截AC?为轴的圆锥面，而平面A?B?C?D?与圆锥母线AM平行，根据圆锥曲线的定义可知，点P在平面

A?B?C?D?内的轨迹是抛物线，同理，点P在平面CDD?C?内的轨迹也是抛物线的一段

二、填空题：（共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分） 9．MN?{xx?2}，MN?{x?2?x?1}，CUN?{xx?1}【命题意图】本题考查

集合的基本运算. 属于容易题． 10．24?,?1【命题意图】本题考查等差数列性质，基本量运算，诱导公式，属于容易题． 211. 66【命题意图】 本题考查解三视图，属于中档题． ,182，

【解题思路】正视图错误，属于中档题．正视图是错误图形，正视图底边长为6， 高为6?116?26所以S??6?26?66,V??93?26?182，

23312．b?(?3,3)，a?b?6【命题意图】本题考查向量运算及几何意义，属于容易题． 13．2?3【命题意图】 本题考查对数函数的性质、复合函数的值域问题，属于稍难题． 当a?1时，使值域为?1,???则t?x?12?1???a,???，所以定义域 x?1x?1?a?1?为?1,a?2?即?a?1?a?2?3，当0?a?1时，无解.

?a??a?314. ?2?t??4 【命题意图】 本题考查可行域及直线恒过定点，属于稍难题． 3?l:t(x?y?1)?(x?2y)?0，所以直线恒过定点(?2,1)，画出可行域，由题意知，直线

恒过定点(?2,1)点及可行域内一点，直线l方程可改写成：(t?2)y??(t?1)x?t，（1）由图

?k??知，当斜率不存在时，符合题意；（2）当斜率存在时，

综上：?2?t??15．[3,t?114?[,??)??2?t??；t?2234。 310] 【命题意图】 本题考查解不等式、方程及函数转化求解，属于较难题． 3

【解题思路】 解法一：由x?1可知a?0，原不等式可转化为(ax?20)(2a?x)?0，即不

2020)(x?2a)?0对任意的正整数x恒成立．当a?10时，?2a，而aa20201010210?[,2a]，?6且2a?7，所以解得a?，故a?[10,]；同理，当a?10aa3310时，a?[3,10]．所以a?[3,]．

3等式(x?解法二：由x?1可知a?0，原不等式可转化为(ax?20)(2a?x)?0，即不等式

2020)(x?2a)?0对任意的正整数x恒成立．等价于,2a在相邻两个自然数之间，不妨aa20,y2?2x,x?0，两函数图象单调性不同且交点为(10,210)，所以只需设函数y1?x2010,2a?[6,7]即可，解得a?[3,]． a3(x?

三、解答题：(本大题共5小题，共74分)．

16．本题主要考查三角函数的图象、性质，正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考察运算求解能力。

满分15分． （Ⅰ）f(x)?sin(2x?

（Ⅱ）在?ABM中，AM?2?6)取最大值时x?k???3，故A??3 ---------- 7 分

33?2AM?cos?AMB?c2 42在?ACM中，AM?233?2AM?cos?AMC?b2 ---------- 11 分 42b2?c23? ---------- 13 分 ∴AM?242而b?c?bc?3，∴3?b?c?6 ∴AM??2222?33??2,2? ---------- 15分 ??【注】若（2）用几何图形得出结论，也可给满分。

17．本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前n项和Sn与an的关系等基础知识．同时考查数列单调性的探究方法，运算求解能力等．本题满分15分． （Ⅰ）由

an?1?Sn?3n?Sn?1?Sn?Sn?3n即?Sn?1?2Sn?3n，所以

?Sn?1?3n?1?2(Sn?3n)

?S（

n?3n?是以S1?3?a?3为首项，公比为2的等比数列，所以bn?Sn?3n?(a?3)?2n?1

Ⅱ

）

由

---------- 7分

Sn?3n?(a?3)?2n?1?Sn?(a?3)?2n?1?3n?an?1?Sn?3n?(a?3)?2n?1?2?3n an?(a?3)?2n?2?2?3n?1(n?2) ---------- 12 分

代入an?1≥an得

3?a33?a3?()n?1(n?2)恒成立. 所以??a??9，而当n?18282时，an?1?Sn?3n?a2?a1?3?0.综合得：a???9,??? ---------- 15分 18．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间向量的应用，

考查空间

想象能力和运算求解能力．满分15分．

（Ⅰ）连CE交BD于点O，连GO，因为G、O

GO?平面BDG???GO//AC??AC//平面BDG ---------- 7分 分别为中点，所以

AC?平面BDG??

CDQHBE

（Ⅱ）如图，过点F作FH?BC于点H，

因为平面ABC?平面BCDE，所以FH?平面BCDE. 过

点

H作

HQ?EC于点Q，连

FQ，因为

FH?平面BCDE?FH?CE???BC?平面FHQ

HQ?CE? 所以?FQH就是二面角B?CE?F的平面角. ---------- 11 分

设面角BF?x，则HF?3xxx,BH?,CH?2?， 222x21 3，得

在?BCE中，如图，HQ?CH?sin?BCE?(2?)?因为

?FQH?450?FH?HQ?3x1x?(2?)?223BF??1x即

F为AB的中点.

即点F是线段AB中点时，二面角B?CE?F的大小为

?． ---------- 15 分 4

19．本题主要考查直线、圆、圆锥曲线的方程，抛物线的定义、几何性质，直线与抛物线的位置关系等基本知识．同时考查解析几何的基本思想方法和综合运算、分析问题、转化能力．满分15分．

思路分析：(Ⅰ)先求抛物线焦点，利用点到直线的距离公式求解参数p；（Ⅱ）利用点到直线距离公式列出p,t关系，一方面直线与抛物线联立求弦长，另一方面用向量的几何关系求弦长为8，从而结合已知解出参数p,t，最后用圆心到焦点的距离减去到圆半径得解.

解：(Ⅰ) 由已知得焦点F(p,0),且dF?l2p?2|32,结合p?0,得到p?10.故抛物线?2?22|方程为M:y?20x. ----------- 4分

2（Ⅱ）由已知得焦点F(p,0),且dF?l2则

p?2t|p322,化简得|?2t|?3 (1)由已知设??222|消

去

A(x1,y1),B(x2,y2),

?x?y?2t?0?2?y?2pxy得

y2?2py?4pt?0，

得:??y1?y2?2p,AB中点为M(p?2t,p), ----------- 7分

yy??4pt?12|AB|?2?4p2?16pt?22?p2?4pt．由PQ?AB?0，BP?BA?AP?AB?32,

知直线PQ为线段AB的垂直平分线,且

1|AB|2?32,即|AB|?8,化简得p2?4pt?8(2) 2----------- 11分

由(1)(2)结合t?0,得p?4,t??1.从而得M(3,4)由直线PQ方程:x?y?7?0,与2y2?8x联立消去x得y2?8y?56?0，从而得到PQ的中点N(11,?4),圆半径

1|AN|2?|MN|2?(|AB|)2?128?16?144． ----------- 13分

2可知焦点F(2,0)在圆内,故圆?上的动点到焦点F最小距离d?12?97.

----------- 15分

20．本题主要考查分段函数、函数对称性，单调性等基础知识，同时考查对数学问题的理解

能力，对数学问题的概括、应用能力，考查运算能力、分类讨论与推理能力．满分14分

2???x?x?1(x?1)(Ⅰ) a?1 ?f(x)??2

??x?x?1(x?1)f(x)?0?x?1?5 ----------- 4分 22???x?ax?a(x?a)（Ⅱ）解法1： f(x)??2

(x?a)??x?ax?a问题等价于x???1,1?时，?1?f(x)?1恒成立，实数a的最大值，考虑到

f(?1)??1??1

且x???1,0?时，f(x)单调递增，所以问题等价于x??0,1?时，f(x)?1恒成立，实数a的

最大值，所以

?a??1（1）?2?无解 ----------- 6分

??f(x)max?f(1)?2a?1?1??a?1??a（2）??1?无解 ----------- 8分

?2?aa2?a?1?f(x)max?f()??24

?22?2?a?1?（3）??a?22?2 ----------- 10分 aa2?a?1?f(x)max?f()??24?0?a?22?2?（4）??0?a?22?2 ----------- 12分 aa2?a?1?f(x)max?f()??24即0?a?22?2，所以amax?22?2 ----------- 14分 （Ⅱ）解法2：考虑到f(?1)??1??1，且x???1,0?时，f(x)单调递增，所以问题等价于x??0,1??时，f(x)1恒成立，实数a的最大值，因为

2???x?ax?a(x?a)f(x)??2，

(x?a)??x?ax?a而当0?a?1时恒有f(x)max?f(1)?2a?1?1 ----------- 8分

?a??1所以，（1）?2?无解 ----------- 10分

??f(x)max?f(1)?2a?1?1a?0??1??2（2）??0?a?22?2 ----------- 12分 2aa?f(x)?f()??a?1max??24即0?a?22?2，所以amax?22?2 ----------- 14分

IB模块

03.

（1）已知(?161133（i为虚数单位）则实数b? ▲ ． ?i)?1??bi时，

22(1?3i)54（2）过点P(2,6)作曲线y?x(x2?1)的切线，则切线的方程为 ▲ ． 04.

（x?2)(（1）式子

21?1)5的展开式的常数项等于 ▲ ．. 2x（2）有两排座位，前排5个座位，后排6个座位。则甲、乙不能左右相邻而座的概率等于 ▲ ．

答案： 03 （1）

34 （2）y?11x?16或

04

（1）3 （2）

4655.

y?2x?2

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