福建省漳州市2019届高三第一次教学质量检查测试数学（文）试题

福建省漳州市2018-2019学年高三毕业班第一次教学质量检查测试

文科数学

第Ⅰ卷

一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】

根据集合交集运算，可得【详解】集合所以所以选C

【点睛】本题考查了集合交集的简单运算，属于基础题。 2.复数A.

的共轭复数是（ ）

B.

C.

D.

。 ，

，

，则B. D.

（ ）

【答案】B 【解析】 【分析】

根据复数除法运算，化简

，再根据共轭复数的概念即可求得解。

【详解】由复数除法运算，化简得

所以其共轭复数为所以选B

【点睛】本题考查了复数的基本概念和除法运算，共轭复数的意义，属于基础题。 3.直线A. 1 【答案】D 【解析】 【分析】

根据点到直线距离公式，求得弦心距，再由垂径定理即可求得弦长。 【详解】直线方程可化为圆心到直线的距离为由垂径定理可得半弦长为所以截直线所得弦长为所以选D

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式及弦长的求法，属于基础题。 4.已知等比数列A. 【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列的通项公式及【详解】由等比数列通项公式及化简得所以

，即

，代入首项即可求得公比q，进而求得的值。

，可得

，代入

满足

，B.

，则

（ ） C. 1

D. 2

被圆

B. 2

所截的弦长为（ ）

C.

D.

由等比数列通项公式可得所以选A

【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题。 5.若实数

满足

则

（ ）

B. 有最大值无最小值 D. 无最小值也无最大值

A. 有最小值无最大值 C. 有最小值也有最大值

【答案】A 【解析】 【分析】

根据不等式组，画出x、y的可行域，在可行域内求z=x+y的取值即可。 【详解】由不等式组，画出可行域如下图所示

可得线性目标函数z=x+y可取得最小值，没有最大值 所以选A

【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，注意可行域的范围，属于基础题。 6.已知A.

，

B.

，则

（ ）

C.

D. 3

【答案】D 【解析】 【分析】 根据角的关系，【详解】因为

结合正切的差角公式可得

，再由正切的差角公式即可求得

，

，

的值。

所以选D

【点睛】本题考查了正切差角公式的综合应用，根据已知角的关系配凑出所求的角，属于中档题。 7.将函数

的图象向左平移

个单位长度得到

的图象，则的图象的一条对

称轴为（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】 【分析】

先由辅助角公式化简即可求得解。

【详解】由辅助角公式化简

，向左平移

对称轴方程为即

单位长度得到

的解析式为

可得

，再根据三角函数图像的平移变化求得

，最后根据三角函数对称轴方程

所以一条对称轴为所以选B

【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图像的平移变化及对称轴的求法，属于基础题。 8.设A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】

根据对数换底公式及指数幂的化简，然后比较大小即可。 【详解】由换底公式可得

，

，

，则

的大小关系是（ ）

B. D.

因为因为综上，所以选C

，即

，所以

，即

的大小关系为

【点睛】本题考查了对数换底公式的应用，指数幂的化简，比较大小，属于中档题。

9.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据三视图，还原空间结构体，根据空间结构体的特征及球、棱锥的体积公式求得总体积。 【详解】根据空间结构体的三视图，得原空间结构体如下图所示：

该几何体是由下面半球的和上面四棱锥的组成

由三视图的棱长及半径关系，可得几何体的体积为

所以选A

【点睛】本题考查了三视图的简单应用，空间结构体的体积求法，属于中档题。 10.函数A. 1 【答案】B 【解析】 【分析】

分段函数，令各段函数值分别等于0，求得x的值即可。 【详解】当x≤1时，因为

与

，令

得x=0，所以有一个零点；

B. 2

零点的个数是（ ）

C. 3

D. 4

在x>1时都为增函数 也为增函数

所以当x>1时，且

所以当x>1时，综上所述，函数所以选B

有一个零点

有两个零点

【点睛】本题考查了分段函数零点的求法，函数零点判定定理，属于中档题。 11.已知曲线的方程为件，A. C.

，现给出下列两个命题：

是曲线为双曲线的充要条

是曲线为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）

B. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p与命题q的真假，进而判断出复合命题的真假。

【详解】若曲线C为双曲线，则若

，则

，可解得

，所以命题p为真命题 且m≠1，所以命题q为假命题

若曲线C为椭圆，则因而所以选C

为真命题

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题。 12.已知函数值为（ ） A. -1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出

的解析式，分解成两部分:

与

,

利用导数求得最小值;根据

B.

C.

D. 1

，

，若存在实数使

成立，则实数的

二次函数的性质求得【详解】函数所以令令

，则解得

，，

，

的最小值,进而利用方程求得a的值即可.

且当x<-1时，且当x>-1时，因而最小值为又因为所以

单调递减 单调递增

≥-1

所以当x=-1时，即

所以选B

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的性质，属于中档题。

第Ⅱ卷

二、填空题（将答案填在答题纸上） 13.设平面向量【答案】【解析】 试题分析：

，所以

，

．

，

，

，若

，则实数的值等于___．

考点：向量垂直的坐标表示，向量的坐标运算． 14.若是等差数列【答案】38 【解析】 【分析】

根据等差数通项公式及性质，化简表达式可得【详解】由等差数列性质可得所以

，再由等差数列的求和公式求得

。

的前项和，且

，则

____．

由等差数列前n项和公式可得

【点睛】本题考查了等差数列的性质及前n项和公式的简单应用，属于基础题。 15.正四棱柱面积为____． 【答案】【解析】 【分析】

画出空间几何体，根据二面角大小求得正四棱锥的高，再求得正四棱锥的体对角线，即为正四棱锥外接球的直径，进而求得外接球的表面积。 【详解】画出空间结构体如下图所示：

中，

，二面角

的大小为

，则该正四棱柱外接球的表

因为该空间体为正四棱柱，AB=2，设高为h，则 因为因为所以

，

所以解得所以

所以外接球表面积为

，即外接球半径

，即,的大小为

,

,二面角

的平面角为

，

【点睛】本题考查了空间几何体外接球问题，属于基础题。 16.已知双曲线

的右焦点为，点在双曲线上，若

，

，

其中为坐标原点，则双曲线的离心率为__． 【答案】 【解析】 【分析】

根据双曲线定义，用a、c表示出P到左焦点、P到右焦点、焦距，结合余弦定理即可求得离心率。 【详解】设左焦点为 ，由双曲线定义可得

，

，

由余弦定理

代入得化简得

，同除以得

，即

所以

【点睛】本题考查了双曲线定义及离心率求法，余弦定理的简单应用，属于中档题。 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列（1）求数列（2）求数列【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据等差数列的前n项和公式及通项公式，列出方程组求出首项与公差即可得通项公式。 （2）根据裂项求和法，可得Tn。 【详解】（1）设等差数列则由由

，得，得

，.

，

.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题。 18.如图，在直三棱柱

中，

，是

的中点，

.

，

的公差为，

，所以，所以

，②

，①

的前项和为，若

，

.

的通项公式；

的前项和.

（2）

由①②，解得故

（2）由（1），得所以

（1）求证：（2）若异面直线

平面和

；

所成角的余弦值为

，求四棱锥

的体积.

【答案】（1）见证明；（2）3 【解析】 【分析】 （1）连接

，交

于点，连结

，利用中位线定理证明和

平面

。

。所以

（2）通过平移，表示出异面直线所成角，结合正弦定理及三角形面积公式求得

可得解。

【详解】解法一： （1）连结在直三棱柱所以为又为又所以（2）因为

的中点， 的中点，所以平面平面

，. ，

为锐角， 平面

，

，

，交

于点，连结中，四边形

.

为平行四边形，

所以为异面直线和所成的角， ，

所以由条件知在

中，

，.

又所以

平面

，

，

，

，

平面

，

，，

，

，

所以

解法二：（1）证明：取

的中点，连结

，

，

. ，

在直三棱柱四边形所以所以所以因为所以所以又所以平面又

平面

，又平面

，平面

中，

为平行四边形，又是，所以四边形，又

平面，

，所以四边形

平面，

平面，

平面

.

， ，

是平行四边形， 平面

，

的中点，

是平行四边形， ，

平面

，

平面

，所以于， ，

（2）过作因为又因为所以

平面

，，

平面平面为锐角， 和

，所以，所以

， 平面

.

为异面直线所成的角， ，

所以由条件知在

中，

，，

又

，

，

，

，

，，

所以.

【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，割补法求体积，属于中档题。 19.

的内角

的对边分别为

，已知

.

（1）求角； （2）若点在边【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）由正弦定理，将边化为角的表达式，进而利用正弦和角及诱导公式化简求得角C。 （2）根据余弦定理及诱导公式，结合基本不等式即可求得【详解】（1）因为所以由正弦定理，得所以因为所以又因为（2）因为在所以

中，，所以，所以

，

， . ，所以，因为

所以当且仅当

，即时，

， 取最大值

.

，

，

， ，所以

，

，

，

的最大值。

上，且（2）2

，

，求

的最大值.

【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、诱导公式的综合应用，属于中档题。 20.已知动圆过点（1）求曲线的方程；

且与直线

相切，圆心的轨迹为曲线.

（2）若是曲线上的两个点且直线

(2)见证明

过的外心，其中为坐标原点，求证：直线过定点.

【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）根据抛物线定义，可知曲线方程为抛物线，进而利用定义求得抛物线的方程。 （2）设出A、B坐标，设出AB方程，联立抛物线，结合韦达定理表示出m的值，进而求出定点坐标。 【详解】解法一：（1）由题意可知所以曲线是以所以曲线的方程为解法二： （1）设所以

整理得曲线的方程为（2）设直线设

，

因为直线 所以因为直线所以直线

过=0

，所以不过点，所以

或

， ，所以

过定点

， .

的外心，所以，则，由题意可知

， . ，代入

，

，得，

， ，

， ，

等于点到直线

的距离，

为焦点，以直线

.

等于点到直线

的距离，

与

，利用垂直关系求得

为准线的抛物线，

，所以直线

【点睛】本题考查了抛物线定义，直线过定点问题，属于中档题。 21.已知函数（1）求函数（2）若

，函数

的单调区间； ，求实数的取值范围.

，其中实数.

【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】

的增区间为

，减区间为.

（1）根据定义域，求出导函数。分类讨论m的情况，讨论单调区间。 （2）根据的取值范围。 【详解】（1）①若由所以②若由所以（2）若

，则由

，得

的增区间为，则由

，得

的增区间为

，则

， ，减区间为

，即

因为所以所以所以

所以实数的取值范围为

.

在

；当

时，

；当

时，

，

.

，所以

的定义域为

，得， ，减区间为

，得

. ；

.

；

.

，由

可得

；根据导数及单调性，求出

，进而可得m

上是减函数，在上是增函数， ，

，

【点睛】本题考查了导数单调区间及最值的综合应用，参数取值范围，属于难题。 22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求的参数方程和的普通方程； （2）设点在上，点在上，求【答案】(1)

【解析】 【分析】

（1）根据曲线的方程可得参数方程，直接化简可得直角坐标方程。

（2）利用参数方程设出P点坐标，利用点到直线距离公式表示出距离，进而可求得最小值。 【详解】（1）曲线的参数方程为曲线的普通方程为（2）设

，

的最小值即为的最小值，

，其中

时，的最小值为1，此时

.

，

.

（为参数），

的参数方程为

的最小值.

（为参数），曲线

的普通方程为

(2)

点到直线的距离为，则因为当

【点睛】本题考查了参数方程与直角坐标方程的应用，点到直线距离的最小值问题，属于中档题。 23.设函数（1）解不等式（2）若不等式【答案】(1) 【解析】 【分析】

（1）将解析式代入不等式，通过分类讨论去绝对值化简即可得解。 （2）根据不等式，由解集关系代入函数【详解】（1）原不等式等价于

或

即

或

或

，

；

.

的解集包含

(2)

，求的取值范围.

即可得a的取值范围。

或

解得或或

.

，

故原不等式的解集为（2）条件等价于当即设

，则

. ，即

时，

恒成立，

解得

，

，

故的取值范围为

【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，含参问题的不等式解法，属于中档题。

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