2014年北师大版初三数学中考模拟卷

北师大版初三数学中考模拟试题

一．选择题（共15小题） 1．（2013?贵阳）3的倒数是（ ） 3 A．﹣3 B． C． ﹣ D． 2．（2013?湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D． 3．（2013?安徽）用科学记数法表示537万正确的是（ ） 56 5A． .37×104 B． C． 5.37×10 5.37×10 4．（2013?安顺）下列各数中，3.14159，

，0.131131113…，﹣π，

C． 3个 ，

7D． 5.37×10 ，无理数的个数有（ ） D． 4个 A．1个 B． 2个 5．（2012?南京）12的负的平方根介于（ ） A．﹣5与﹣4之间 B． ﹣4与﹣3之间 6．（2008?聊城）下列计算正确的是（ ） 2A． B． =4 +4=6 C． ﹣3与﹣2之间 D． ﹣2与﹣1之间 C． ÷=3 D． =﹣3 7．（2007?无锡）下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ） A．B． C． D． 8．（2013?玉林）已知一组从小到大的数据：0，4，x，10的中位数是5，则x=（ ） 5 6 7 8 A．B． C． D． 9．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠E=50°，则∠F=（ ）

40° A． 50° B． 60° C． 70° D．

10．（2013?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 11．（2004?荆州）如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（ ）

①② A．③④ B． ②④ C． 无解，则m的值为（ ）

①③④ D． 12．（2012?鸡西）若关于x的分式方程

1 A．﹣1.5 B． C． ﹣1.5或2 D． ﹣0.5或﹣1.5 13．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论： ①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC ④△ADM≌△BCD． 正确的有（ ）

①② A．①③ B． ②③ C． ③④ D． 14．（2010?孝感）双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（ ）

1 A．2 B． 23 C． 4 D． 15．（2014?合肥模拟）把抛物线y=﹣x+x沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C1称为第一次操作，把抛物线C1沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C2称为第二次操作，…，以此类推，则抛

2

物线y=﹣x+x经过第2014此操作后得到的抛物线C2014的解析式为（ ） A．B． y=﹣ y=﹣﹣ C．y=

+

D． y=﹣ 2

+

北师大版初三数学中考模拟试题 答题卡 一、选择题 （每题3分，共15题，共45分） 题号 班级 姓名 学号 答案 题号 答案 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 7 8 9 10 二．填空题（每题5分，共5小题，共25分） 16．（2009?宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是_________ ． 17．（2012?荆州）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y= _________ ． 18．（2006?孝感）如图，在一间教室内有一个长为2a（a＞0）米的梯子斜靠在墙上，梯子的倾斜角为60度．如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，则这间教室的宽AB的长度为 _________ 米．（结果不作近似计算） 19．两张宽2cm矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分（图中的阴影部分）的四边形ABCD的形状为 _________ ，其面积的最小值为 _________ cm． 2 20．（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 _________ （结果保留根号）． 三．解答题（共7小题） 21．（2013?重庆）计算： 3 ． 8分

22．（2013?遵义）已知实数a满足a+2a﹣15=0，求

2

﹣÷的值． 8分

23．（2013?锦州）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．

（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； 6分

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该规则，使其公平．

6分 24．（2013?遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨．

（1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？ 6分

（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 4分

4

25．（2013?襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）连结BE，CD，求证：BE=CD； 6分 （2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 _________ 度时，边AD′落在AE上； 2分 ②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明． 4分

26．（2013?湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求证：PA为⊙O的切线； 6分 （2）若OB=5，OP=

，求AC的长． 6分

5

27．（2013?重庆）如图，已知抛物线y=x+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式； 5分

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN最大值；5分 （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标． 6分

2

6

北师大版初三数学中考模拟试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题） 1．（2013?贵阳）3的倒数是（ ） 3 A．﹣3 B． 考点： 倒数． 分析： 根据倒数的定义进行答题． 解答： 解：设3的倒数是a，则3a=1， C． ﹣ D． 解得，a=． 故选D． 点评： 主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（2013?湛江）如图是由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）

A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 解答： 解：从物体左面看，是左边2个正方形，右边1个正方形． 故选A． 点评： 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3．（2013?安徽）用科学记数法表示537万正确的是（ ） 56 5A． .37×104 B． C． D．5 .37×107 5.37×10 5.37×10 考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： 解：将537万用科学记数法表示为5.37×106． 故选C． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（2013?安顺）下列各数中，3.14159， A．1个

，0.131131113…，﹣π，

C． 3个

7

，，无理数的个数有（ ） D． 4个 B． 2个

考点： 无理数． 专题： 常规题型． 分析： 无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数． 解答： 解：由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个． 故选B． 点评： 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 5．（2012?南京）12的负的平方根介于（ ） A．﹣5与﹣4之间 B． ﹣4与﹣3之间 C． ﹣3与﹣2之间 D． ﹣2与﹣1之间 考点： 估算无理数的大小． 专题： 计算题． 分析： 根据＜＜，可得出答案． 解答： 解：由题意得，＜＜， 故﹣＜﹣＜﹣，介于﹣4与﹣3之间． 故选B． 点评： 此题考查了估算无理数大小的知识，属于基础题，注意“夹逼法”的运用． 6．（2008?聊城）下列计算正确的是（ ） 2A． B． =4 C． D． ÷=3 +4=6 =﹣3 考点： 实数的运算． 分析： A、根据合并二次根式的法则即可判定； B、根据二次根式的乘法法则即可判定； C、根据二次根式的除法法则即可判定； D、根据二次根式的性质即可判定． 解答： 解：A、2+4不是同类项不能合并，故选项错误； B、=2，故选项错误； C、÷=3，故选项正确； D、=3，故选项错误． 故选C． 点评： 此题主要考查了实数的运算．无理数的运算法则与有理数的运算法则是一样的．在进行根式的运算时要先化简再计算可使计算简便． 7．（2007?无锡）下面四个图案中，是旋转对称图形的是（ ） A．B． C． D． 考点： 旋转对称图形． 分析： 根据旋转图形的定义可知． 解答： 解：A、B、C不是旋转对称图形；D、是旋转对称图形．故选D． 点评： 本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 8

8．（2013?玉林）已知一组从小到大的数据：0，4，x，10的中位数是5，则x=（ ） 5 6 7 8 A．B． C． D． 考点： 中位数． 分析： 根据中位数是5，得出（4+x）÷2=5，求出x的值即可． 解答： 解：一组从小到大的数据：0，4，x，10的中位数是5， 则（4+x）÷2=5， x=6； 故选B． 点评： 此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，是一道基础题． 9．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，∠E=50°，则∠F=（ ）

40° 50° 60° 70° A．B． C． D． 考点： 平行线的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 由平行线的性质得∠ABC=∠BCD，由∠1=∠2得∠EBC=∠BCF，根据内错角相等，两直线平行可得EB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等即可求解． 解答： 解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠1=∠2， ∴∠EBC=∠BCF， ∴EB∥CF， ∴∠F=∠E=50°． 故选B． 点评： 此题主要考查平行线的性质和判定：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 10．（2013?长春）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，

点A的对应点在直线y=x上一点，则点B与其对应点B′间的距离为（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 考点： 一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 专题： 压轴题． 分析： 根据平移的性质知BB′=AA′．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点A′的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段AA′的长度，即BB′的长度． 9

解答： 解：如图，连接AA′、BB′． ∵点A的坐标为（0，3），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′， ∴点A′的纵坐标是3． 又∵点A的对应点在直线y=x上一点， ∴3=x，解得x=4． ∴点A′的坐标是（4，3）， ∴AA′=4． ∴根据平移的性质知BB′=AA′=4． 故选C． 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化﹣﹣平移．根据平移的性质得到BB′=AA′是解题的关键． 11．（2004?荆州）如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（

①② ③④ ②④ ①③④ A．B． C． D． 考点： 平行线的判定． 分析： 欲证AC∥BD，在图中发现AC、BD被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件． 解答： 解：①AC=BD，不能判断两直线平行，故错误； ②∠DAC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确； ③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，故可得AB∥CD，故错误； ④∠ADB=∠CBD，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确． 故选C． 点评： 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 12．（2012?鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）

1 A．﹣1.5 B． C． ﹣1.5或2 D． ﹣0.5或﹣1.5 考点： 分式方程的解． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 去分母得出方程①（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案． 10

解答： 解：方程两边都乘以x（x﹣3）得：（2m+x）x﹣x（x﹣3）=2（x﹣3）， 即（2m+1）x=﹣6， 分两种情况考虑： ①∵当2m+1=0时，此方程无解， ∴此时m=﹣0.5， ②∵关于x的分式方程无解， ∴x=0或x﹣3=0， 即x=0，x=3， 当x=0时，代入①得：（2m+0）×0﹣0×（0﹣3）=2（0﹣3）， 解得：此方程无解； 当x=3时，代入①得：（2m+3）×3﹣3（3﹣3）=2（3﹣3）， 解得：m=﹣1.5， ∴m的值是﹣0.5或﹣1.5， 故选D． 点评： 本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，难度也适中． 13．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线MN交AB于D，AC于M．以下结论： ①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD． 正确的有（ ）

①② ①③ ②③ ③④ A．B． C． D． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理由AB=AC，∠A=36°可得到∠B=∠ACB=72°，再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质有∠ACD=∠A=36°，可计算出∠BCD=72°﹣36°=36°，∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°，则CB=CD，可对①进行判断；根据三角形的角平分线的定义可对②进行判断；根据DA=DC和 三角形周长的定义可得到△BCD的周长C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，则可对③进行判断；由于△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形， 可对④进行判断． 解答： 解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°， ∵AC的垂直平分线MN交AB于D， ∴DA=DC， ∴∠ACD=∠A=36°， ∴∠BCD=72°﹣36°=36°， ∴∠BDC=180°﹣∠B﹣∠BCD=72°， ∴CB=CD， ∴△BCD是等腰三角形，所以①正确； ∵∠BCD=36°，∠ACD=36°， ∴CD平分∠ACB，

11

∴线段CD为△ACB的角平分线，所以②错误； ∵DA=DC， ∴△BCD的周长C△BCD=DB+DC+BC=DB+DA+BC=AB+BC，所以③正确； ∵△ADM为直角三角形，而△BCD为顶角为36°的等腰三角形， ∴△ADM不等全等于△BCD，所以④错误． 故选B． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质． 14．（2010?孝感）双曲线y=与y=在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接OA，OB，则△AOB的面积为（ ）

1 2 3 4 A．B． C． D． 考点： 反比例函数系数k的几何意义． 专题： 压轴题． 分析： 如果设直线AB与x轴交于点C，那么△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知△AOC的面积=2，△COB的面积=1，从而求出结果． 解答： 解：设直线AB与x轴交于点C． ∵AB∥y轴， ∴AC⊥x轴，BC⊥x轴． ∵点A在双曲线y=的图象上，∴△AOC的面积=×4=2． 点B在双曲线y=的图象上，∴△COB的面积=×2=1． ∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣△COB的面积=2﹣1=1． 故选A． 点评： 本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|． 15．（2014?合肥模拟）把抛物线y=﹣x+x沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C1称为第一次操作，把抛物线C1沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C2称为第二次操作，…，以此类推，则抛

2

物线y=﹣x+x经过第2014此操作后得到的抛物线C2014的解析式为（ ） A．B． y=﹣ y=﹣﹣ 2

12

C．y=+ D． y=﹣+ 考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 规律型． 22分析： 经过第2014此操作后得到的抛物线C2014 与抛物线y=﹣x+x开口方向相同，相当于抛物线y=﹣x+x沿x轴向右平移2014个单位，再根据平移规律求解即可． 22解答： 解：∵经过第2014此操作后得到的抛物线C2014 与抛物线y=﹣x+x开口方向相同，相当于抛物线y=﹣x+x沿x轴向右平移2014个单位， ∵y=﹣x+x=2 ． ∴经过第2014此操作后得到的抛物线C2014的解析式为：故选D． 点评： 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换．关键是分析出经过第2014此操作后得到的抛物线C2014 与抛22物线y=﹣x+x开口方向相同，相当于抛物线y=﹣x+x沿x轴向右平移2014个单位． 二．填空题（共5小题） 16．（2009?宜昌）如果只用圆、正五边形、矩形中的一种图形镶嵌整个平面，那么这个图形只能是 矩形 ． 考点： 平面镶嵌（密铺）． 分析： 根据镶嵌的条件分别进行判断即可． 解答： 解：若干个圆不能在一个顶点处密铺； 正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺； 矩形的每个内角是90°，4个能密铺． 所以答案为矩形． 点评： 本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． 17．（2012?荆州）若与|x﹣y﹣3|互为相反数，则x+y= 27 ．

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组． 专题： 探究型． 分析： 先根据非负数的性质得出关于x、y的方程组，求出x、y的值代入所求代数式进行计算即可． 解答： 解：∵与|x﹣y﹣3|互为相反数， ∴，解得， ∴x+y=15+12=27． 故答案为：27． 点评： 本题考查的是非负数的性质，根据题意得出关于x、y的方程组是解答此题的关键． 18．（2006?孝感）如图，在一间教室内有一个长为2a（a＞0）米的梯子斜靠在墙上，梯子的倾斜角为60度．如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子的倾斜角为45°，则这间教室的宽AB的长度为 （a+a） 米．（结果不作近似计算）

13

考点： 解直角三角形的应用． 分析： 有两个直角三角形，即△AMP和△BM′P，梯子长度MP和M′P都是斜边，所求AB处在邻边位置，因此用余弦分别求出AP，BP即可求出AB． 解答： 解：在△AMP中，cos60°=， ∴AP==a． ， 在三角形BM′P中，cos45°=∴BP==a． ∴AB=a+a． 点评： 此题主要考查余弦函数定义，解题关键是把实际问题抽象到解直角三角形中来． 19．两张宽2cm矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分（图中的阴影部分）的四

2

边形ABCD的形状为 菱形 ，其面积的最小值为 4 cm．

考点： 菱形的判定与性质． 分析： 首先，四边形显然是平行四边形．然后根据平行四边形的面积表达式，高相等则底相等，即邻边相等，说明为菱形；因为菱形的面积公式为底乘以高，而高为矩形的宽是一定值，所以只有底最小时，则面积最小，而底的最小值为2，进而求出其面积． 解答： 答：菱形． 证明：如图，作DE⊥BC于E，BF⊥CD于F． ∵纸条对边平行，∴ABCD为平行四边形． ∵纸条等宽，∴DE=BF． ∵S?ABCD=BC?DE=CD?BF， ∴BC=CD． ∴ABCD为菱形， 故答案为：菱形； 2其面积的最小值为：2×2=4cm． 故答案为：4． 14

点评： 此题考查了矩形的性质和菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．利用了图形的等积表示法证明线段相等． 20．（2013?遵义）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为 号）．

（结果保留根

考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题． 分析： 若两个阴影部分的面积相等，那么△ABC和扇形ADF的面积就相等，可分别表示出两者的面积，然后列出方程即可求出AF的长度． 解答： 解：∵图中两个阴影部分的面积相等， ∴S扇形ADF=S△ABC，即：又∵AC=BC=1， ∴AF=∴AF=故答案为2=×AC×BC， ， ． ． 点评： 此题主要考查了扇形面积的计算方法及等腰直角三角形的性质，能够根据题意得到△ABC和扇形ADF的面积相等，是解决此题的关键，难度一般． 三．解答题（共7小题） 21．（2013?重庆）计算：

15

．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 压轴题． 分析： 分别进行乘方、绝对值、零指数幂、开立方等运算，然后按照实数的运算法则计算即可． 解答： 解：原式=﹣1﹣2+1×2+4=3． 点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、绝对值、零指数幂、开立方等知识，属于基础题． 22．（2013?遵义）已知实数a满足a+2a﹣15=0，求

2

﹣÷的值．

考点： 分式的化简求值． 分析： 先把要求的式子进行计算，先进行因式分解，再把除法转化成乘法，然后进行约分，得到一个最简分式，最后把a+2a﹣15=0进行配方，得到一个a+1的值，再把它整体代入即可求出答案． 解答： 解：﹣÷=﹣?=﹣2=∵a+2a﹣15=0， 2∴（a+1）=16， ∴原式==． 2， 点评： 此题考查了分式的化简求值，关键是掌握分式化简的步骤，先进行通分，再因式分解，然后把除法转化成乘法，最后约分；化简求值题要将原式化为最简后再代值． 23．（2013?锦州）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，另有一个可以自由旋转的圆盘．被分成面积相等的3个扇形区，分别标有数字1、2、3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去． （1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；

（2）你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公

平．

考点： 游戏公平性． 专题： 压轴题． 分析： （1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于4的情况，则可求得小颖参加比赛的概率； （2）根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平；使游戏公平，只要概率相等即可． 解答： 解：（1）画树状图得： 16

∵共有12种等可能的结果，所指数字之和小于4的有3种情况， ∴P（和小于4）==， ∴小颖参加比赛的概率为：； （2）不公平， ∵P（和小于4）=， P（和大于等于4）=． ∴P（和小于4）≠P（和大于等于4）， ∴游戏不公平； 可改为：若两指针所指数字之和为偶数，则小颖获胜；若两指针所指数字之和为奇数，则小亮获胜；P（和为偶数）=P（和为奇数）=． 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 24．（2013?遵义）2013年4月20日，四川雅安发生7.0级地震，给雅安人民的生命财产带来巨大损失．某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆，把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区．已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨；一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨． （1）若将这批货物一次性运到灾区，有哪几种租车方案？

（2）若甲种货车每辆需付燃油费1500元；乙种货车每辆需付燃油费1200元，应选（1）中的哪种方案，才能使所付的费用最少？最少费用是多少元？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）设租用甲种货车x辆，表示出租用乙种货车为（16﹣x）辆，然后根据装运的粮食和副食品数不少于所需要运送的吨数列出一元一次不等式组，求解后再根据x是正整数设计租车方案； （2）方法一：根据所付的费用等于两种车辆的燃油费之和列式整理，再根据一次函数的增减性求出费用的最小值； 方法二：分别求出三种方案的燃油费用，比较即可得解． 解答： 解：（1）设租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆， 根据题意得，， 由①得，x≥5， 由②得，x≤7， 所以，5≤x≤7， ∵x为正整数， ∴x=5或6或7， 因此，有3种租车方案： 方案一：租甲种货车5辆，乙种货车11辆； 方案二：租甲种货车6辆，乙种货车10辆；

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方案三：租甲种货车7辆，乙种货车9辆； （2）方法一：由（1）知，租用甲种货车x辆，租用乙种货车为（16﹣x）辆，设两种货车燃油总费用为y元， 由题意得，y=1500x+1200（16﹣x）， =300x+19200， ∵300＞0， ∴当x=5时，y有最小值， y最小=300×5+19200=20700元； 方法二：当x=5时，16﹣5=11， 5×1500+11×1200=20700元； 当x=6时，16﹣6=10， 6×1500+10×1200=21000元； 当x=7时，16﹣7=9， 7×1500+9×1200=21300元； 答：选择（1）中的方案一租车，才能使所付的费用最少，最少费用是20700元． 点评： 本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，找出题中不等量关系，列出不等式组是解题的关键． 25．（2013?襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形． （1）连结BE，CD，求证：BE=CD； （2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 60 度时，边AD′落在AE上； ②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；旋转的性质． 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数； ②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等． 解答： （1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形． ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE， 即∠BAE=∠DAC， 在△BAE和△DAC中， 18

， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE=CD； （2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°， ∵边AD′落在AE上， ∴旋转角=∠DAE=60°； ②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等． 理由如下：由旋转可知，AB′与AD重合， ∴AB=BD=DD′=AD′， ∴四边形ABDD′是菱形， ∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC， ∵△ACE是等边三角形， ∴AC=AE，∠ACE=60°， ∵AC=2AB， ∴AE=2AD′， ∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°， 又∵DP∥BC， ∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°， 在△BDD′与△CPD′中， ， ∴△BDD′≌△CPD′（ASA）． 故答案为：60． 点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定时提到过． 26．（2013?湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC． （1）求证：PA为⊙O的切线； （2）若OB=5，OP=

，求AC的长．

考点： 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP； （2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度． 19

解答： （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠B=90°． 又∵OP∥BC， ∴∠AOP=∠B， ∴∠BAC+∠AOP=90°． ∵∠P=∠BAC． ∴∠P+∠AOP=90°， ∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP． 又∵OA是的⊙O的半径， ∴PA为⊙O的切线； （2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5， ∴OA=OB=5． 又∵OP=， =， ∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA=由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°． ∵∠BAC=∠P， ∴△ABC∽△POA， ∴=∴=． ， 解得AC=8．即AC的长度为8． 点评： 本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键． 27．（2013?重庆）如图，已知抛物线y=x+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．

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考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题． 分析： （1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求2出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值； （3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组即可求出点P的坐标． 解答： 解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n， 将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入， 得，解得， ，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5； 2将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x+bx+c， 得，解得2， 所以抛物线的解析式为y=x﹣6x+5； （2）设M（x，x﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5）， ∵MN=（﹣x+5）﹣（x﹣6x+5）=﹣x+5x=﹣（x﹣）+∴当x=时，MN有最大值； 2222， （3）∵MN取得最大值时，x=2.5， ∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 2解方程x﹣6x+5=0，得x=1或5， ∴A（1，0），B（5，0）， ∴AB=5﹣1=4， 21

∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5， ∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30． 设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD． ∵BC=5， ∴BC?BD=30， ∴BD=3． 过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形． ∵BC⊥BD，∠OBC=45°， ∴∠EBD=45°， ∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6， ∵B（5，0）， ∴E（﹣1，0）， 设直线PQ的解析式为y=﹣x+t， 将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1 ∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1． 解方程组，得，， ∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）． 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键． 22

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