高等流体力学笔记第2讲

第二章 流体运动学 §2.1描述流体运动的两种方法

一、拉格朗日法（Lagrange methord）

从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。也叫质点系法。在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为：

?x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t) （2—1） ?z?z(a,b,c,t)?式中x,y,z为流体质点的轨迹座标值。a,b,c称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c的值不同t为时间变量。

式（2—1），当a,b,c为一组常数时t为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t运动的运动轨迹座标值轨迹线。当t为固定值，a,b,c为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。

流体质点的轨迹也可用向径表示：

r?xi?yj?zk?r(a,b,c,t)

对于某个确定的流体质点，其速度向量V可用向径随时间的变化率表示：

V?dF dt

对于不同质点的流体质点，a,b,c为变数所以速度向量应表示为r对时间的偏导数形式：

V??r?V(a,b,c,t) ?t在直角正交坐标系中速度向量的表达为： V?ui?vj?wk 其中 u??x?y?z，v?，w? ?t?t?t质点的加速度：

?V?2F?2?a(a,b,c,t) a??t?t a?axi?ayj?azk

?u?2x?v?2y?w?2z??? ax?,ay?,az? ?t?t2?t?t2?t?t2同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：

密度：???(a,b,c,t) 压力：p?p(a,b,c,t) 温度：T?T(a,b,c,t)

一般情况下所有的流体质点的物理量均可表示成：

B?B(a,b,c,t)

B可以是标量，如?,p,T,也可以是矢量如r,V,a可统一称为流体质点的物理量。 二、欧拉法（Euler methord）

从流动空间点为研究对象研究流体运动的一种方法，如叫作流场法。 在欧拉法中，流体物理量均为空间位置和时间的函数不再关注流体某一空间位置是何流体质点，因此流体的各种物理量均可表示为：

流速（场） V?V(x,y,z,t) 密度（场） ???(x,y,z,t) 压强（场） p?p(x,y,z,t) 温度（场） T?T(x,y,z,t) ??

在这里的表达式中(x,y,z)是流动空间位置的座标值。当(x,y,z)为定值时，上面式子表示这些物理量在某一固定的空间点上随时间t的变化过程。而当t为定值时，(x,y,z)为变数时，则表示某一物理量在某一时间在整个流动空间的“分布”情况。

上面的表达式也可用B统一表示：

B?B(x,y,z,t)

B为用欧拉法表示的流动空间点上的物理量，可以是标量也可以是矢量。在欧拉法中

(x,y,z,t)也称为欧拉变数。

三、欧拉变数与拉格朗日变数之间的相互转换

拉格朗日变数(a,b,c,t)也称为流体质点的标识符，其取决于起始时刻，流体质点所处的空间位置的座标值，因此用欧拉变数表示的物理量（空间位置的函数）与拉格朗日变量（质点起始状态所处空间位置的函数）表示的物理量可以进行相互转换。

1 将用拉格朗日变量表示的物理量转换为用欧拉变量表示的物理量。

即B?B(a,b,c,t)→B?B(x,y,z,t) 对用拉格朗日变量表示的轨迹座标方程：

?x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t)?z?z(a,b,c,t)?求逆变换可得：

（2—1）

?a?a(x,y,z,t)??b?b(x,y,z,t)?c?c(x,y,z,t)?

上式(x,y,z)表示质点a,b,c在t时刻所处的空间位置座标，将其代入拉格朗日变量表示的物理量B?B(a,b,c,t)后即可得出用欧拉变数表示的物理量： B?B(a,b,c,t)＝B?B(x,y,z,t) 式（2—1）逆变换存在的条件是，其雅克比行列式：

?x?a?(x,y,z)?xD???(a,b,c)?b?x?c?y?a?y?b?y?c?z?a?z?o或? ?b?z?c??a???则 ?b????c??Da?a(x,y,z,t)DDb?b(x,y,z,t) DDc?c(x,y,z,t)D2 把欧拉变量表示的物理量B(x,y,z,t)转换成用拉格朗日变量表示的物理量B(a,b,c,t)。

上面转换关键是要求出其迹线方程，并根据已知时刻a,b,c确定积分常数。 首先对欧拉变数表示的速度场： u?u(x,y,z,t)?dx dtdyv?v(x,y,z,t)?

dtdzw?w(x,y,z,t)?

dt求积分，得出其迹线方程：

x?x(c1,c2,c3,t)

y?y(c1,c2,c3,t) （2—2）

z?z(c1,c2,c3,t)

式中c1,c2,c3为积分常数，其可由已知或给定的初始时刻A=t0，的

a,b,c值确定，即c1?c1(a,b,c,to)，c2?c2(a,b,c,to)，c3?c3(a,b,c,to)然后将c1,c2,c3代入（2—2）式，再代入欧拉变量表示物理量B(x,y,z,t)后可得B(a,b,c,t)。

§2.2 流体的质点导数

质点导数：流体质点得物理量对时间的变化率.

拉法：在拉格朗日法中，因为所研究的对象即为流体的质点，故流体质点的物理量直接对时间的导数即为该物理量的质点导数，例如流体质点的矢径向量对时间求导即可得流体质点位移导数即质点得速度V?dFdV，而速度质点导数即流体质点的加速度a?。 dtdt欧法：在欧拉法中，因为其所研究的对象是流动空间，而不是流体质点本身，因此其流动物

理量的质点导数是由两部分组成。下面就以速度为例，看一下流体质点导数的表达形式及物理意义。

如图所示，在流体中相邻的两个空间点p,p?，若流体质点的速度分别为Vp,VP,则流体质点从P点运动到p?点，其速度的变化可表示为：

?

?V?VP??VP?V(x??x,y??y,z??z,t??t)?V(x,y,z,t)

该变化可展开为一阶的泰勒级数： ?V??V?V?V?V?x??y??z??t?o(?t2) ?x?y?z?t而 ?x?u?t，?y?v?t，?z?w?t

所以：?V=

?V?V?V?Vu?t?w?t??t?o(?t)2 v?t??x?z?t?y???i?j?k后可以表达为： ?x?y?z上式引入矢性算子：???V?(?V?V??V)?t?o(?t2) ?t同除?t然后求极限即可得出欧拉法表示的速度质点导数：

a?lim?V?VDV=+V??V= 即加速度。

?t?0?t?tDt从上面的推导可见，在欧拉法中，流体速度质点导数由两部分组成的，其中

?V称为时变加速度或当地加速度，是由于场量的非定常性 ?t引起的，对于定常运动其为零。

V??V称为位变加速度或迁移加速度，是由于场量的非均匀

性引起的，对于均匀流动其为零。

对其他的物理量，其质点导数具有类似的形式可统一表示成：

DB?BDB?=（+V??B）或=（+V??）B BDt?tDt?t量也可以是矢量

可以是标

式子

D?=（+V??）称为质点导数算子。 Dt?t在正交曲线坐标系中，质点导数算子的表达式为：

D???? ??V1?V2?V3Dt?th1?q1h2?q2h3?q3其中q1 q2 q3为曲线坐标值，V 1 V2 V3为各坐标的速度分量，h1 h2 h3为坐标变换中的拉梅系数。

在各个正交的曲线坐标系中其具体表达见下表： 坐标系 q1 q2 q3 V 1 V2 V3 h1 h2 h3 正交直角坐标系 x y z u v w 1 1 1 柱面坐标系 r ε z V r Vε Vz 1 r 1

球面坐标系 R θ ε V R Vθ Vε 1 R RSinθ §2.3 迹线、流线、流体线及其有关性质（流场的几何描述）

迹线的定义：流体质点运动的轨迹线。 迹线的轨迹坐标：x 拉格朗日法

?x(a,b,c,t)

y?y(a,b,c,t)

z?z(a,b,c,t)

欧拉法中迹线的微元长度dr应等于dt时段内，质点沿速度矢量V方向移动的距离： dr?V(x,y,z,t)dt

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