任意角和弧度制及任意角的三角函数 知识点与题型归纳

●高考明方向

1.了解任意角的概念．

2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

★备考知考情

1.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合， 考查三角函数求值问题．

2.三角函数的定义与向量等知识相结合， 考查三角函数定义的应用．

3.主要以选择题、填空题为主，属中低档题.

一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 角的概念

?按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(1)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.

《名师一号》P47 对点自测 1、2

1

注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题1、2

相等的角终边相同，终边相同的角也一定相等吗？ 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．

角的表示形式是唯一的吗？

角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x＝k·360°－90°，k∈Z}，也可以表示为{x|x＝k·360°＋270°，k∈Z}． (补充)

2、正角 > 零角 > 负角 3、下列概念应注意区分 小于90°的角；锐角；第一象限的角；0°～90°的角． 4、(1)终边落在坐标轴上的角 1）终边落在x轴非负半轴上的角 {x|x＝2kπ，k∈Z}

2）终边落在x轴非正半轴上的角 {x|x＝2kπ+π，k∈Z}

终边落在x轴上的角

{x|x＝kπ，k∈Z}

3）终边落在y轴非负半轴上的角

π

{x|x＝2kπ+2，k∈Z} 4）终边落在y轴非正半轴上的角

3π

{x|x＝2kπ+，k∈Z}

2

2

终边落在y轴上的角

π

{x|x＝kπ+2，k∈Z}

(2) 象限角 （自己课后完成）

知识点二 弧度的定义和公式

(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算： 360°＝2π弧度；180°＝π弧度； ②弧长公式：l＝|α|r；

11

③扇形面积公式：S扇形＝lr和|α|r2.

22

关键：基本公式?180??rad

《名师一号》P47 对点自测 3

注意： 1、《名师一号》P48 问题探究 问题3

在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？ 不能．在同一个式子中，采用的度量制度是一致的， 不可混用．

2、弧长公式与扇形面积公式

（扇形的圆心角为?弧度，半径为r）

3

?1lr 2(补充)（将扇形视为曲边三角形，记l为底，r为高）

知识点三 任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交

于点P(x，y)，则sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ (x≠0)． (补充)

1、广义的三角函数定义 弧长公式l?|?|r 扇形面积公式S?三角函数的定义让角?的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在角?的终边上任取一点，则角?的三角函数值如下：sin??y?ryx?y22cos??xx?rx2?y2tan??yx?x?0?OP?r?x2?y2?r?0?特别地，当OP?r?x2?y2?1时 2、各象限角的三角函数值符号规律： (补充)关键：立足定义 正弦……一二正，横为零 余弦……一四正，纵为零

sin??ycos??xtan??yx?x?0? 4

正切……一三正，横为零，纵不存在 3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）

知识点三 任意角的三角函数

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的 正弦线，余弦线和正切线

．

《名师一号》P47 对点自测 6

注意：

《名师一号》P48 问题探究 问题4

如何利用三角函数线解不等式 及比较三角函数值的大小？

(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的范围，然后再加上周期．

(2)先作出角，再作出相应的三角函数线，最后进行比较

5

大小，应注意三角函数线的有向性．

也可以利用相应图象求解

二、例题分析：

（一) 角的表示及象限角的判定

例1.《名师一号》P48 高频考点 例1 (1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

α

(2)已知α是第三象限角，求所在的象限．

2

【思维启迪】 (1)角的终边是射线，应分两种情况求解．

α

(2)把α写成集合的形式，从而的集合形式也确定．

2

解：(1)当角的终边在第一象限时，角的集合为

π

{α|α＝2kπ＋，k∈Z}，

3

当角的终边在第三象限时，角的集合为

4

{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}，

3

故所求角的集合为

π4

{α|α＝2kπ＋，k∈Z}∪{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}

33

6

π

＝{α|α＝kπ＋，k∈Z}．

3

3

(2)∵2kπ＋π<α<2kπ＋π(k∈Z)，

2

πα3

∴kπ＋<

224

πα3

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋π，

224

α

是第二象限角，

2

3πα7

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋<<2nπ＋π，

224

α

是第四象限角，

2

综上知，当α是第三象限角时，

α

是第二或第四象限角．

2

注意: 《名师一号》P48 高频考点 例1 规律方法

(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．

(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

7

（二) 弧度制的定义和公式

例1.《名师一号》P48 高频考点 例2

(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时， 才使扇形面积最大？

解：(1)设圆心角是θ，半径是r， ?2r＋rθ＝10

?r＝4，则???1?r＝1，??2θ·r2＝4???θ＝8(舍)，???θ＝1

2故扇形圆心角为1

2

.

(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.

S＝12θ·r2＝12

r(40－2r)＝r(20－r)

＝－(r－10)2＋100≤100，

当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2. 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．

《名师一号》P47 对点自测 4

注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法

8

1

1.弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．

2nπrnπr2

在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，

180360

此时n为角度，它们之间有着必然的联系． 2．在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理 应用圆心角所在的三角形．

（三) 三角函数的定义及应用

例1.《名师一号》P48 高频考点 例3

(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，

25

若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，

5

则y＝________.

25222解：(1)r＝x＋y＝16＋y，且sinθ＝－，

5

yy25

所以sinθ＝r＝＝－，

516＋y2所以θ为第四象限角，解得y＝－8.

《名师一号》P47 对点自测 5

(3)(2015·日照模拟)已知点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，则角θ是第________象限角．

9

解：(3)因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，

?sinθ>0，

所以sinθcosθ<0,2cosθ<0，即?

cosθ<0，?

所以θ为第二象限角．

※(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在

→的坐

x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP标为________．

解： (2)如图，连接AP，分别过P，A作PC，

AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC于D点， 由题意知BP的长为2.

10

∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2.

π

故∠DAP＝2－.

2?π?

∴DP＝AP·sin?2－2?＝－cos2.

??

?π?∴PC＝1－cos2，DA＝APcos?2－2?＝sin2.

??

→＝(2－sin2,1－cos2)．

∴OC＝2－sin2，故OP

注意：《名师一号》P48 高频考点 例2 规律方法 1.利用定义求三角函数值．在利用三角函数的定义求角α的三角函数值时，若角α终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．

2．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sinα，cosα，tanα)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．

3．与向量等问题形成的交汇问题，抓住问题的实质，寻找相应的角度，然后通过解三角形求得解．

11

练习：

若一个角α的终边在直线y??3x上， 求10sin??3的值。 cos?

答案：0

注意：立足定义是根本！

三角函数的定义是三角函数的基础，

由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系 及各象限角的三角函数值符号等。 利用三角函数的定义解题时应

先确定点的坐标及点的位置。

（四）以三角函数的定义为载体的创新问题 《名师一号》P49 特色专题

三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，但常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，且难度不大．

12

【典例】 如图所示，质点P在半径为2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0(2，－2)，角速度为1，那么点 P到x轴的距离d关于时间t的函数 图象大致为( )

ABCD

【规范解答】 用t表示出OP与x轴正方向所成的角，然后利用三角函数的定义得到d的函数表达式即可．

π

∵P0(2，－2)，∴∠P0Ox＝.

4

π

按逆时针转时间t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－.

4

由三角函数定义，知点P的纵坐标为

?π?2sin?t－4?.

??

??π??

因此d＝2?sin?t－4??.

????

13

π??π??

令t＝0，则d＝2?sin?－4??＝2，当t＝时，d＝0，

????4

故选C.

【名师点评】 解决本题的关键有以下两点： (1)结合圆周运动，准确理解题意，

π

根据三角函数定义，表示出d＝2sint－是关键．

4

(2)涉及函数图象判定问题，

结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途径．

练习:《名师一号》P49对应训练

如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为 1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A， 圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动， 圆被直线l2所截上方圆弧长记为x， 令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )

ABCD

14

解析 圆半径为1，设弧长x所对的圆心角为α，则

αx

α＝x，如图所示，cos＝1－t，即cos＝1－t，则y＝cosx

22

x

＝2cos2－1＝2(1－t)2－1＝2(t－1)2－1(0≤t≤1)．其图象

2

为开口向上，在[0,1]上的一段抛物线．

课后作业

计时双基练P241 基础1-11、培优1-4 课本P48-49变式思考1、2、3；对应训练

预习 第三章 第二节 同角三角函数的基本关系

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