高数AII（2012年A卷，含答案）

桂 林 电 子 科 技 大 学 试 卷

2011—2012 学年第 2 学期 课号

课程名称 高等数学AII （A卷; 闭卷） 适用班级（或年级、专业） 工科

考试时间 120 分钟 班级 学号 姓名 题 号 满 分 得 分 评卷人 一 12 二 12 三 18 四 35 五 18 六 5 七 八 九 十 成绩 100

一．选择题（每题3分，共12分）

??????1．已知向量a?1，b?2，a?b，则a?b?（ A ）

A．5 B．1?2 C．2 D．1

2．函数u?x2?y2?z2在点M1(1,0,1)沿（ C ）方向的方向导数最大： A．{1,1,1} B．{1,0,?1} C．{1,0,1} D．{?1,0,1}

xn3．幂级数?n的收敛域是（ B ）

5?nn?1?? A．(?5,5) B．[?5,5) C．[?5,5] D．(?5,5]

4．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导，又

fx(x0,y0)?0，fy(x0,y0)?0，fxx(x0,y0)?fyy(x0,y0)?(fxy(x0,y0))2?0且 fxx(x0,y0)?0，则z?f(x,y)在点(x0,y0)处有（ B ）

A．极大值 B．极小值 C．可能取得极值也可能不取极值 D．必不取得极值

二．填空题（每小题3分，共12分） 1．函数z?3xy?2x，则dz? . y答案：(6xy?1x)dx?(3x2?2)dy yyx?1y?3zx?3y?3z?1????与垂直，则参数t? . 21?1?2t12．已知两直线答案：?1

2??z?1?x3．平面曲线?绕z轴旋转一周所得旋转曲面方程为： .

??y?0答案：z?1?(x2?y2) 4．已知级数

?nn?1??1k发散，则k的取值是 . 答案：k?1

三．计算题（每小题6分，共18分） 1．设直线L1:x?1y?5z?8??，L21?21?x?y?6，求两直线的夹角. :?2y?z?3??解：设两直线的夹角为?．记L1的法向量n1?(1,?2,1)，L2的法向量

n?n?1?2?2?1n2?1?10?(?1,?1,2)，从而得： cos??12??，

n1?n21?4?1?1?1?42021所以??ijk?3. 解毕.

2．函数z?z(x,y)由yz?zx?xy?3所确定，求

?z?z，（其中x?y?0）. ?x?y解：将方程yz?zx?xy?3两边同时对x求偏导，得

yzx?z?xzx?y?0，解得zx??y?z，（x?y?0）； x?y类似地，将方程yz?zx?xy?3两边同时对y求偏导，得

yzy?z?xzy?x?0，解得zy??23x?z，（x?y?0）. 解毕. x?y?3．求函数f(x,y,z)?xy?yz在点(1,2,1)处沿着向量l?{1,2,5}的方向导数.

解：由已知得fx(x,y,z)?y2，fy(x,y,z)?2xy?z，fz(x,y,z)?3yz2， 从而fx(1,2,1)?4，fy(1,2,1)?5，fz(1,2,1)?6.

3??又l?{1,2,5}方向上的单位向量为el?11?4?25(1,2,5)?(130,230,530),

从而所求方向导数为

?f?l?4?(1,2,1)130?5?230?6?530?2230. 解毕. 15四．解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．计算二重积分

??xdxdy，其中D是由xD122?y2?1围成的闭区域.

解: 用极坐标计算, 原式??2?011?1?d???cos???d??4?2cos2?d???3d??4?(?)??. 解毕.

000224422?2．计算曲线积分

?(xL2?xy)dx，其中L为抛物线y2?x从O(0,0)到点A(1,1)的一段弧.

解: 直接计算法,

111154(y?y?y)?2ydy?2(y?y)dy?2?(?)?. 解毕. ?0?065151223．求抛物面壳z?(x?y)(0?z?1)的质量，设面密度函数为

2原式?1421?(x,y,z)?11?x?y22

解: 记曲面?:z?12(x?y2)(0?z?1), 它在xOy面的投影区域为2D?{(x,y)|x2?y2?2}（图略）. 根据第一类曲线积分的物理意义, 所求质量

M????11?x2?y2??dS???D11?x2?y2?1?x2?y2dxdy???dxdy?2?. 解毕.

Dn24．判定级数?n的敛散性.

n?15un?1(n?1)25n1解: 由正项级数的比值判别法, 因为lim?limn?1?2??1,

n??un??55nn 所以原级数收敛. 解毕.

5．将函数f(x)?e?x展开为x的幂级数. 解: 因为e?x21nx, x?(??,??), ?n?0n!?? 所以e?x2??1(?1)n2n2n??(?x)???x, x?(??,??). 解毕.

n!n!n?0n?0

五．解答题（每小题9分，共18分）

1．验证在整个xOy平面内(siny?x)dy?(y?x)dx是某个二元函数的全微分，并求出这样一个函数.

2解: 记P(x,y)??(y?x), Q(x,y)?siny?x, 则在整个xOy面内有

2?Q?P??1?, ?x?y 从而存在xOy面内的二元函数u(x,y), 使du?(siny?x)dy?(y?x2)dx. 事实上, u(x,y)? ???(x,y)(0,0)x(siny?x)dy?(y?x2)dx

y00x2dx??(siny?x)dy

x3?1?cosy?xy, 即为满足条件的一个函数. 解毕. ?32．计算

??zxdydz?xdzdx?ydxdy，其中?为圆柱x?2?y2?a2(0?z?h)的全表面，

指向外侧.

解: 利用高斯公式求解本题, 记圆柱x2?y2?a2(0?z?h)为?. 则 原式????(z?0?0)dV???2?0d???d??0ah01212?a2h2zdz?2??a?h?. 解毕.

222六．证明题（本题5分） 设F(t)?x2?y2?z2?t2???f(x2?y2?z2)dv，f(u)为连续函数，f'(0)?1，f(0)?0，试证：

?F(t)ln(1?4?t)?lim?5??0. 5t?t?0e?1??t解: 本题采用球面坐标计算三重积分(课本带”*”号内容, 以前大纲要求, 现不作要求), 由已知, F(t)?x2?y2?z2?t2???f(x2?y2?z2)dv??d??d??f(r2)?r2sin?dr

0002??t ?4???t0f(r2)?r2dr.

t224??f(r)?rdrF(t)ln(1?4?t)4?t???0 从而, lim?5? ?lim?lim5t5?t?0t?0t?05te?1?t?t4??f(t2)?t24?4??f(t2)4??lim??lim? t?0t?0555t45t24?f'(t2)?f(0)4?4??f'(0)4????lim? 2t?05555t?

4?4???0. 证毕. 55

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