l电磁散射与辐射问题中的混合基函数矩量法

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第 l 9卷第 4期 20 0 3年 l 2月文章编号： 0 -12 2 0 0 - 144 1 56 2 (0 3)40 5 ) 0 0

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Vo . 9 No 4 11 . De . 0 3 c2 0

电磁散射与辐射问题中的混合基函数矩量法华夷和徐金平( .南京航空航天大学信息科学与技术学院，京 20 1; 1南 10 6

2 .东南大学毫米波国家重点实验室，南京 20 9 ) 10 6摘要：三维散射与辐射问题通常采用电场积分方程( FE) E I结合矩量法 ( M) Mo求解 .而基函数是决定矩量法

精度和效率的重要因素。本文针对采用三角形网格剖分会引起未知元过多而采用四边形网格剖分会因为网格质量

变差而影响计算精度的问题，出一种基于三角形与四边形混合网格的混合基函数，提应用于散射体 R S和天线阻抗 C特性计算。结果表明，相比于三角形剖分，混合基函数能够在减少未知元个数的同时获得较高的精度：另外也解决了基于单纯四边形网格的基函数在网格质量较差的情况下不能准确模拟表面电荷的问题。关键词：混合基函数 .电场积分方程，矩量法

Ap i a i n o y r d Lo a ss Fu c i n i o e e h d pl to fH b i c lBa i n to n M m ntM t o c

f r S a t rn n d a i n Pr b e s o c te i g a d Ra ito o lmHu h’ Xu Jn i g a Yi e ip n,

( .C lg n r ai c nea dTcnl y N A N n 10 6 1 oe eo f m t nSi c n eh o g, U A, a g20 1; l fI o o e o 2 t e e aoaoyo lm t ae,otes U i r t, aj g20 9 .Sa yL brt tK r fMii e r vsSuhat nv sy N ni 106) l eW ei n

A src: T esa e n n a i i rd t n o 3 bet aeo e ra dwt FEMo, hr ebs b tat h (t r gadrda o pei i f D ojc r f nt t i E I - M w eet ai ti tn co s t ee h h sf n t n i o e o

e i o t n a tr f ci g t e a c r c n f ce c ft e meh d Wh n t e s a e o e t re s u c i s n ft o h mp r tfco sa e t h c u a y a d e i n y o h t o . a n i e h h p ft a g ti h mo e c mp e r o lx.i b c me r i iu tt e e ae p r ra ge o u d a g l rme h s w t ih q i n o q a t y t e o s mo e d f c l o g n r t u e t n l r q a r n u a s e h hg ￣d t a d lw u i i i i y n t

t a p c al u t o me tme h .A e i d o y rd lc a i f n t n b e n mi e -t l s e sp e e t d t h ts il s i f rmo n t o e y d n w k n fh b o a b ss u ci a d o x d s e me h s i r s n e i l o s y oal vae te p lm.I C s s d i h a e o l e a t n a u td o emea a r rS a e atc me t a t l it mb e e h t a a o b u e n t e c f i n e n mo ne n t tl ri O t t t h n r n l e s n s h c e h t h a p C i ltd b o d b h v d t a ge at c me tb i f n t n a d te o h r p r o e( R ir c i l t y n e a b smu a e y g o . e a e r n l t h n a s u ci n h t e a t f t￣ Te a b smua e b i a s o h n e d u d g l h b i b ss u ci n o d r t e u e t e n mb r o n n w s h a it q a r n ua/ y r a i f n t n i r e o r d c h u e fu k o n .T e r d ai n a d s at r g p r mee s o a r d o o n c t i a a tr f en s me c mp e h p d s mp e e c c lt d o o lx s a e a ls a a u ae .T e a c r c n f ce c ft e p o

o e p ra h a ed mo sr t d b u r l h c u a y a d e in y o h r p s d a p o c r e n tae y n。 i me c e ut . i l r a rs l s Ke r s: Hy r o a a i f n t n, I Me h fmo n y wo d b d lc b s u ci EF E, t o o me t i l s o d

1引言矩量法是计算电磁学领域中的一种经典方法。 早期人们使用线网格 ( rgi)型计算目标电磁 Wi r模 e d特性[。8代初， R o等提出了著名的三 1] 0年 SM a角屋顶基函数 ( f n of pB s uci s。 T a￣eR oo ai F ntn ) i t s o同年 . e m n等使用平面四边形单元和正弦 EH N w a屋顶基函数也获得了很好的结果[,且在模拟平 4并]面散射体时 .在相同的精度要求下，它所需要的未知

元的个数更少。随着计算机硬件水平的提高以及高速发展的计算机图形学所提供的实体建模与网格生成技术，合并行算法与快速多极子 ( MM)或多结 F 层快速多极子算法 ( F ML MA)的矩量法已经能够 ]解决相当大型的电磁问题。然而矩量法通常要求电尺寸为 11长左右的均匀网格，/0波若采用基于传统的三角剖分规则 .则生成的网格数目太大； P v g而 ai n

方法…四边形剖分常常不能生成较高质量的网格，低质量的四边形网格又会导致对电荷模拟的不准

收稿日期：0 2 1.0定稿日期：0 20 -7 20 .23; 20 -32基金项目：国防科壬重点实验室基金项目( 4 0 0 0 K 2 1芝 5 4 7 3 11 0 0 ) 1 H

— 1丽圈r—r

…——厂

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确。因此企图生成数量少质量高的同种网格来分别适用前述两种基函数以解决电磁问题都有其各自的困难。另外一种情况是研究载体上的天线特性一般要将连接处 ( tcmet图 1混合网格划分 at h n) a

求解方程 ( )得到电流展开系数， 4,获得金属体

表面各处的感应电流密度，而可求得所需的各种进电

磁参数。

3混合基函数的构造

作单独处理，果使用四边形单元，如已有文献表明在,

处理上或者不够精确[,者较为复杂 _,使用 8或] 9而]三角形单元则有成熟的算法 l。样， 1。这。我们考虑不妨把两种网格结合起来，挥各自的长处。Zek发 in—i i e c w a方法¨¨在生成四边形网格的过程中会夹杂

,

㈣

退化网格(即三角形，如图 1所示 )但网格质量较。高。本文利用这一特点，定义在不同形状网格单将元上的基函数结合起来，立了一种混合基函数形建式，于复杂形状散射体的 R S计算和金属载体上用 C线天线的输入阻抗计算，到减少内存并获得较高达

为其面积，为 T的公共边，为 T￣J自由点 l P A￣-

出发的矢量。其电荷密度上 r∈

:上v .:,

计算精度的目的。2

I一

,

,

是匀布。均分的

在完全导电的金属物体表面。电场满足：×(+ )=0 () 1

式中 i表示外界的激励。表示在激励下的金属

表面的感应电流所产生的场，五表示金属表面的单位法向量。而感应电流产生的场又可以用下式表示：图2定义在三种向兀上的基函效

:一 k ( G r,)s jT .,) (, d I, J 一( 。,,) vc rr ) s V ., ) (,td (一

文献[2给出的一次参数曲面上的线性基函 1] 数定义在图 2 b所示的四边形面元对上，函数形 ()其() 2式为：

I一I r一

式中 G(,t rr )

是三维空间的格林函

,:

j:口’一’×’ 口卜 一，

f _

’,∈ ,’

( 6 )

数。k为波数，为真空中波阻抗。 为了能对复杂的目标进行分析，用电流的分采域基函数展开： 式中口.

r

=

(r O, 。其相应的电荷密度= O/ u )

J=∑,

() 3

上

J .卜高

’∈不备匀布性 具均分特。,,

式中是展开系数，可以是线电流基函数、电 面

流基函数或线天线与载体连接处的基函数等各种形式。将式 ( )人式 ( )并使用 G lri

求解， 2代 3, a kn法 e 可以得到矩阵方程：

该式表明，四边形网格的某一条边特别短时，边当该

附近的电荷密度就会很大，这是不符合实际情况的，

z J E=一 c m

nm=1…, ,,~

() 4

其中 z=< ( ) ( ( ) E=< ( ) ,, ,)>, ' m ,,‘,>,,g ( )<,>代表内积。

在计算时会带来误差。但是在对自由曲面的纯四边形网格剖分以及用四边形处理天线与载体连接处基函数时，个问题不可避免 (见图 3 a )这参 ()。

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第 l 9卷第 4期

华夷和等：电磁散射与辐射问题中的混合基函数矩量法

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体可表示为图 3(b)形式。图中线天线长设0 4 1,分 6段。接地平板边长为 0 9 4按每 .2划 r n . 1m。

边长 1剖分。全部用三角形网格剖分。上未 0段若面知元有 2 0个； 8仅对馈源连接处采用三角剖分。面则

上的基函数仅 14, 8个馈源处采用文献[0给出的 1]基函数。图 4示出了该结构在 10 z一20 3 MH 1MHz频段内两种剖分方式下输人导纳的计算结果。者两当四边形网格中存在含有特别短边的四边形几乎没有区别。

或者三角形时，然式 (描述的传统的基于四边虽 6)形网格的基函数仍然可以用于计算。是模拟结果但

却不准确。文献[2详细描述了在四边形网格剖 1]分质量变差的情况下模拟表面电荷分布时存在的不

∞

\

曲

足(文献[2之图 4, 1] )指出可以使用高阶基函数来解决这一问题。但是采用高阶基函数会带来计算上的复杂度。我们认为。当四边形面元中最长边与最短边之比超过 2 0时，以通过网格优化算法将短边可缩成一点。此面元退化成三角形。在新的网格中。将 四边形或者三角形的质量都是好的。此时在不同种类的面元上采用不同的基函数。可避免在三角形则面元上产生不正确的电荷分布。 图 2 C表示 1三角形和 1个四边形组成的 ()个面元对。其上建立混合基函数：在

<擦

10 3 10 4 l0 5 1 0 1 0 6 7 10 8 1 0 2 0 2 0

9 0 1

频率/ z MH

图 4平板上天线输入导纳两种基函数的计算结果

懈

㈣㈣删

图 5 a所示金属体由一个边长为 0 3的立方 () .m体切掉 8个角。面的边长为 0 0 0 m。后在立方切 .7 7然体原来每个面的中央生长出 1个边长为 0 0 m的 .5金字塔形尖角。图 5 b给出了该金属体在 3 0 Hz () 0M

沿一方向传播的平面波 ( z电场矢量沿方向 )照射下的 E面双站 R S.用三角面元基函数，知元 C使未

i∈一 f,或 ,一Q南一 p厂：

f I一

',

( 7 )

一

,

式中四边形部分相比式 ( ) 6增加了系数 Z公共边长 (度 )以使新的基函数具有局部连续性[且在整个 . I,面元对上电荷总量为 0即不引入虚假电荷。使用，混合基函数不但能解决上述电荷分布模拟的精确度

问题 .而且由于在同样的剖分密度下，所需四边形的个数比三角形少，用混合基函数能同时兼顾到具采体目标的网格剖分质量和密度，而可引入更少的从未知元。目标表面经过剖分后，处究竟采用何种某基函数取决于位于此处的边所连接的两个多边形的形状。o( )/。 () b

4数值计算实例将图 3 a中的天线用线天线模拟，天线及载 ()则

图 5复杂金属目标在 30 Hz 0 M平面波照射下 E面双站 R S C

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丁飘翻r—T

一

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个数为 28而使用混合基函数未知元个数为 12 2, 3,几乎只有前者的一半。从图中可以看出，者的结两果非常一致。

参

考

文

献

(] JH Rcm n .A wr一 oe frsa e n ycn 1 ih o d i d m d l o ct r gb o— e tid ci g b d e . I EE r n . An .& P o . 9 6.1 u t o is n E T a s t r p,1 6 4

图 6 a表示一个立方体上的线天线。立方体 ()边长为 10 m,天线长为 6 mm。线天线位于立 0m线 0(] 2 (] 3

( ) 7 2~7 6 6:8 8R F Ha r go . F ed C mp t t n b me tM

e h s ri tn n i l o u ai y Mo n t o . o dNe Yo k:M c iln, 1 8 w r M la 96

方体上表面中央，个结构置于无限大接地平面上。整 本文采用镜像法模拟接地平面， 6(给出了在图 b) 10 Hz~ 20 Hz段范围内的本文计算的天线 .G .G频输入导纳与文献[3计算结果的对比，图中可以 1]从看出，者相当吻合。以上计算实例说明本文方法两是可靠的。

S M o D R W i o Ra, h n.A W l s n Elcr ma n t Gi o . et s o g ei c s at r g b u fc s o r i ay s a e I E r n . c t i y s ra e f a bt r h p . E E T a s en r

An.& Po. 1 8,0 3: O 4 8 t r,9 2 3 ( ) 4 9~ 1 p

(] 4

E H Ne ma w n,P T l ah .A u fc ac d e 0 0 uy ta a ra e p t h mo lfrp . 1 g n l p ae . I E r n . An .& P p. 9 2,3 y o a l ts EE T a s t o r,1 8 0

( ) 5 8~5 3 4:8 9

(] 5

Ro ad C i n,V a i rRo h i n l of ma l d mi k l n,S e h n Gre g r . t p e e n a d T e f s mu i o emeh d f r e w v q ai n d s h a t h p l t o a e e u t:a p e— o t h o e t a r s r t n I E An e n sa d P p g t n Ma a i r n p e c p i . EE tn a n r a a i g— i o o o

z e 1 9,5 3: i, 9 3 3 ( ) 7~1 n 2CC e mu t e e lo t l i h o f o vn (] C C L 6 u.W h w. A li v l ag r m r s l igb u d r— a u c t rn . Mi r . Op . T c . L f. o n ayv le sat ig e c o t eh et,

1 9 7 1:6 4 0 9 4, ( 0) 4 6~ 7

(] 7

B a k rT D.P vn lc e a ig:a n w a p a h t u o td q a - e p r c a tma e u d o o

i trlmeh gn

rt . n . me. r aea s e eain It J Nu r Meh E g, l o s . n .1 91. 9 32: 1—8 81 47

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N b a e J E Ha s n.N E J n e .C mp t t n o C Al e s n. n e e s n o u i f a or d a in fo w r ne n n c n u t g b d e . I E a it r m ie a tn a o o d ci o i s EE o s n

T a s n.& P p,9 4 2 ( ) 2 0~ 0 rn .A t o r . 1 7, 2 2:0 2 5\

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(] 9

I rhi T k n, Ne ma .Me o fmo n o u in b a m e i E H w n h t d o me t l t s o fra w r t c e o a b t r a e e u fc . I E 0 i at h d t a i a y fc t s r e EE e a n r r d s

一<簿

T as n.& Po . 19,6 4)5 9~52 r .A t a rp,9 84 (:5 6

( 0 1]

S U Hw u,D R W i o . E e to g ei c t rn d ln t l cr ma n t S ati g a c e n Ra it n y d ai b Ar i ay o f u a in o C n u t g o b t r C n g r t s f o d ci r i o n B is a d W i s d o e n r,S n D e o S t i e s y,T c . e a i g t e Un v ri a t e hRe p. 8 1 7— 7, Ma 1 98 y, 9

l 0

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1 . 6

1 . 8

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f1 0 C Z e k e i a P i i s 1 in iw c .D V h l p .An a tmai s e— 1 l u o t me h g n cea in s h me fr pa e a d c r e u f c sb s p r rt c e l o o n n u v s ra e y io e i d—

频￣/ H Gz

me r r i a e .I t . N me .Me h t c o d n ts n .J i u r s .E g 1 71 3: n ., 9,

图 6置于无限大接地平面上的载体上的线天线输入导纳计算结果对比

f 2 11

51~ 5 8 9 2

B a k K ln zj.O elc l o t

u u r— r n o M ou d i a n t o al c ni o sf mu h y n olt n o u f c o b es EE r n . An .& P p ai fs ra e d u l t.I E T a s o t o r ..

5结论本文针对形状复杂物体使用矩量法求解电磁散射时使用单一三角形单元和相应基函数产生未知元个数过多，使用单一四边形单元又难以生成高质而量网格的问题，以及在计算复杂载体上天线辐射时如何方便精确地处理馈源处的基函数同时又要求在载体表面产生较少网格的问题，出使用混合网格提并建立了相应的混合基函数。数值计算的结果表体时，以在保持精度的前提下，大程度地减小基可较函数的个数，而减小未知元的个数。因此，方法从该是有效和精确的。

19,6 1 ) 17 9 8 4 ( 2:89~18 83

[ 3 1]

S Bh t c a y . o g. W i o . at h r a S L n D l n a t

e i p ti e a c n u mp d n e

o n p l n e n u td o u i a o d ci g fa mo o o e a t n a mo n e n a c b c lc n u t n

o .IE r .A t bx E E T as n.& P p .9 7 3 (:5 a o r . 18,5 7) 7 6~76 2

华夷和男， 7年生， 15 9南京航空航天大学信息科学与技术学院博士研究生。主要研究方向：电磁兼容，磁散射与电辐射。E— i:h a i e 1 3 n t ma l u y h@ 6 . e

晌.采用这种混合形式的基函数，在模拟复杂形状物 徐金平男， 6 1 2年生， 9东南大学毫米波国家重点实验室教授、博士生导师。主要研究方向：天线与电磁兼容，算电计磁学 .电磁散射，米波理论与技术。毫E. i:ix@ su e u c mal p u e . d . a

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