欧拉稳定推导

第三章 压弯构件的失稳

轴力偏心作用的构件或同时受轴力和横向荷载作用的构件称为压弯构件。由于压弯构件兼有受压和受弯的功能，又普遍出现在框架结构中，因此又称为梁柱。

钢结构中的压弯构件多数是截面至少有一个对称轴，且偏心弯矩作用在对称平面的单向偏心情况。对单向偏心的压弯构件，有可能在弯矩平面内失稳，即发生弯曲失稳；也有可能在弯矩作用平面外失稳，即弯扭失稳。其弯曲失稳为第二类稳定问题，即极值点失稳；其弯扭失稳对理想的无缺陷的压弯构件属于第一类稳定问题，即分支点失稳，但对实际构件则是极值点失稳。

对理想的两端简支的双轴对称工形截面压弯构件，在两端作用有轴线压力P和使构件产生同向曲率变形的弯矩M，如果在其侧向有足够的支撑 (如图3.1（b）)，构件将发生平面内的弯曲失稳，其荷载―挠度曲线如图3.2（a）中曲线a，失稳的极限荷载为Pu，属于极值点失稳。

图3.1 两端简支理想压弯构件 图3.2 压弯构件荷载变形曲线

如果在侧向没有设置支撑（如图3.1（ｃ）），则构件在荷载P未达到平面内极限荷载Pu时，可能发生弯扭失稳，即在弯矩作用平面内产生挠度v，在平面外剪心产生位移ｕ，并绕纵轴产生扭转角?（如图3.１（ｄ）），其荷载－变形曲线如图3.2（b）中曲线b，属于分支点失稳，失稳的分荷载为Pyw, ，且Pyw

弯曲失稳一般在弹塑性阶段出现，而弯扭失稳可能发生在弹性阶段，也可能出现在弹塑性阶段。

3. 1 压弯构件平面内失稳

对压弯构件，当弯矩作用平面外有足够多支撑可以避免发生弯扭失稳时，若失稳则只可能发生平面内弯曲失稳。

当用弹性理论分析理想压弯构件的荷载挠度关系，可以得到图3. 3中的二阶弹性曲线b，它以轴心受压弯构件的分岔点荷载PE 处引出的水平线a为渐近线。

实际压弯构件存在初始缺陷(残余应力﹑几何缺陷)，材料为弹塑性体。如按弹塑性理论分析，荷载挠度曲线将是图中曲线 OABC。曲线上A点标志着杆件中点截面边缘开始屈服，对应的荷载为Pe，随后塑性向截面内部发展，构件变形快速增加，形成OAB上升段，构件处于稳定平衡状态；B点为曲线的极值点，对应的荷载Pu为构件在弯矩作用平面内失稳的极限荷载；到达B点以后，由于弹性区缩小到导致构件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度，出现下降段BC，构件处于不稳定平衡状态。由失稳全过程可以看出实际压弯构件在弯矩作用平面内的弯曲失稳属于二阶弹塑性分析的极值点失稳，不能用弹性理论和平衡微分方程求解极限荷载Pu，而可用数值积分法通过得出荷载挠度曲线后求得极限荷载。

压弯构件平面内弯曲失稳的弹性分析虽然不能求出极限荷载，但它是弹塑性分析的基础，因此有必要先研究压弯构件平面内弹性失稳。

图3 .3 压弯构件荷载挠度曲线

3.1.1 压弯构件平面内弹性弯曲性能

在第二章讨论初始几何缺陷对轴心受压构件稳定性能的影响时，对图2.13所示有偏心的轴心受压杆已作过分析，即当作偏心压弯构件得出了荷载P与构件中点挠度δ之间的关系曲线。从式(2.48)中可以看出，若假设材料是无限弹性体，则当δ→∞时，P→PE，即临界荷载P以欧拉荷载PE为极值。然而实际材料都是有限弹性的，由于压弯构件平面内弯曲失稳时，构件为弹塑性工作状态，因此弹性分析只有理论意义。

下面仅讨论两端铰接受轴向压力和平面内横向荷载共同作用的弹性压弯构件的内力与变形性能。

1. 横向均布荷载作用的压弯构件

图3.4(a)所示为在均布荷载q作用下两端铰接的压弯构件。假定材料完全弹性，取图3. 4(c)所示隔离体，在距左端x处截面的内力矩Mf??EIy??，外力矩Me?Py?qx?l?x?2，平衡方程为

EIy???Py?qx?l?x?2

令k2?PEI，则

y???k2y?qx?x?l? （3.1） 2EI方程 (3. 1)的特解可写作y?c1x2?c2x?c3，代入方程( 3. 1 ) ，有

?Pc1?q2?x2??Pc2?ql2?x?Pc3?2EIc1?0

上式是恒等式，故

c1=q∕(2P) ，c2= －ql∕(2P) ,c3= －EIq∕P

方程( 3. 1 )对应的齐次线性方程 y″+ky =0 的通解可写作 y =Asin kχ+Bcos kχ，则方程( 3. 1 ) 的通解为

y= Asin kχ+Bcos kχ+ qχ∕(2P)－qlχ∕(2P)－EIq/ P （3.2） 由边界条件 y(0) =0 , y(l)=0 得

2

A= EIq∕P · tg (κl∕2) ， B=EIq∕P

2

2

2

2

2

则

y?q?klqx??l?x? （3.3） tgsinkx?coskx?1???42kEI?2?2kEI构件在x?l2处有最大挠度 ymax， 令 u?kl2，可得

ymaxql4?1?cosu?ql4? ???16EIu4?cosu?32EIu2 =

?12?2secu?u2?2??y0?? 45u??（3.4）

式中：y0?5ql4?384EI? 支梁的最大挠度，即当

得的最大挠度。式( 3. 4 ) 轴线压力后最大挠度的放

是均布荷载作用下简P=0时，由式( 3. 4 ) 求中括号内的值为考虑大系数。

图3.4 均布荷载作用的压弯构件

将secu展开成幂级数，有

156162778secu?1?u2?u4?u?u??

2247208064式中

u?则式( 3. 4 )可写成

kll?22P??EI2PPE

ymax?y01?1.034?PPE??1.0038?PPE????y02??1

1?PPE=

（3.5）

式中Am?1/?1?P/PE?是最大挠度的放大系数。

构件中点的最大弯矩为

?1.028PPEMmax?ql28?Pymax?M0??1?1?PPE?Amy0

?mM????1?PP?AmM0 （3.6） ?E式中M0?ql28是均布荷载作用下简支梁跨中的最大弯矩；?m为等效弯矩系数；Am为弯矩放大系数，用以考虑轴压力P产生的二阶效应。

2. 横向集中荷载作用的压弯构件

由图3.5（c）知，当0

EIy???Py??Qx2

令k2?P(EI)，则

y???k2y??Qx?2EI? （3.7）

通解为

y?Asinkx?Bcoskx?Qx(2P)

引入边界条件y?0??0，y??l2??0,得B?0,A?Qsec(kl2), 则通解 2Pky?Q?kl??secseckx?kx? （3.8） 2Pk?2?令u?kl2,当x?l2时，跨中最大挠度为

QlQl333?tgu?u??tgu?u???3?tgu?u??y0 ymax? （3.9）

4Pu48EIuu3式中y0?Ql3?48EI?是集中荷载Q作用在跨中时简支梁的最大挠度，3?tgu?u?u3是有轴压力作用时最大挠度放大系数。

将tgu展成幂级数

tgu?u?u33?2u515?17u7315??

将u?kl2?可改写为

?2?PPE代入，则式( 3. 9 )

图3.5 跨中集中荷载作用的压弯构件

ymax?y01?0.987?PPE??0.986?PPE????y02??1 （3.10）

1?PPE式中1?1?P/PE?为最大挠度放大系数。

塑性区出现第一种情况的条件是图3.7 d中截面受拉侧的应力?t??y，由式( 3. 18 )可以得出

he?1?PuPyh （3.31）

也可写作

PuPy?M （3.32）

????3My1?PuPy2) 第2种情况：塑性区同时出现在受压、受拉区（图3.7 e） 出现第2种情况的条件为

PuPy?M3M y?1?PuPy? 根据图3.7g所示的应力分布，可以分别列出轴线压力和力矩平衡方程

P?Pybhe?y?2bc?y M?P??bhe?y?h2?he3?c??2bc?y?h2?c2? 由应变图3.7f知曲率

??2?y?2h?2?yeEh?? el2 联立式( 3. 34) ﹑( 3. 35 ) ﹑( 3.36 )可得到P与?之关系

? ?2{h?1??P?2??M?P?24??????Py????l4?y ?P}?3h?4E y由极值条件

dvdP?0，得 ??P3P?h???P?2y??????2?1?????2M? ?? ??Py?Py?将式( 3. 38 )代入式( 3. 37 )，整理后得

22 Pu??EIx[1???Pu?3l2????2M] ?Py?3My由式( 3. 36 ) ﹑( 3. 38 ) ﹑( 3. 39 )得到

h2Me?h1??PuPy?2?3M y则式( 3. 39 )可以写作

3 P?2EI?2EIu?x?he?exl2??h???l2 式( 3. 41 )与式( 3. 30 ) 的表达形式一致。

3.33）

3.34）

3.35） 3.36）

3.37） 3.38） 3.39） 3.40） 3.41）

（ （ （ （ （ （ （ （ （

关于压弯构件的平面内弹塑性稳定分析，除了简明的Jezek方法外，还有较精确的数值积分法。

2. 数值积分法

上述Jezek方法由于先假定压弯构件的变形曲线，此曲线与实际的变形曲线有误差，因此不可能建立各个截面的力平衡方程，而只能建立弯矩最大截面处的内外力平衡方程。在分析中也没有考虑残余应力等初始缺陷的影响。由于计算中简化较多，解析解的精度有待提高，可以用数值法确定压弯构件的极限荷载。数值法有多种，数值积分法是常用的一种。

数值积分法可分为二步计算：首先根据截面的内力平衡条件建立弯矩M，压力P和曲率?之间的关系；然后根据构件的变形曲线建立挠度、转角和曲率之间的关系，由于曲率与外力矩相对应，故可通过同一截面的曲率建立压力与挠度的关系，通过分级加载得到压力P与构件中点挠度?m的对应函数关系，利用极值条件即可得到压弯构件的极限荷载。

以图3.8（a）为例，说明数值积分法的计算过程。

已知截面尺寸﹑构件长度﹑荷载作用条件MP?e，残余应力分布如图3.8（b）所示，残余压应力﹑拉应力峰值分别为?rc和?rt，材料为理想弹塑性体。

图3.8 压弯构件数值积分法示例

1） 建立截面的M?P??关系

图3.9（a）表示划分为很多单元的工形截面，单元的面积为Ai，截面任一点的应变?i是轴向应变?0﹑弯曲应变?zi 和残余应变?ri??riE三部分的代数和（如图3.9（b）﹑（c）所示），即

?i??0??zi??ri （a）

图3.9 截面的应变

当截面处于弹性状态时，应力?i?E?i，根据内力平衡条件

P??A?idA??AE??0??zi??ri?dA?E?0A （b）

M??A?izidA??AE??0??zi??ri?zidA?E??Azi2dA??EIxy?? （c）

由式（c）可知，当截面处于弹性状态时，压弯构件和受弯构件一样，弯矩M与曲率?成正比，而与轴线压力P无关。但在弹塑性状态，因各截面塑性发展程度不同，M?P??相关。

在弹塑性状态时，若以?y??yE表示屈服应变，任一单元面积Ai上的应力均取平均值，则有

?i?E?i 当??y??i??y时

?i??y 当 ?i??y时

（d）

?i???y 当 ?i???y时

截面的轴向压力P和弯矩M分别为

P???iAi

AM???iAizi (e)

A联合（a）﹑（d），通过对式（e）数值积分即可得到构件在弹塑性状态的M?P??关系。具体算法见如下框图

图3.10 电算框图

2）求解压弯构件的极限荷载Pu

以图3.11所示两端铰接、几何条件和荷载作用均对称的压弯构件为例，具体求解过程

见框图3.12。

图3.11 两端铰接压弯构件

图3.11（a）中所示压弯构件在给定一个轴力P1情况下，端部挠度y0=0，而转角?0未知，不过可以先给定一个?0的初始值，使其满足构件中点的转角?m=0即可，若给定的?0不能使?m足够小（如?m?10?5 ），则调整?0重新迭代，直至 ?m足够小，满足计算精度要求。这样就可以得到与给定轴力P1对应的构件中点的挠度vm1值，如图3.11（b）所示。 同理，可以得到不同的轴力P对应的构件中点的挠度?m值，最终可以画出图3.11（b）所示的P??m 曲线，其极限点B对应的P即为极限荷载Pu。

对不同的荷载作用，数值积分的思路相同，但具体计算细节有所不同。通过理论求解和试验分析压弯构件在平面内的极限荷载，才可以推演出压弯构件的稳定设计公式。

Pyw?i02?Py?Pw??2?yeyPy??i?P20y2i?2?yey??y0?ey?20??Pw??2?yeyPy?2?4i02PyPwi02?2?yey??y0?ey?2??2?

（3.57）

相应的弯扭屈曲应力

Pyw?2E?yw?? （3.58）

A?2yw式中?yw为计算弯扭屈曲应力的换算长细化

2?yw??y2w2?i0?2?yey2w22?w2?i0?2?yey???2w2??i2?2?yey?y0?ey??0?w2????2?2 （3.59）

其中w?2?2y?I?GIt?R???。 ?22?A?l?E??2对双轴对称截面压弯构件，因y0?0,?y?0,i0?Ix?Iy??A，则方程（3.55）为

?P解出弯扭屈曲荷载

y2?P??Pw?P??Mx2i0?0 （3.60）

1Pyw??Py?Pw??2??Py?Pw?222? （3.61） ?4PyPw?Mxl0????对无对称轴截面压弯构件，开始施加压力P，构件就产生双向弯曲变形和扭转，因此属

于极值点失稳问题。对此类问题用平衡法求解析解较困难，一般采用能量法[19]或数值法求解其极限荷载。

【例题3.1】 已知两端简支的单轴对称T形截面压弯构件的长度为4m，构件的两端作用有弯矩Mx?10kN?m，截面尺寸如图3.14 。钢材?y?23.5kNcm2，E?2.06?104kN/cm2，

G?7.9?103kN/cm2，按理想弹塑性体计算，不计残余应力。构

件在弯矩作用平面内的极限荷载Pu?735kN.求此压弯构件的屈曲荷载。

图3.14 T形截面压弯构件 [解]:

1） 计算截面的几何性质

截面积 A＝2?1?20＝40cm2

1?20?10?0.5???5.25cm

2?201惯性矩 Ix?1?20?5.252??1?203?1?20?5.252?1769.2cm4

121 Iy??1?203?666.7cm4

121 Ik?2??20?13?13.33cm4, Iw?0

3Ix对翼缘边缘抵抗矩 W1x??307.07cm3

5.25?0.5I对腹板边缘抵抗矩 W2x?x?116cm3

15.25Ix?Iy2i02??y0?88.46cm2

A剪心矩 y0?? ?Ay?x2?y2?dA?t??4.75y3dy?2t?0??5.25??x2?5.252?dx?7000cm5

15.2510?yy?x?A?2?y2?dA2Ix?y0?7000???5.25??1.98?5.25?7.23cm

2?1769.22) 计算Mx?10kN?m时构件的弯扭屈曲荷载Pyw

Py??2EIyl2??2?2.06?104?666.7/4002?847.2kN

Px??2EIx/l2??2?2.06?104?1769.2/4002?2248.2kN

Pw?12227.9?103?13.33???EIl?GI?GIi??1190.4kN wwkk088.46i02由式（3.55）得

?847.2?P?88.46?1190.4?88.46P?2?7.23?10?102?10?102???5.25P??0

2??????60.9P2?184206P?100463044?0

解出

Pyw?713.86kN

3) 确定屈曲荷载

由于翼缘边缘纤维的压应力

713.86??10?102?1?0.234??713.862248.2??=17.85+5.12=22.97kNcm2

腹板边缘纤维的压应力

?2?17.85?5.12307.7?17.85?13.58?4.27kNcm2??y?23.5kNcm2 116又因为Pyw?Pu，说明此压弯构件的屈曲荷载为弹性弯扭屈曲荷载Pyw?713.86kN。

2. 能量法求解无对称轴截面压弯构件的弹性弯扭屈曲荷载

对无对称轴、无缺陷的等截面压弯构件，一受压力作用，构件就会产生双向弯曲变形和扭转，因此属于极值点失稳问题，可采用数值法求解其极限荷载。如果截面对两个主轴的抗弯刚度都较大，由于弯曲变形很小，计算时可以不计附加弯矩的作用，用平衡分岔理论求解，可以得到这种压弯构件弯扭屈曲荷载的近似解。但是如果截面对两个主轴的抗弯刚度差别较大，不考虑构件屈曲前变形的影响，计算结果误差会很大。

当无对称轴截面构件的荷载作用条件或边界条件比较复杂时，如沿构件纵轴方向的弯矩

Mx和My随z而变，或在构件的侧向有弹簧约束时，用平衡法很难求出解析解，而采用能

量法可以得到足够精度的近似解。

构件的总势能?是应变能U和外力势能V之和，即

??U?V (3.62)

由于构件的压缩应变能和剪切应变能的影响很小，可以忽略，则应变能

U＝U1＋U2＋U3＋U4 (3.63)

式中U1为平面内弯曲应变能，U2为侧向弯曲应变能，U3为纯扭转应变能，U4为翘曲应变能，且有

1l???2dz （3.64） ?EI?x?201l2 U2??EIy?u???dz （3.65）

201l2 U3??GIk????dz（3.66）

02 1l2 U4??EIw?????dz（3.67）

02

U1?式中：E﹑G分别为弹性模量和剪切模量；Ix﹑Iy分别为截面对主轴X﹑Y的惯性矩；

Ik﹑Iw分别为截面的抗扭惯性矩和翘曲惯性矩；u、v和?分别为位移和扭转角，如图3.15

所示。

因此

U?1l2222???????????????EI??EIu?EI??EI?dz （3.68） xywk?02??外力势能V等于外力功的负值，即

V= －W （3.69）

对于图3.15所示无对称轴开口薄壁截面压弯构件，两端作用由轴线压力P和弯矩Mx、My，距左支座z处截面剪心位移为u，v（见图3.15b），绕剪心的扭转角为?。由于构件弯扭变形，截面上任意点B（x，y）移动到点B??的位移为

uB?u??y?y0??, vB?v??x?x0??

则

????, v??? （3.70） u?B?u??y?y0?B?v??x?x0?

取一微段dz，在微元dA上外力功为

? dW??dA??u? （3.71） B???vB?dz02

221l??总外力功为

W?1l22???????dAu?vdz （3.72） BB?0?A2??式中?为截面任一点的正应力，以压应力为正值，考虑残余应力?r后，有

图3.15 开口薄壁截面压弯构件的变形

PMxyMyx ??????r （3.73）

AIxIy

经对全截面积分后，得

222221l??P?u????v????i0????R?????2??yMx??xMy???????W??0??dz （3.74）

2????2?Py0?Mx?u????2?Px0?My?v??????

式中

i02? ?x

Ix?IyA222?x0?y0

x?x?A??y2?dA2Iy?x0

?y?22??dAyx?y?A2Ix?y0

则压

R??A?r?x2?y2?dA

??1l???2?EIx?v???2?EIw?????2?GIk????2?R????2?P?u??2??v??2??i0???2 ?EIuy?20???? ?2?yMx??xMy?????2?Py0?Mx?u????2Px0?My????dz （3.

75）

更一般的情况，式（3.75）中还应包含构件两端外荷载所做功的负值；如果压弯构件上还作用着其它类型荷载，如横向荷载，则外力势能V中应加进横向荷载与其位移乘积的负值；如果有弹簧支撑，则应变能U中应计入弹簧正值应变能。

根据势能驻值原理（见第二章），即可求出压弯构件的弯扭屈曲荷载。

【例题3.2】 已知两端简支的T形截面压弯构件的跨中作用着如图3.16所示的集中荷载

2????Q?10kN，构件的截面尺寸见图。钢材的?y?23.5kNcm2，

E?2.06?104kNcm2,G?7900kNcm2,钢材为理想弹塑性体，不计残余应力。

用能量法求此压弯构件的弯扭屈曲荷载。

图3.16 横向集中荷载作用的压弯构件

[解]：根据边界条件u?0??u?l??0,??0????l??0，假设u?C1sin?zl,??C2?zl，则总势能

???4EIyC12l4?l20sin2?zldz??2l2?GICk22?P?C12?i02C22?2y0C1C2??0cos2l2??zldz

l2Q?2Q?2?z2l22?zdz?2C1C2?0zsin2dz ?2?yC2?0zcosllll即

??令

?2EIyC124l3Q??2?4?Q??2?4?2?GIkC?P?C?iC?2y0C1C2???yC2?C1C2 4l1616?2?22212022?2Py??2EIyl2,Pw?GIki0,M0?Ql4

由

?????C?0?1 ?????0??C?2得

????2?4?M0???Py?P?C1??Py0??C2?022???? ?22???????4M???4?M0?C?i2P?i2P?y0???Py???C2?0??010w022?2?????????稳定方程为

Py?P?Py0展开得

?Py0?4?M02?2??????2i02Pw?i02P??4?M02?2?0

?y??2?4?M02?22?2????4?M0????2?4?M0?y2?Py?P??i0Pw?i0P????Py0???0 22?2???????22将例3.1 中的Py?847.2kN,Pw?1190.4kN,i0?88.46cm2,?y?7.23cm,y0??5.25cm和

M0?1000kN?cm，代入上式，可得

60.9P2?177168.4P?92361803?0

解出

Pyw?680.5kN

3.2.2 压弯构件的弹塑性弯扭失稳

压弯构件在弹塑性状态发生弯扭失稳时，求解屈曲荷载的方法主要有解析法和数值法。 1. 折减翼缘厚度解析法[20]

压弯构件长细比较小以及其他因素共同影响下，可能在弹塑性阶段失稳。压弯构件发生弹塑性失稳时,最大受压翼缘的平均应力?1超过比例极限?P但尚未达到屈服极限?S，或其

值已超过屈服极限而出现一部分塑性区(如图3.17 所示)。

图3.17 平面外弹塑性屈曲

折减翼缘厚度法就是针对受压最大翼缘的平均压应力?1满足?p??1

腹板如有一部分塑性区，因其对y轴抗弯刚度的影响极小，可不折算其面积，即不改变腹板尺寸，这样造成的影响不大。

在压弯构件屈曲前的瞬间，当截面最大受压翼缘中的平均应力?1处于?P? ?1

d?1?dN1 （3.76） btEt式中Et为?1所对应的变形摸量。此时如果不用Et而仍用E，则由于平截面变形d?1 不变，则有

d?1?dN1 （3.77）

bt1E根据d?1相等，得到受压最大翼缘的换算厚度t1的表达式

Ett （3.78） E当截面中已有一部分塑性区出现时，有?1??s，与?1 对应的应变?1所对应的变形摸

t1?量定义为E?，即E?是?1 进入屈服平台之后的变形摸量，其值在屈服前的Et和硬化摸量Est之间，在分析压弯构件平面外失稳时，E?可采用抛物线变化假定，即

?12??1?s?E?E?0.02?0.28???? （3.79） 11??2同理可以求出截面有塑性区时受压最大翼缘的折算厚度

t1?E?t （3.80） E确定了折算翼缘厚度后，截面形成图3.17c所示的单轴对称截面，重新计算截面的几何

性质后，就可用单轴对称截面压弯构件的平衡方程求解屈曲荷载。试验资料表明，除短试件的计算结果偏小外，理论值与实验结果吻合程度较好。

2. 弹塑性弯扭失稳荷载数值计算法

以图3.18所示单向弯矩作用的双轴对称截面压弯构件为例说明求解过程。

图3.18 压弯构件截面受力

假定材料为理想弹塑性体，当截面上某一点的应变小于屈服应变时，弹性摸量为E时，剪变摸量为G；而当应变达到或超过屈服应变时，变形摸量Et?0，而Gt?G4，此时正应力?为屈服强度?y。

图3.18的左侧为截面残余应力分布情况，?rc和?rt分别为残余压应力和残余拉应力峰值。图中截面1－1仍处于弹性状态，截面2－2的部分受压冀缘已经屈服，截面3—3的受拉、受压翼缘均有部分进入塑性。弹塑性状态中各截面的弯曲中心均有偏移，但影响不大，剪心线如图中虚线s所示。

用数值法求解压弯构件弹塑性弯扭失稳荷载的步骤如下： 1） 建立截面的M—P—?关系

首先将截面的翼缘、腹板划分成图3.19所示单元，i单元中点的坐标为（xi,yi），面积为Ai，残余应变以压应变为正、拉应变为负，曲率?也以产生压变为正。截面上任一点的应力?i和应变?i之间的关系为

?i??0??yi??ri

Ei?E, ?i?Ei?i , 当 ??y??i??y 时 Ei?0， ?i??y， Gi?G4，当?i??y 时 Ei?0， ?i???y， Gi?G4，当?i???y 时

则

P???iAi （3.81） M???iAiyi （3.82）

根据图3.10所示电算框图，就可以建立M?P??关系；同时可以确定截面弹性区域面积。

图3.19 截面中的单元的应变

2） 分级给定轴向荷载Pi后计算平面内弯矩Mx

将构件沿纵向轴线划分成若干单元，取单元中点截面的弯矩Mmi作为单元弯矩Mx，则单元弯矩Mx记为Mmi?M?P?mi，其中M为全部外荷载产生的一阶弯矩，而?mi为第i单元中点的挠度，计算Mmi可参见电算框图3.12前半部分。

3） 计算各单元中点截面的抗弯刚度EIex和EIey，抗扭刚度GIek?GiIpk，抗翘曲刚度

EIew，剪心矩y0和Wagner效应系数k

EIex??EiIxi??EiAiyi2 （3.83）

EIey??EiIyi??EiAixi2 （3.84）

对于弹性区为单轴对称的工形截面

y0?EIew?1EIey1EIey?翼缘?Iyi?Aixi2yiEi?腹板?IyiyiEi? （3.85）

???上翼缘?Iyi?Aixi2Ei?[下翼缘?Iyi?Aixi2Ei]h2 （3.86）

????2?Ai （3.87） k???i?i2Ai???i?xi2?yi2?2y0yi?y0式中Ixi和Iyi分别为单元对中性轴x和y的惯性距。

4） 建立单元中点截面弯曲和扭转的平衡方程，求解弯扭失稳荷载Pyw

参照弹性压弯构件平衡方程建立微分方程

EIex????P??Mx?0 （3.88 a）

EIeyu???Pu??Mx?Py0???0 （3.88b）

EIew?????k?GIek?GiIPk????Mx?Py0?u??0 （3.88c）

若用有限积分法或有限差分法联合求解式（3.88b）和式（3.88c），可以得到各分段点的位移或其高阶导数的线性代数方程组，由其系数行列式K?0，即可得到弯扭失稳荷载Pyw。实际电算中，可以用荷载Pi和荷载Pi?1的两个系数行列式的乘积，当满足Ki?Ki?1?0时为构件失稳条件，而且要求满足精度?PP?10?3。具体计算见框图3.20。

??

图3.20 压弯构件弹塑性弯扭失稳荷载计算框图

3.2.3 压弯构件弯矩作用平面外的稳定理论在设计中的应用

开口薄壁截面压弯构件的抗扭刚度及弯矩平面外的抗扭刚度通常较小，当构件在弯矩作用平面外没有足够支承以阻止其侧向位移和扭转时，构件就可能发生弯扭失稳破坏（图3.13）。

根据式（3.60），对双轴对称截面压弯构件，当发生弯扭失稳时，其临界条件为

??P??P???1?PEy???Mx ?1????PEy?PEyPw??????Mcrx式中Mcrx为双轴对称纯弯曲梁的临界弯矩，且

????0 （3.89） ?22Mcrx?i0PEyPw （3.90）

以

P的不同值代入式（3.89），可以画出PPEy~~MxMcrx之间相关曲线，如图3.21所PEy示。

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