2011 数学建模 二等奖作品

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 四川文理学院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 李 骏 2. 罗银锋 3. 龙小琼 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2011 年 9月

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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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企业退休职工养老金制度的改革

摘要

本文通过对企业退休职工养老金制度的改革问题进行了探究，建立Logistic模型（阻滞增长模型）来预测未来一段时间内职工的年平均工资，最终根据预测出的数据用Matlab编程求出替代率、缺口等情况。最后提出了合理建议使得建立的模型尽可能地满足目标替代率达到58.5%和养老保险基金收支平衡。

针对问题一预测2011年至2035年山东省职工的平均工资，采用Logistic模型。考虑到近年来我国人均工资增长率逐渐增大，但当工资增大到一定程度时增长率会逐渐减小，当我国的经济发展到发达国家水平时，职工年平均工资的增长速度较慢，为方便后面的计算假设达到发达国家的水平时即为达到Logistic模型（阻滞增长模型）中x?t曲线的最大值xm。根据模型预测出2011年至2035年山东省职工的平均工资（见表1）。 针对问题二、问题三，根据附录2、3所给的数据、养老金的计算办法及问题一预测出的数据，可计算出不同的缴保年龄下的养老金替代率（见表6-4）、缺口情况（见表6-5）和该职工达到收支平衡时的年龄（见表6-6）。

问题四要求既达到目标替代率又要维持养老保险基金的收支平衡，依据已得到的替代率和收支平衡公式，建立满足两个要求的等式。再用控制变量法分别讨论各个变量对建立等式的影响程度的大小，也就是对替代率和养老金收支平衡影响程度的大小。最终给出合理的建议，如鼓励职工更早加入养老保险（使得结余增大即缺口减小）、推迟退休年龄（降低养老金支付负担）、延长职工缴保年限（增加社会统筹基金账户的总积累额）等。

本文运用了Logistic模型使得预测的结果与我国的发展现状较吻合，中期预测的结果较为准确。用预测结果计算出问题二、三的数据与实际情况较为接近，误差较小。

关键词：Logistic模型 增长率 替代率 收支平衡

1

一、问题重述

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。这两个账户我们合称为养老保险基金。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，该采取什么措施？

二、基本假设

1.假设企业职工都愿意参加并缴纳养老保险金； 2.假设不会出现金融危机及大型自然灾害； 3.假设职工的工作稳定，不存在职工失业及跳槽； 4.假设计息时以年计息，不满一年的不纳入计算；

2

5.假设无论哪一年的个人账户储存额的一年期存款利率利率均为3%； 6.假设从现在到2050年间发达国家的职工工资增长率都保持在3.5%不变； 7.假设发达国家现在的职工年平均工资为4万美元；

8.假设近几年我国货币不会出现较大调整，即人民币的汇率保持不变（1美元=6.6623元人民币）；

三、符号说明

1、xi 参保人员退休前i年本人缴费工资额；

2、ci参保人员退休前i年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”； 3、n0为计发月数；

4、n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为

企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）； 5、m为退休时的年龄；

06、m 为死亡年龄；

7、Hjk为各年龄段的职工人数（j=1??8；k =1??8）； 8、Yj为各年龄段月收入范围中较小的一个（Y9?8000）； 9、Mj为各年龄段的职工工资；

10、M2009为在2009年时该企业平均工资； 11、St为在t年时可以得到的养老金额； 12、dt为全省t年度时在岗职工月平均工资； 13、Q养老保险金出现的缺口值；

14、Q0 表示从退休到死亡所领取的养老保险金额； 15、Q1表示从购买保险到退休所缴纳的保险金额； 16、r 职工年平均工资增长率； 17、t 年号；

18、Pt 指在t年时的职工平均工资；

3

1

四、问题的分析

问题一 要求对未来我国的经济发展和工资增长形势做出假设，假设必须是简单明了、切合实际的，不能偏离我国是发展中国家的事实，考虑到我国与发达国家之间的差距，要密切联系我国近年来的经济发展水平以及工资增长幅度提出简化合理的假设。要求根据已知数据预测出未来的平均工资，结合实际情况，由工资增长率增长到一定数量后（达到发达国家经济水平时）将会下降，故建立指数增长模型和阻滞增长模型（Logistic模型）。

问题二 要求计算养老金替代率，而且在题目中已经给出了替代率的计算公式，只要找出退休时的养老金及退休的工资即可。以职工从30岁（2000年）到55岁退休为例，则此时代替率就是该企业职工55岁时的养老金与54岁时工资的比。其他情况以此类推。 问题三 给定某职工是从30岁时（2000年）开始缴纳养老保险金，分别到55岁、60岁、65岁时退休，75岁时死亡。在题目中提到养老保险基金的缺口即是指养老保险基金入不敷出时的收支出之差，收入就是社会统筹基金账户和个人账户的和，支出即发放给职工的养老金保险金额，由附录三养老金计算公式:养老金=基础养老金+个人账户养老金 可以求得支出。因此直接根据公式收支之差即是缺口。

问题四 既要达到目标替代率即题目中提到的，按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%，又要维持养老保险基金收支平衡。为了应对我国老龄化问题给未来养老金发放带来的压力，实现养老金在当期和未来一个较长期的收支平衡，我国社会养老保险基金筹资模式在由现收现付制向完全积累制转轨。但现在还使用的是“现收现付”模式，因此此时的平衡是指现在收入的与现在付出的差值为0。

五、模型的建立

5.1分析知道工资增长到一定数额增长率下降，主要原因是经济已经发展到一定程度，为防止金融风暴的发生，需控制经济的平衡，这些因素对经济的增长起阻滞作用，Logistic模型就是考虑这个因素。又知道运用Logistic模型的优点就在于中期预测较好，取1978年时的职工平均工资为起点，2050年时的平均工资为终点，故预测出2011至2035年的平均工资是比较切合实际的。

记山东省1978年平均工资为P增长率开始会随着年1978,工资年平均增长率记为r，

号的增长而增长，当增长到一定程度后就会随着年号的增大而减小。将r表示为P的函数r(P)，则可以列出方程：

dP?r(P)?P,P(0)?P1978 dt把r(P)简单假定为P的线性函数，即

r(P)?r?aP(r?0,a?0)

这里r称为固有增长率（默认为1978年到2010年的各年增长率的平均值），为了确定系数a，假设发达国家2050年（以美国为例）的职工平均工资为职工平均工资的最高标准，记为Pe时，增长率r(Pe，当P?Pe)?0，得到等式

4

rP;r(P)?r(1?) PePe欲求到2050年时发达国家(美国)的职工年平均工资，已知当前美国的职工平均年工资为4万美元（数据来源新华新闻网），且当前美国职工的年平均工资增长率为3.5%（数据来源百度百科），假设从现在到2050年增长率都保持在3.0%不变，故2050年美国的职工年平均工资为：

4?(1?3.5%)40?6.6623?104?1.055108?106元

P?P

增长率r(P)与工资尚未实现部分的比例e成正比，比例系数为固有增率r。得

Pe

到方程：

dPP?rP(1?),P(0)?P0 dtPe所以依此模型来预测从2011年至2035年山东省职工的年平均工资。

a?5.2 ①运用均匀分布(E??段职工工资为:

A?B)的方法来计算出附件二中2009年该企业各年龄28Mj??Hjk?k?1Yj?Yj?12

同样运用平均分布计算出该企业平均工资为：

M2009?(?Hjk?j.k?18Yj?Yj?12)??Hjk

j.k?18由上述两等式可以得出个年龄段职工工资与企业平均工资的比值为：②由附件三可以知道养老金的计算公式如下： 养老金=基础养老金+个人帐户养老金 个人账户养老金=个人账户存储额?计发月数

MjM2009

基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）?2?缴费年限?1%

本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资?本人平均缴费指数 本人指数化月平均缴费工资为：

x1?S?c1cc?x2?1???xm?1c1c2cmn

5

xi称为退休前第i年的缴费指数，i=1,?,m；参保人员i年度的本人缴费工资指cicc数为1，指数化缴费工资是xi?1，

cici其中

由上述语言表达式可以求出：

个人账户存储额=?xi?8%?(1?3%)i

i?0m根据当前我过经济发展趋势可以看出，不同时期的职工工资是不同的；也可以从计算公式中看出由于各年的缴费指数不同也就导致了各年职工工资的不同。 职工工资=缴费指数?企业平均工资（附件一中的历年平均工资） 综上：退休后在t年时可以得到养老保险金的计算公式为：

St=?xi?8%?(1?3%)ii?0md(t?1)?122?S?m?1%

n0由题目可以知道替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，所以替代率的计算公式为：

替代率?12?St d(t?1)5.3 ①领取养老金的年数是死亡年龄与退休年龄的差值，由养老金计算方法可以看出每年领取到的养老金额不一定是相同的。所以由4.2中相关公式可以得某职工到死亡时所领取的养老金总额为各年领取的基础养老金及各年个人账户养老金的和：

2000?m1?m0d(t?1)Q0??（122t?2000?m?s?m?1%）+（1+3%）?x?8%?ii?1mn0?(m1?m0)?12

该职工到退休时所缴纳养老保险的金额为：各年缴纳到社会统筹基金帐户与各年缴

纳到个人账户的资金之和：

Q1??xi?20%+?xi?8%?(1?3%)i?1i?1mm

若Q0?Q1，则表示养老保险基金出现缺口Q?Q0?Q1。 ②收支平衡的条件即是收入等于支出，公式表示为

?x?20%+?x?8%?(1?3%)iii?1i?12000?m1?m0mmd(t?1)122?t?2000?m??S?m?1%??x?8%?(1?3%)ii?1m

n06

?(m1?m0)?12如果满足了收支平衡这个条件，其他因素不变，只考虑人的寿命这一个变量，即在上述公式中的变量是m1，此时的缺口Q?0.

5.4 由5.2可以知道替代率的计算公式为：

m刚退休时的养老保险金12?St替代率=?=退休前一年的平均工资d(t?1)?xi?8%?(1?3%)ii?0d(t?1)?122?S?m?1%

n0同样由5.3可以知道收支平衡的条件是：Q?Q0?Q1=0。此时的Q1表示的是各年缴纳到社会统筹基金帐户与各年缴纳到个人账户的资金之和，即某人所缴纳的保险金。Q0表示的是职工从退休到死亡时所领取的养老金总额为各年领取的基础养老金及各年个人账养老金的和。 而Q0与St之间是有联系的，都与职工在职时全部存储的个人养老金挂钩。假设替代率达到目标替代率58.5%，缺口为无穷小?。这样把两个式子融合为一个式子，然后讨论各个因素对其的影响。 融合出的式子为： d(t?1)?Sd(t?1)?58.5%?12?m?1-(t?1) ?sm2000?m1?m012xi?20%???m?1%?2t?2000?m=i?1+?12?(m1?m0)-1n0由上述公式来分别讨论各变量对这两个条件的影响。

六、模型求解

针对问题一：

由题中信息给出职工工资的增长与经济发展密切相关，并且近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高，所以假设工资增长与我国经济增长成正比。而题目中还给出发达国家的工资增长率相对较低，由此可以看出当我国的经济发展到一定的水平时，经济的发展及工资的增长率都会比较低。我国现在还是发展中国家，具有较大的发展前景，在最近几年甚至最近几十年中我国的经济发展及工资增长率都会较高。故假设在最近几年甚至几十年中我国的工资增长率在提高，当到达一定年限时将不断减小甚至可能接近于0.

对于2011年至2035年山东省职工的年平均工资的预测，假设从1978年到2010年的工资平均增长率为r，则由附表一中的数据可以建立关系（指数平均数关系）：

(1?r)32?32074?566，可解得r?0.1338

566 即是年平均增长率r?13.38%

7

查询相关数据预计21世纪中叶发达国家的年平均工资Pe值为：

4?(1?3.5%)40?6.6623?104?1.055108?106元

以p为横轴，以资增长速度

dp为纵轴做出模型建立5.1中公式的图形（图6-1），可以分析出工dtdp随着p的增加而变化的情况，从而可以看出P(t)的变化规律：p较小时dtr(p)逐渐变大，当p大约等于70时r(p)逐渐变小。由此可以证明在最近几年甚至几十年中我国的工资增长率在提高，当到达一定年限时将不断减小甚至可能接近于0是成立的。

Logistic模型r(p)曲线43.532.521.510.50024681012x 105

图6-1

Logistic模型（见附录 Matlab编程2）预测出的山东省职工的平均工资与年份的关系如下图（图6-2）：

8

10x 105Logistic模型x-t曲线987654321001020304050607080

图6-2

同样由附录中的Matlab编程3中程序运行结果可以知道预测出的2011年至2035年的山东省职工的年平均工资如下表（表6-1）：

2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 3.9444 4.4851 5.0961 5.7857 6.5625 7.4358 8.4155 9.5116 10.7348 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 2026年 2027年 2028年 12.0955 13.6038 15.2696 17.1013 19.1063 21.2897 23.6543 26.1998 28.9225

2029年 2030年 2031年 2032年 2033年 2034年 2035年

31.8446 34.8643 38.0553 41.3674 44.7764 48.255 51.7735

表6-1

由图2及表1可以看出运用模型Logistic模型预测出的结果和假设基本成立，即

证明了假设是合理的。 针对问题二：

（1）由模型建立中的计算公式可以算出：M0?3323.9元；

Mj的值如下表6-2

9

年龄段 20-24岁 25-29岁 2077 30-34岁 35-39岁 40-44岁 45-49岁 3268 50-54岁 55-59岁 职工1727 工资 2535.1 2718.8 3026 表6-2

3118.5 2980.2 各年龄段职工工资与企业平均工资的比值如表6-3:

年龄段 20-24岁 25-29岁 30-34岁 35-39岁 40-44岁 45-49岁 50-54岁 55-59岁 比值 0.5196 0.6249 0.7627 0.818 0.9104 0.9832 0.9381 0.8966 表6-3

（2）在此问中所求出的比值即为养老金计算公式中的工资缴费指数，

xMj 即：i?0

ciMx1?xc1ccxx?x2?1???xm?1c1(1?2???m)c1c2cmc1c2cm 转化为S?；

nn所以公式 S?而此时的

xx1x2????m?0.5196?0.6249???0.8966?6.4535 c1c2cm由题意知该企业职工自2000年起从30岁开始缴保险金，分别到55岁（2025年）、

60岁（2030年）、65岁（2035年）退休时，缴保的年限分别为25、30、35年。同样该企业职工自2000年起是从40岁开始缴保险金，分别到55岁（2015年）、60岁（2020年）、65岁（2025年）退休时，缴保的年限分别为15、20、25年。

再由Matlab编程（见附录Matlab编程3）可以得到职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算出各种情况下的养老金替代率见下表（表6-4）： 退休年 开始 55岁 60岁 65岁 龄 缴保年龄 30岁 40岁 63.31% 38.95% 表6-4

97.32% 54.51% 82.56% 85.38% 针对问题三：

（1）：此问中的缺口是指从职工本人的角度出发，缺口即是指他此生所缴纳的养老保险金大于他所领取到的养老保险金。该职工从30岁（2000时）开始交费，分别在55、60、65岁时退休直到75岁（2045年）死亡时缴存的养老保险金与其领取的养老保险金

10

之差即是缺口。由题可以知道该职工缴纳保险金的年限分别为25年、30年、35年，与之对应的领取养老保险金的年限为20年、25年、10年。由模型的建立5.3中的公式可以知道当Q0?Q1时，表示出现缺口。缺口的准确计算值即为Q0与Q1的差值。将此数据带人运用Mtlab程序（见附录中Mtlab编程4）求出该人至75岁死亡时的养老保险基金的缺口值Q如下表6-5：

退休年龄 缺口值（万元） 55岁 1.1559 60岁 3.8484 表6-5

表中的-1.0155万元就是指到75岁死亡时出现缺口，即是指该职工65岁退休到75岁死亡时所缴纳的保险金额比领取到的养老保险金额多。也就是该职工没有把自己所缴纳的养老保险费领完。

（2）：要求计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老保险基金达到收支平衡。题意即可以理解为在满足收支平衡的条件下来考虑该职工由55岁、60岁、65岁退休时一直领取养老金到该职工不再领养老金时年龄。 如果满足了收支平衡这个条件，其他因素不变，只考虑人的寿命这一个变量，即在上述公式中的变量是m1而不是Q，此时的Q?Q0-Q1=0。将数据带入模型建立5.3中的公式，用Matlab编程（见附录 Matlab编程6）运算出的结果如下表6-6： 退休年龄 达到收支平衡时的年龄 55岁 67岁 60岁 73岁 表6-6

上述数据显示55岁、60岁退休到他75死亡时领取的养老保险金已经超过了自己所缴纳的养老保险金，也就是没有出现缺口。65岁退休就要到78岁去世才满足收支平衡，而他75岁死亡，则证明他没有把自己缴纳的养老保险金领完，即是指出现缺口。这些显示出的数据与（1）中得到的缺口值相比较是合理的。 针对问题四：

（1）由模型建立5.4中的式子

65岁 78岁 65岁 -1.0155 d(t?1)d(t?1)?58.5%?122?S?m?1%=?x?20%??ii?1m122t?2000?m12?(m1?m0)-1n02000?m?m10d(t?1)?s?m?1%+?

可以知道，影响替代率及收支平衡的因素有：职工刚开始缴保时的年龄、退休年龄、缴费年限、缴费比例等。

在其他量不变的情况下，开始交保年龄高一年，养老保险的缴费年限m就会减少

11

一年，总交款额：

d(t?1)2000?m1?m0Q0??（12?m?1%）+i?1?(m1?m0)?12

2n0t?2000?m会因此减少，个人账户储存额也就相对减少，从而个人账户养老金年领取额也降低。在领取年限不变的情况下，养老金额：

Q1??xi?20%+?xi?8%?(1?3%)

i?1i?1mm?s（1+3%）?x?8%?im也因此而减少。但从式子上的数量分析表明，领取的养老金的减少量小于职工交款额的

减少量。使得结余增大（或缺口减少），因此在一定程度上降低职工的缴保年龄有利于减少养老金负担。

当只是考虑退休年龄m0时，平均预期寿命和保障水平一定的情况下,适当提高退休年龄,不仅可以缩短平均领取养老金年限m1?m0,还降低了养老金支付总负担,而且还可以相对延长职工缴纳养老保险费的年限m,增加养老保险基金Q0的收入,从双向有利于实现养老基金收支的平衡。

对于缴费年限m的调整问题，国家新出台的政策把缴费年限与退休后的养老金领取额挂钩。按照新规定,缴费不满15年的,退休后不享受基础养老金待遇;满15年后,每超过1年,基础养老金的领取额就将增加1%。不仅如此,而且养老金调整的幅度高低也与缴费年限的长短直接挂钩,如果缴费年限只有15年,那么在调整养老金待遇时始终都要受到影响。因此,缴费年限越长,缴费额就越大,个人账户的总积累额就越多,退休后领取的基础养老金也就越多。

考虑缴费比例时，在其它变量即缴费年限m和退休年龄m0等一定时,提高统筹缴费率能扩大统筹基金的积累。但是统筹基金缴费是由企业支付，按规定：企业缴纳基本养老保险的比例一般不得超过企业工资总额的20%。但就现在的经济发展趋势,许多企业为维系收支平衡,其缴费率已远远高于20%。以至于目前的费率对绝大多数企业来说已难以承受,如再提高,将会陷入“越欠越高,越高越欠”的恶性循环。此外,提高费率实际上是把国企欠费的责任转嫁到非公有制企业和灵活就业人员身上,过高的缴费使企业难以承受,因此,在我国基本上不靠提高缴费率来维系收支平衡。

综上所述： 可以采取的措施有降低职工的缴保年龄、提高职工的退休年龄、增长缴保年限，这些措施都能有效的维持养老保险基金的收支平衡。

七、模型的评价

1.模型的优点：

1) 问题一建立的阻滞增长模型（Logistic模型）能够更好的长期预报出符合实际情况的数据，并且能够考虑到对该增长起阻滞作用的因素的变化。

2) 在求解问题二、问题三时，需要的计算量大，所以在求解时用Matlab编写恰当的程序使得计算的工作大大减小。

3) 在分析问题四时因为影响结果的变量多，用控制变量法解决最后提出的影响程度相对来说比较合理的。 2.模型的缺点：

1） 本文没有考虑到金融危机等外界因素对职工工资的影响，所以计算结果与准确值有

一定的差距。

2） 根据模型拟合出来的数据较实际数据具有一定的差异性。

12

八、参考文献

1. 姜启源、何青，《数学实验》，北京：高等教育出版社，1999。

2. 姜启源、谢金星，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003。 3. 李海涛、邓樱，《MATLAB6.1 基础及应用技巧》，北京：国防工业出版社，2002。 4. 魏宗舒，《概率论与数理统计教程》，北京：高等教育出版社，1983。

5. 陈纪修、金路，《数学分析（第二版）》，北京：高等教育出版社，2004。 6．国际经融报，《中国物价涨40年也赶不上美国》，

http://news.xinhuanet.com/fortune/2010-11/05/c_12740220.htm，2011年9月10日。

7. 吕志勇，《新政策下养老保险基金收支平衡精算模型的相关因素分析》，

http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-SDZS200901016.htm，2011年9月10日。

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附录

（1）Matlab编程1： xm=105.5108; r=0.1338; n=1;

for x=0.0566:0.1:xm

p(n)=r*x*(1-(x/xm)); n=n+1; end

x=0.0566:0.1:xm; plot(x*10000,p);

title('Logistic模型r(p)曲线');

(2)Matlab编程2： xm=105.51; r=0.1338; x0=0.0566; i=1;

for t=0:1:72

k=(xm/x0-1)*exp(-r*t); p=xm/(1+k); x(i)=p; i=i+1; end

t=0:1:72;

plot(t,x*10000,'k-.');

title('Logistic模型x-t曲线') hold on;

a=[566,632,745,755,769,789,985,1110,1313,1428,1782,1920,2150,2292,2601,3149,4338,5145,5809,6241,6854,7656,8772,10007,11374,12567,14332,16614,19228,22844,26404,29688,32074]; plot(1:33,a,'ko')

（3）Matlab编程3：

m=[25 30 35 15 20 25];

n=[170 139 101 170 139 101]; C=x(2000+m-1978+1); S=C*6.4535/12./m;

x1=sum(0.08*x(2025-1978+1:-1:2000-1978+1)+power(1.03,0:25)); S1=x1./n+(C/12+S)/2.*m*0.01;

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（4）Matlab编程4： n=[170 139 101]; l=[20 15 10]; m=[25 30 35]; for i=1:3

tttt(i)=0.5*0.01*m(i)*sum(x(1:l(i)+1))/12+(sum(x(1:l(i)+1)-6.4535)/n(i))+... 0.08*sum(x(2:m(i)+1).*power(1.03,1:m(i)))/n(i)*12*l(i)-...

0.2*sum(x(2:m(i)+1))+0.08*sum(x(2:m(i)+1).*power(1.03,1:m(i))); end

（5）Matlab编程5： clc;

n=[170 139 101];

m=[25 30 35]; xx=[55 60 65]; for i=1:3

for j=xx(i)+1:72

k(j-xx(i))=0.5*0.01*m(i)*sum(x(1:j+1))/12+(sum(x(1:j+1)-6.4535)/n(i))+... 0.08*sum(x(2:m(i)+1).*power(1.03,1:m(i)))/n(i)*12*j-...

0.2*sum(x(2:m(i)+1))+0.08*sum(x(2:m(i)+1).*power(1.03,1:m(i))); end

k1(i)=find(abs(k)==min(abs(k)))+xx(i); end

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附件1

山东省职工历年平均工资统计表

年份 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

平均工资

566 632 745 755 769 789 985 1110 1313 1428 1782 1920 2150 2292 2601 3149 4338 5145 5809 6241 6854 7656 8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074

注：1.2010年前的数据来源于《山东省统计年鉴2010》 2.2010年数据来源于http://www.iqilu.com/html/minsheng/zixun/2011/0610/486380.html

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附件2

附件2：2009年山东省某企业各年龄段工资分布表

年龄段 20-24岁职工数 25-29岁职工数 30-34岁职工数 35-39岁职工数 40-44岁职工数 45-49岁职工数 50-54岁职工数 55-59岁职工数 1000- 1499 74 36 0 0 0 0 0 0 1500- 1999 165 82 32 11 0 3 7 6 2000- 2499 26 94 83 74 43 32 23 17 月收入范围（元） 2500- 3000- 2999 3499 16 42 95 83 86 32 29 27 1 6 24 36 55 64 44 37 3500- 3999 0 3 6 16 21 41 21 7 4000- 4999 0 0 2 4 13 18 8 7 5000- 8000 0 0 0 2 3 4 3 0

附件3 养老金的计算办法

参加市城镇企业职工基本养老保险社会统筹的人员，达到国家规定的退休年龄，实际缴费年限满15年以上的，按月计发基本养老金。

按照2005年颁布的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》和《百度百科：养老金》（http://baike.http://www.wodefanwen.com//view/407916.htm）等材料，可以得到养老金的如下计算方法：

职工退休时的养老金由两部分组成：

养老金=基础养老金+个人账户养老金

个人账户养老金=个人账户储存额÷计发月数（数据见表一）

基础养老金=（全省上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资）÷2×缴费年限×1%

本人指数化月平均缴费工资=全省上年度在岗职工月平均工资×本人平均缴费指数

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能够正确反映“本人指数化月平均缴费工资(Average Indexed Monthly Earnings)”指标的计算公式为： ccc1x1?1?x2?1???xm?c1c2cm S? (1) n 公式(1)中，x1,x2,?,xm为参保人员退休前1年、2年、??、m年本人缴费工资额；c1,c2,?,cm为参保人员退休前1年、2年、??、m年全国/省/地市“职工平均工资”或称“社会平均工资”；n为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的月数合计（可以简单认为等于12m，m为企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限）。xi称为退休前第i年的缴费指数，i=1,?,m. cicc 参保人员i年度的本人缴费工资xi通过工资指数1得到指数化缴费工资xi?1，从cici而使各年度不可比的xi换算为相当于参保人员退休前1年社会平均工资c1水平的、可比cc的各年度指数化缴费工资xi?1，各年度指数化缴费工资xi?1加总再除以参保人员实cici际缴费月数和n，进而得到本人指数化月平均缴费工资S。由此，该指标能够反映参保人员在整个缴费年限的缴费工资平均水平。 表一：个人账户养老金计发月数表 退休年龄 计发月数 退休年龄 计发月数 40 233 56 164 41 230 57 158 42 226 58 152 43 223 59 145 44 220 60 139 45 216 61 132 46 212 62 125 47 208 63 117 48 204 64 109 49 199 65 101 50 195 66 93 51 190 67 84 52 185 68 75 53 180 69 65 54 175 70 56 55 170

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