2012年河南专升本高数真题及答案

2012年河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

1．函数y?4?x?arctan1x的定义域是 A．??4, ??? B．??4, ??? C．??4, 0???0, ??? D．??4, 0???0, ???

2．下列函数中为偶函数的是 A．y?x2?log3(1?x) B．y?xsinx C．y?ln(1?x?x)

D．y?ex

3．当x?0时，下列无穷小量中与ln(1?2x)等价的是 A．x

B．

12x C．x2

D．2x

4．设函数f(x)?sin21x，则x?0是f(x)的 A．连续点 B．可去间断点 C．跳跃间断点 D．第二类间断点

5．函数y?3x在点x?0处

A．极限不存在 B．间断 C．连续但不可导

D．连续且可导

6．设函数f(x)?x?(x)，其中?(x)在x?0处连续且?(0)?0，则f?(0)A．不存在 B．等于??(0) C．存在且等于0

D．存在且等于?(0)

7．若函数y?f(u)可导，u?ex，则dy? A．f?(ex)dx B．f?(ex)d(ex) C．f?(x)exdx D．[f(ex)]?dex

8．曲线y?1f(x)有水平渐近线的充分条件是 A．limx??f(x)?0

B．limx??f(x)??

C．limx?0f(x)?0

D．limx?0f(x)??

9．设函数y?x?1dx2sinx，则dy?

1

A．1?12cosy B．1?12cosx C．

2D．

22?cosy

2?cosx

10．曲线f(x)???x?1, x?0?1?sinx, x?0在点(0, 1)处的切线斜率是

A．0

B．1 C．2 D．3

11．方程x3?3x?c?0（其中c为任意实数）在区间(0, 1)内实根最多有 A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

12．若f?(x)连续，则下列等式正确的是 A．????f(x)dx???f(x)

B．

?f?(x)dx?f(x)

C．?df(x)?f(x)

D．d???f(x)dx???f(x)

13．如果f(x)的一个原函数为x?arcsinx，则?f(x)dx?

A．1?111?x2?C B．1?1?x2?C C．x?arcsinx?C

D．1?11?x2?C

14．设f?(x)?1，且f(0)?1，则?f(x)dx?

A．x?C B．12x2?x?C C．x2?x?C D．

12x2?C 15．

d 2012dx? sinx(?cost2)dt? A．?cosx2 B．cos(sinx)2cosx C．xcosx2 D．cos(sinx2)

16．

?1302xe?x2dx?

A．1 B．0

C．1?2e?1

D．e?1?1

17．下列广义积分收敛的是 A．?111010xlnxdx

B．?0x3xdx

C．

???11lnxdx D．

???5xx??3edx

2

d2ydy18．微分方程2?y?1是

dxdxA．二阶非线性微分方程 C．一阶非线性微分方程 19．微分方程

2B．二阶线性微分方程 D．一阶线性微分方程

dysinxcosx的通解为 ?dxy2A．y?cosx?C C．y?sinx?C

2B．y?sinx?C D．y?cosx?C

22220．在空间直角坐标系中，若向量a与Ox轴和Oz轴正向的夹角分别为45?和60?，则向量a与Oy轴正向的夹角为

A．30? 21．直线

B．60?

C．45?

D．60?或120?

??xy?1z?2与平面2x?y?0的位置关系是 ???123B．平行

D．相交但不垂直

A．直线在平面内 C．垂直

22．下列方程在空间直角坐标系中表示的图形为旋转曲面的是

x2z2??1 A．

3223．

(x,y)?(1,1)B．z?x?y

22limxy?1?

xy?1B．

A．0

1 2C．

1 3D．2

24．函数z?f(x, y)在点(x0, y0)处可微是f(x, y)在该点处两个偏导数的

A．充分条件 C．充分必要条件

B．必要条件

D．既非充分又非必要条件

?z?z和存在?x?y?2z? 25．已知z?x?y?sin(xy)，则

?x?yA．sin(xy)

C．cos(xy)?xysin(xy)

?nB．sin(xy)(1?xy) D．?xycos(xy)

2nxn26．幂级数?(?1)的和函数S(x)为

n!n?0A．e?x

B．e?2x

C．e?x2

D．2e?2x

27．下列级数发散的是

3

3?4n2A．?(?1)

(n?1)(n?2)n?1?nB．

n(?1)?n?1?1 n?132C．

?(?1)n?1??n?11 3nnD．

?n?1?1(2n?1)

28．若级数

?a(x?2)nn?0在点x?0处条件收敛，则在x??1，x?2，x?3，x?4，

x?5中使该级数收敛的点有

A．0个

B．1个

3C．2个 D．3个

29．若L是曲线y?x上从点(1, 1)到(?1, ?1)的一条连续曲线段，则曲线积分

?L(ey?y?2)dx?(xey?x?3y)dy的值为

A．e?e?4 C．?e?e?4 30．设I?A．C．

?1?1B．?e?e?4 D．0

?1? 1 0dx? 2?y y x2 0f(x, y)dy??dx? 1 2 2?x 0f(x, y)dy，则交换积分次序后，I可化为

? 1 0dy?f(x, y)dx

B．D．

? 2 0 1dy? 2?x x2 2?xf(x, y)dx f(x, y)dx

? 1 0dy?f(x, y)dx

0 2? 0dy? x2二、填空题（每小题2分，共20分）

31．已知f(x?1)?x?x，则f(x)? ． .

t2?2x?32．设函数f(x)?lim?1??(x?0)，则f(ln2)? ． t???t??33．如果函数f(x)在点a处可导且f?a?为f(x)的极小值，则f?(a)? ． 34．曲线y?xe的拐点是 ． 35．不定积分36．微分方程

?x?x(x12?1)dx? ．

2dy?2xy?e?x满足y(0)?0的特解为 ． dx??37．向量a?{1, ?1, 2}在b?{0, 3, 4}上的投影为 ．

38．设方程xy?xz?yz?0所确定的隐函数为z?z(x, y)，则

?z?x? ．

x?0y?1 4

39．设积分区域D为：x?y?4y，则

22??dxdy? ．

D40．若limnun?k（k?0），则正项级数

n???un?1?n的敛散性为 ．

三、计算题（每小题5分，共50分）

41．求极限limx?0tanx?sinxe?1x3．

?x?a(1?sint)d2y （t为参数）42．已知参数方程?，求2．

y?a(1?cost)dx?43．求不定积分e44．求limx?0?x?1dx．

2x1?ex2?x0etdt．

d2ydy?3y?0的通解． 45．求微分方程22?4dxdx46．求函数z(x, y)?y?x?6x?12y?10的极值．

32?2x?3y?z?547．求过点A(2, ?3, ?1)且与直线l:?平行的直线方程．

x?2z?1 ?48．求函数z?arctan49．计算

x?lnx2?y2的全微分． y??sinDx2?y2dxdy，其中D为圆环：π2?x2?y2?4π2．

(x?2)n50．求幂级数?的收敛域．

n?1n?0?四、应用题（每小题6分，共12分）

1x51．求函数f(x)?x在x?0时的最大值，并从数列1，2，33，44，?，nn，?中选出最大的一项（已知2?33）．

52．过点M(3, 0)作曲线y?ln(x?3)的切线，该切线与此曲线及x轴围成一平面图形

D．试求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

五、证明题（8分）

5

53．证明不等式：

m?nmm?n，其中n?m为正整数． ?ln?mnn 6

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