2017-2018版高中数学 第一章 计数原理 3 组合 第1课时 组合与组合数公式学案 北师大版选

第1课时 组合与组合数公式

学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．

知识点一 组合的定义

思考 ①从3,5,7,11中任取两个数相除； ②从3,5,7,11中任取两个数相乘．

以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？

梳理 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

知识点二 组合数与组合数公式 从3,5,7,11中任取两个数相除，

思考1 如何用分步乘法计数原理求商的个数？

思考2 你能得出C4的计算公式吗？ 梳理

组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示. 乘积形式 阶乘形式 m2

组合数公式 AnC＝m＝________________ AmmnmCn＝________________ Cn＝____________ Cn＋1＝____________＋____________ mm性质 备注 n，m∈N＋，且m≤n，规定C0n＝________

类型一 组合概念的理解

例1 判断下列各事件是排列问题还是组合问题． (1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ (2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？

(3)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (4)从1,2,3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？

反思与感悟 判断一个问题是否是组合问题的流程

跟踪训练1 给出下列问题：

(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ (4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．

2

类型二 组合数公式及性质的应用 命题角度1 有关组合数的计算与证明 例2 (1)计算C10－C7·A3； (2)求证：Cn＝

反思与感悟

(1)涉及具体数字的可以直接用公式

C

mnm4

3

3

m＋1m＋1

Cn＋1. n＋1

An＝m＝

Ammnn－

n－m！

n－m＋

计算．

(2)涉及字母的可以用阶乘式Cn＝

mn！

计算．

m！n－m！

(3)计算时常利用的组合数的两个性质 ①Cn＝Cn.②Cn＋1＝Cn＋Cn.

跟踪训练2 (1)计算C100＋C200＝________. (2)计算C4＋C5＋C6＋…＋C2 015的值为( ) A．C2 015 C．C2 016－1

44

3

3

3

398

199

mn－mmmm－1

B．C2 015 D．C2 015－1

5

5

命题角度2 含组合数的方程或不等式 117m5－m例3 (1)已知m－m＝m，求C8＋C8；

C5C610C7(2)解不等式：Cn>Cn.

反思与感悟 与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cn中的m∈N＋，n∈N＋，且n≥m确定m、n的范围，因此求解后要

m4

6

3

验证所得结果是否适合题意． 跟踪训练3 解方程3Cx－3＝5Ax－4.

类型三 简单的组合应用题

例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

反思与感悟 解简单的组合应用题，要首先判断它是不是组合问题，即取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，其次要看这件事是分类完成还是分步完成． 跟踪训练4 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？

(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

4

x－7

2

1．下列四个问题属于组合问题的是( )

A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作

B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员

2．集合M＝{x|x＝C4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} C．M?Q

2

5x－5

nB．Q?M D．M∩Q＝{1,4}

3．满足方程Cx－x16＝C16的x值为( ) A．1,3,5，－7 B．1,3 C．1,3,5 D．3,5 4．不等式C10

B．3≤n≤6 D．n＝3,4,5,6,7

n－3

n－2

5．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)

1．“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是m个元素形成的一个整体，不是数，组合数是形成的不同组合的个数，是数量．

2．对于有关组合数的计算、证明、解方程或不等式等问题，一是要注意组合数本身的意义及未知数的取值范围．二是掌握组合数性质，在计算Cn时，若m>，通常使用Cn＝Cn转化；求

2多个组合数的和时，要注意观察上、下标的特征，灵活运用Cn＋1＝Cn＋Cn.

mmm－1

mnmn－m

5

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