实验8

设 计学 院专 班 姓 姓 指 导 数字信号处理 实验报告

题 目： 设计IIR数字滤波器 名 称： 电子与信息工程学院 业： 电子信息工程 级： 电信133班 名： 何炳钢 学 号 13401180318 名： 朱恩良 学 号 13401180314 教 师： 郑悠

一、 实验目的

（1） （2） （3） （4）

加深对脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器基本方法的了解。 掌握使用模拟滤波器原型进行脉冲响应变换的方法。

掌握用双线性变换法设计低通、高通、带通、带阻滤波器的方法。 了解MATLAB有关脉冲响应变换和双线性变换的子函数。

二、 实验原理

1、 脉冲响应不变法的基本知识

脉冲响应不变法又称为冲激响应不变法，是将系统从s平面到z平面的一种映射方法，使数字滤波器的单位脉冲响应系列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应为z?h(n)。其变换关系式

aesT。

由于

esT是一个周期函数，因而s平面虚轴上每一段2?/T的线段都映射到z平面单位

圆上一周。由于重叠映射，因而冲激响应不变法是一种多值映射关系。数字滤波器的频率响应时原模拟滤波器的频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应时有限带宽，且频带宽度???T??2s，才能避免数字滤波器的频率响应发生混叠的现象。由于脉冲响应不

变法只适用于限带的模拟滤波器，因此，在高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲响应不变法。

用MATLAB冲激响应不变法进行IIR数字滤波器设计的步骤如下： （1） 输入给定的数字数字滤波器设计指标；

（2） 根据公式???/T，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标； （3） 确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率； （4） 计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数；

（5） 利用模拟域频率变换法，求解实际模拟滤波器的传递函数； （6） 用脉冲响应不变法将模拟滤波器转为数字滤波器。 2、 双线性变换法的基本知识

双线性变换法是将整个s平面映射到整个z平面，其映射关系为s?21?zT1?z?1?1或

z?1?sT/2

1?sT/2双线性变换法克服了脉冲响应不变法从s平面到z平面的多值映射的缺点，消除了频谱混叠现象。但其在变换过程中产生了非线性的畸变，在设计IIR数字滤波器的过程中需要进行一定的欲修正。

用MATLAB双线性变换法进行IIR数字滤波器设计的步骤与脉冲响应不变法设计的步骤基本相同：

（1）输入给定的数字数字滤波器设计指标；

（2）根据公式??2?tan()进行欲修正，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计T2指标；

（3）确定模拟滤波器的最小阶数和截止频率； （4）计算模拟低通原型滤波器的系统传递函数；

（5）利用模拟域频率变换法，求解实际模拟滤波器的传递函数； （6）用脉冲响应不变法将模拟滤波器转为数字滤波器。 3、实验涉及的MATLAB子函数 Impinvar

功能：用脉冲响应不变法实现模拟到数字的滤波器变换。 调用格式：

[bd,ad] = impinvar(b,a,Fs)；将模拟滤波器系数b,a变换成数字的滤波器系数bd,ad，两者的冲激响应不变。

[bd,ad] = impinvar(b,a)；采用Fs的缺省值1Hz。 bilinear

功能：双线性变换——将s域（模拟域）映射到z域（数字域）的标准方法，将模拟滤波器变换成离散等效滤波器。

调用格式：

[numd,dend] = bilinear(num,den,Fs)；将模拟域传递函数变换为数字域传递函数，Fs为取样频率。

[numd,dend] = bilinear(num,den,Fs,Fp)；将模拟域传递函数变换为数字域传递函数，Fs为取样频率，Fp为通带截止频率。

[zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,Fs)；模拟域零极点增益系数变换为数字域，Fs为取样频率。 [zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,Fs,Fp)；模拟域零极点增益系数变换为数字域，Fs为取样频率, Fp为通带截止频率。

[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(A,B,C,D,Fs)；将模拟域状态变量系数变换到数字域，Fs为取样频率。

三、 思考题

1、四种低通模拟滤波器之间的比较。 （1）巴特沃斯低通滤波器

要求：通带截止频率fp=2KHz，通带最大衰减最小衰减

Rp?1dB，阻带截止频率fs=5KHz，阻带

A?20dB。

s

由程序运行结果和频率特性曲线可知，该结果在通阻带截止频率处能满足

Rp?1bB、

As?20dB的要求，通带波动小，Rp仅0.273dB。这个巴特沃斯低通滤波器的传递函数为

H(s)?1

(s17689)4?2.6131(s17689)3?3.4142(ss17689)2?2.6131(17689)?1（2）切比雪夫Ⅰ型低通滤波器

要求：通带截止频率fp=2KHz，通带最大衰减Rp?1dB，阻带截止频率fs=5KHz，阻带

最小衰减

As?20dB。

由输入数据可见：Omgn=Omgp=12566(rad/s)由程序运行结果和频率特性曲线可知，该结果在通阻带截止频率处能满足

Rp?1bB、

A?20dB的要求，阻带衰减高，达到

s28.9442dB以上。该切比雪夫Ⅰ型低通滤波器的传递函数为：

直接型：

Ha(s)?0.4913s30?0.9883s0?1.2384s0?0.49132

级联型：

Ha(s)?0.4913s0(s0?0.4942s0)(s0?0.4942s0?0.9942)22

其中

s0?s

12566(3) 切比雪夫Ⅱ型低通滤波器

要求：为观察切比雪夫Ⅱ型在阻带内的波动，将率fp=2KHz，通带最大衰减

A指标提高为40dB,即通带截止频

sRp ?1dB，阻带截止频率fs=5KHz，阻带最小衰减As?40dB。

该结果在通阻带截止频率处能满足

Rp?1bB、As?40dB的要求，阻带衰减高，达到

4258.0571dB以上。该切比雪夫Ⅱ型低通滤波器的传递函数为：

直接型：

HHa(s)?0.01(s0?8s0?8)s40?1.3514s0?0.9139s0?0.3653s0?0.080.01(s0?6.8284)(s0?1.1716)222232

级联型：

a(s)?(s0?0.3423s0?0.256)(s0?1.0091s0?0.3125)

其中

s0?s

29387(4) 椭圆低通滤波器

要求：通带截止频率fp=2KHz，通带最大衰减小衰减

Rp?2dB，阻带截止频率fs=5KHz，阻带最

A?50dB。

s

该结果在通阻带截止频率处能满足

Rp该系统的传递函数为： ?2dB，As?50dB的要求。

直接型：

HHa(s)?0.0032s0?0.0675s0?0.197642s40?0.7104s0?1.3017s0?0.5512s0?0.24870.0032(s0?17.8293)(s0?3.5037)222232

级联型：

a(s)?(s0?0.5347s0?0.2634)(s0?0.1757s0?0.9444)

2、使用双线性变换法时，模拟频率与数字频率有何关系？会带来什么影响？如何解决？

答：关系：数字域频率ω和模拟域频率Ω是非线性关系

影响：双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在W上刻度为均匀的频率点映射到w上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。

解决：根据公式??2?tan()进行欲修正 T23、 为什么脉冲响应不变法不能用于设计数字高通滤波器和带阻滤波器？数字滤波器的频

率响应与模拟滤波器的频率响应有何区别？

答：因为脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，因此，在高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲响应不变法。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即频带宽度为???T??2s，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以

内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

直接型：

HHa(s)?0.0032s0?0.0675s0?0.197642s40?0.7104s0?1.3017s0?0.5512s0?0.24870.0032(s0?17.8293)(s0?3.5037)222232

级联型：

a(s)?(s0?0.5347s0?0.2634)(s0?0.1757s0?0.9444)

2、使用双线性变换法时，模拟频率与数字频率有何关系？会带来什么影响？如何解决？

答：关系：数字域频率ω和模拟域频率Ω是非线性关系

影响：双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形。即：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在W上刻度为均匀的频率点映射到w上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。

解决：根据公式??2?tan()进行欲修正 T23、 为什么脉冲响应不变法不能用于设计数字高通滤波器和带阻滤波器？数字滤波器的频

率响应与模拟滤波器的频率响应有何区别？

答：因为脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，因此，在高频区幅频特性不等于零的高通和带阻滤波器不能采用脉冲响应不变法。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，即频带宽度为???T??2s，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以

内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真，但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。

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