2019高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质课

2019高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.2双曲线及其性质

课时练理

x2y22

1.[2016·武邑中学模拟]已知双曲线2－2＝1的一个焦点与抛物线y＝4x的焦点重

a b合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )

4yA．5x－＝1

5

2

2

B.－＝1 545yD．5x－＝1

4

2

2

x2y2

C.－＝1 54答案 D

解析 ∵抛物线的焦点为F(1,0)，∴c＝1. 又＝5，∴a＝

2

y2x2

ca1

14222

，∴b＝c－a＝1－＝.

555

2

5y故所求方程为5x－＝1，故选D.

4

2．[2016·枣强中学一轮检测]“m<8”是“方程( )

A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A 解析 方程

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

x2m－10

－

y2m－8

＝1表示双曲线”的

x2x2

m－10m－8

－

－y2y2

＝1表示双曲线，则(m－8)(m－10)>0，解得m<8或m>10，故＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.

“m<8”是“方程m－10m－8

3. [2016·衡水中学周测]已知点M(－3,0)、N(3,0)、B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，分别过点M、N且与圆C相切的两条直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )

A．x－＝1(x>1)

8C．x－＝1(x>0)

8答案 A

解析 如图所示，设两切线分别与圆相切于点S、T，则|PM|－|PN|＝(|PS|＋|SM|)－(|PT|＋|TN|)＝|SM|－|TN|＝|BM|－|BN|＝2＝2a，所以所求曲线为双曲线的右支且不能与

22

y2y2

B．x－＝1(x>0)

10D．x－＝1(x>1)

10

2

2

y2y2

x轴相交，a＝1，c＝3，所以b＝8，故点P的轨迹方程为x－＝1(x>1)．

8

22

y2

4．[2016·冀州中学月考]以正三角形ABC的顶点A，B为焦点的双曲线恰好平分边AC，

BC，则双曲线的离心率为( )

A.3－1 C.3＋1 答案 C

解析 如图，设|AB|＝2c，显然|AD|＝c，|BD|＝3c，即(3－1)c＝2a，

B．2 D．23

∴e＝＝3＋1，∴选C. 3－12

y2x2

5．[2016·武邑中学周测]已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则双曲线的

ab渐近线方程为( )

A．y＝±

2

x 2

B．y＝±2x 1

D．y＝±x

2

C．y＝±2x 答案 A

解析 由题意得，双曲线的离心率e＝＝3，故＝caab2

，故双曲线的渐近线方程为y2

＝±

2

x，选A. 2

x2y2

6. [2016·衡水中学月考]已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为25，抛物线

aby＝x2＋1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为( )

A.－＝1 82C．x－＝1

4答案 D

2

116

x2y2

B.－＝1 28D.－y＝1 4

x2y2x2

y2

2

bb1212b解析 由对称性，取一条渐近线y＝x即可，把y＝x代入y＝x＋1，得x－x＋

aa1616ab212222222

1＝0，由题意得Δ＝2－4××1＝0，即a＝4b，又c＝5，∴c＝a＋b＝5b＝5，∴ba16

＝1，a＝4，选D.

2

x2y2

7．[2016·枣强中学猜题]已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，左、右顶点

ab分别为A1、A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为( )

A．相交 C．相离 答案 B

解析 设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支，如图111

所示，则|O2O1|＝|PF2|＝(|PF1|＋2a)＝|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外

222切，若P在双曲线右支，同理求得|O2O1|＝r1－r2，故此时，两圆相内切，综上，两圆相切，故选B.

8．[2016·衡水中学期中]已知F1，F2为双曲线C：x－y＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )

2

2

B．相切

D．以上情况都有可能

1

A. 43

C. 4答案 C

解析 由题意可知a＝b＝2，∴c＝2. ∵|PF1|＝2|PF2|，又|PF1|－|PF2|＝22， ∴|PF1|＝42，|PF2|＝22，|F1F2|＝4.

3B. 54D. 5

|PF1|＋|PF2|－|F1F2|

由余弦定理得cos∠F1PF2＝ 2|PF1|·|PF2|＝

2

2

222

＋2

2

－4

2

2×22×42

3

＝，故选C. 4

2

9．[2016·武邑中学期中]设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一

24点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )

A．42 C．24 答案 C

解析 双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知，2＝41

|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8.

33

∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，∴PF1⊥PF2，

11

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24，故选C.

22

2

2

2

y2

B．83 D．48

x2y2

10．[2016·衡水中学期末]已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若

ab双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为( )

A.5

2

B.5 D．2

baC.2 答案 B

解析 由题意可知渐近线为PF2的中垂线，设M为PF2的中点，所以OM⊥PF2.tan∠MOF2

＝

MF2b＝，因为OF2＝c，所以MF2＝b，OM＝a.因此PF2＝2b，PF1＝2a，又因为PF2－PF1＝2a，OMa2

2

2

2

所以b＝2a，则c＝a＋b＝5a，即c＝5a，故e＝＝5.

cax2y2

11．[2016·冀州中学期末]若双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点到一条渐近线的距

ab1

离等于焦距的，则该双曲线的离心率为________．

4

答案

23

3

解析 双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意：|bc－a×0|1c22322

＝×2c，所以c＝2b，a＝c－b＝3b，所以e＝＝＝. 22

4a3b＋a3

x2y2

12．[2016·衡水中学预测]双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，

ab→

左、右顶点分别为A1和A2，过焦点F2与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|PA1|→→

是|F1F2|和|A1F2|的等比中项，则该双曲线的离心率为________．

答案

2

→

2

?b?22222

解析 由题意可知|PA1|＝|F1F2|×|A1F2|，即??＋(a＋c)＝2c(a＋c)，又c＝a＋b，

?a?

→

→

2

c则a＝b，所以e＝＝a2

2c2＝a2a2＋b2＝2. a2

能力组

x2y22

13.[2016·枣强中学热身]双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)与抛物线y＝2px(p>0)相交

ab于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )

A.2 C．22 答案 B

B．1＋2 D．2＋2

??解析 抛物线的焦点为F?，0?，且c＝，所以p＝2c.根据对称性可知公共弦AB⊥x2?2???轴，且AB的方程为x＝，当x＝时，yA＝p，所以A?，p?.又因为双曲线左焦点F1的坐标

22?2?

为?－，0?，所以|AF1|＝

?2?

1)×2c＝2a，所以＝ppppp?p?

?－p－p?2＋p2＝2p，又|AF|＝p，所以2p－p＝2a，即(2－?22???

＝2＋1，选B.

ca12－1

14．[2016·衡水中学猜题]焦点为(0,6)且与双曲线－y＝1有相同渐近线的双曲线方

2程是( )

A.C.

－＝1 1224－＝1 2412

x2

2

x2y2

y2x2

B.D.

－＝1 1224－＝1 2412

y2x2

x2y2

答案 B

解析 设所求双曲线方程为－y＝λ(λ≠0)，因为焦点为(0,6)，所以|3λ|＝36，又

2焦点在y轴上，所以λ＝－12，选B.

x2

2

22

或利用排除法：因为焦点为(0,6)，故排除A、D，又－y＝1的渐近线为y＝±x，

22故选B.

x2

x2y2

15．[2016·衡水中学一轮检测]已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为

abF1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是( )

A．|OA|>|OB| B．|OA|<|OB| C．|OA|＝|OB|

D．|OA|与|OB|大小关系不确定 答案 C

解析 如图，由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交

PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，

11

则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，

22又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，

则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|， 故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a， 设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a， 解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.

x2y2

16. [2016·冀州中学模拟]已知F1，F2为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作

ab垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且△F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为________．

答案 y＝±2x

b2

解析 解法一：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，代入方程得y0＝±，∵PQ⊥x轴，∴|PQ|

a2b＝. 2

a在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，

b2

∴|F1F2|＝3|PF2|，即2c＝3·.

a又∵c＝a＋b，∴b＝2a或2a＝－3b(舍去)， ∵a>0，b>0，∴＝2.

故所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

解法二：∵在Rt△F1F2P中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|. 由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|PF2|＝2a，

由已知易得|F1F2|＝3|PF2|，

∴2c＝23a，∴c＝3a＝a＋b，∴2a＝b，∵a>0，b>0，∴＝2， 故所求双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

baba

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