弹塑性力学习题及答案

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第二章

2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkAjk，(3)eijpeklpBkiBlj。 答案 (1)?pi?iq?qj?jk??pk;

答案 (2)epqieijkAjk?Apq?Aqp;

解：(3)eijpeklpBkiBlj?(?ik?jl??il?jk)BkiBlj?BiiBjj?BjiBij。

2.2证明：若aij?aji，则eijkajk?0。

（需证明）

2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：

a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?c?aiaiaibiaici?a2a3?证：因为??b??ab1c1?iaibibib?????a1icib2b?13ab2c?2??ciaicibi??b1cici???c1c2c??23????a3b?， 3c3??所以

?aiaiaibiaici??a2a3??b1c1?a1a2a3a1b1det??biaibibib??det(?a1ici??b1b2b??a132b2c?2?b1b2b3a2b2??ciaicibicici??c2c??ab3c?)??c13????a33??c1c2c3a3b3a?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c1即得 b?ab?bb?c?ba2iaibibibici?b1b2b32b2c2?[a,b,c]。

c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c32.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：

(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c) 证明：(a?b)?(c?d)?

1

c1c2c32.5设有矢量u?uiei。原坐标系绕z轴转动?角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试

求矢量u在新坐标系中的分量。

zz'

答案： 'u u1??u1cos??u2sin?，

y u2???u1sin??u2cos?，

ox?x'图2.4?u3??u3。

中的分量T1?1?、T1?2?、T1?3?和T3?3?。 提示：坐标变换系数与上题相同。 答案：

y2.6设有二阶张量T?Tijei?ej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系

T11?T22T11?T22T?T?cos2??1221sin2?， 222T?TT?TT?TT1?2??1221?1221cos2??2211sin2?，

222T1?3??T13cos??T23sin?， T3?3??T33。 T1?1??2.7设有3个数 Ci1i2???inj1j2???jmnAii???i，对任意m阶张量Bjj???j，定义

12n12m?Aii???iBjj???j

12n12m12n 若Ci1i2???inj1j2???jm为n?m阶张量，试证明

2.8设

Aii???i是n阶张量。

证：为书写简单起见，取n?2，m?2，则

A为二阶张量，试证明I??A?trA。

证：

2.9设a为矢量，

A为二阶张量，试证明：

(1)a?A??(AT?a)T，(2)A?a??(a?AT)T

证：(1) ?(AT?a)T??(Ajiei?ej?akek)T??(Ajiei?akejknen)T ??(Ajiakejknei?en)T??Ajnakejkiei?en ?akek?Ajnej?en?a?A。 证：(2) ?(a?AT)T?

2

2.10已知张量T具有矩阵

?123? [T]??456?

?789??? 求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。

解：

2.11已知二阶张量T的矩阵为

?3?10?[T]???130?

?001???求T的特征值和特征矢量。 解：

2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：

A??I??m?m，B?m?n?n?m

其中，?和?是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为

A?m?(?I??m?m)?m?(???)m，

所以m是A的特征矢量，??? 是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单

位矢量，则有

A?a?(?I??m?m)?a??a

所以和m垂直的任意单位矢量都是征方程的重根。 令 e2?则有

A的特征矢量，相应的特征值为?，显然?是特

11(m?n)，e3?(m?n)，e1=e2?e3 2222(e2+e3)，n?(?e2+e3) 22上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成 B?0e1?e1?e2?e2+e3?e3

所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是e3、e1和e2。

m?

3

2.13设a和b是矢量，证明：

(1)??(??a)??(??a)??2a

(2)??(a?b)?b?(?a)?a?(?b)?a(??b)?b(??a) 证：(1) (2)

2.14设a?x2yze1?2xz3e2?xz2e3，求w? 解：w?1(a???a) 21(a???a)及其轴向矢量。 2?1[(x2z?2z3)e1?e2?(x2y?z2)e1?e3?(2z3?x2z)e2?e1 2 ?6xz2e2?e3?(z2?x2y)e3?e1?6xz2e3?e2] 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 ω?1??a?1[6xz2e1?(x2y?z2)e2?(2z3?x2z)e3]。 222.15设S是一闭曲面，r是从原点O到任意一点的矢径，试证明：

(1)若原点O在S的外面，积分(2)若原点O在S的内部，积分证：(1)当r?0时，有 ??(?rSSn?r3dS?0； dS?4?。

?rn?r3r?xi)?()?0 (b) r3?xir3因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得 n?rrdS???(?r3?r3)dv?0。 SV(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S?完全在S的内部。用V表示由S和S?所围的区域，在V中式(b)成立，所以

n?rn?rn?rrdS?dS?dS???()dV?0 ???3333rrrrS?S?SS?V? 即

n?rn?rdS???r3??r3dS SSn?rn?r11dS??dS?dS??r3??r3??a2a2??dS?4?。 SSSS 在S?上，r?a，n??r/a，于是 4

2.16设

f?ye1?(x?2xz)e2?xye3，试计算积分?(??f)?ndS。式中S是球面

S在xy平面的上面部分. x2?y2?z2?a2 解：用c表示圆x2?y2?a2，即球面x2?y2?z2?a2和xy平面的交线。由Stokes

公式得

?(??f)?ndS???f?dr???ydx?xdy?0。

Scc第三章

??r?u。求3.1设r是矢径、u是位移，r的二阶张量。 解：

??drdr，并证明：当ui,j?1时，是一个可逆 drdr?drdudr???I?u? drdrdr?dr?I?u?的行列式就是书中的式(3.2)，当ui,j?1时，这一行列式大于零，所以dr?dr可逆。 dr3.2设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，即A和r无关。求应变张量ε、反对

称张量Ω?(u???u)/2及其轴向矢量ω。

11 解：u??A，ε?(A?AT)，Ω?(A?AT)，

2211? ω???u?ei?Ajkej?ek?xlel

22?xi111 ?Ajkeijmem?ek??ilel?Ajkeijmem?ki?Ajieijmem

2223.3设位移场为u?A?r，这里的A是二阶常张量，且ui,j?1。请证明：

(1)变形前的直线在变形后仍为直线；

(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；

(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量a相同且过矢径为r0的点的直线方程可以写成

r?ta?r0 (1) 其中t是可变的参数。变形后的矢径为

??r?u?r?A?r?(I?A)?r (2) r5

用I?A点积式(1)的两边，并利用式(2),得

??t(I?A)?a?(I?A)?r0 r 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量(I?A)?a平行，过矢径为(I?A)?r0的点。

所以变形前的直线变形后仍然是直线。 (2)因为

ui,j?1，所以I?A可逆。记B?(I?A)?1，则

??B?r? (3) r?(I?A)?1?r 变形前任意一个平面的方程可以表示成

a?r?c (4) 其中a是和平面垂直的一个常矢量，c是常数。将式(3)代入式(4)，得

??c (5) (a?B)?r 上式表示的是和矢量a?B垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。

(3)变形前两个平行的平面可以表示成 a?r?c1，a?r?c2 变形后变成

??c1，(a?B)?r??c2 (a?B)?r 仍是两个平行的平面。

3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间

夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。

3.5设位移场为u?A?r，其中A是二阶常张量，n和m是两个单位矢量，它们之间的夹

角为?。求变形后?的减小量。

1n?(A?AT)?m?ctg?(n?A?n?m?A?m)。 sin?3.6设n和m是两个单位矢量，dr?ndr和?r?m?r是两个微小的矢量，变形前它们

所张的平行四边形面积为A?dr??r，试用应变张量把变形时它的面积变化率?A/A表示出来，其中?A是面积变形前后的改变量。 解：变形后，dr和?r变成

??d???r?ε??r?ω??r r?ε?rdω??rd，?r dr 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得

???r??dr??r?dr?ε??r?dr????r dr 答案： ??? 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 ???r?)?(dr???r?) (dr 6

?(dr??r)?(dr??r)?2(dr?ε??r)?(dr??r)?2(dr????r)?(dr??r) (a)

注意到

???r?)?(dr???r?)?(A??A)2?A2?2(?A)A (dr

(dr??r)?(dr??r)?A2

?A(dr?ε??r)?(dr??r)?(dr?ε??r)?(dr??r)? A(dr??r)?(dr??r)?(n?ε?m)?(n?m)?(n?ε?m)?(n?m)

(n?m)?(n?m) 所以，从式(a)可得

利用习题2.4中的等式，上式也可写成

?A?n?ε?n?2(n?ε?m)(n?m)?m?ε?m A1?(n?m)23.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为?ij，让坐标系绕z轴转动?

标系，求在新坐标系中的应变分量。 答案： ?x??角，得一个新的坐

?cos2???xysin2?， 22?x??y?x??y ?y???cos2???xysin2?，

22?x??y ?x?y???sin2???xycos2?，

2 ?x?z???xzcos???yzsin?，?y?z????xzsin???yzcos?，?z???z

3.8在Oxy平面上，Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为0?、60?、120?，

如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为?a、?b和?c。求平面上任意方向的相对伸长度?n。

答案：

?x??y?x??yy?n?

?a??b??c2?a??b??c3?3cos2?

c120?b60?3(?b??c) ?sin2?33.9试说明下列应变分量是否可能发生： ?x?axy2，?y ?yza?ax2y，?z?axy，

O图3.9x?ay2?bz2，?xz?ax2?by2，?xy?0

其中a和b为常数。

解：

7

3.10确定常数A0，A1，B0，B1，C0，C1，C2之间的关系，使下列应变分量满足协

调方程

2244 ?x?A0?A1(x?y)?x?y，

?y?B0?B1(x2?y2)?x4?y4， ?xy?C0?C1xy(x2?y2?C2)， ?z??zx??zy?0。

解：

3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解：（由于应变张量ε和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成……）

3.12设?x?ax，?y?by，?z?cz，?xy??yz??zx?0，其中a，b，c是常量，求位移的一般表达式。 解：

第四章

4.1已知物体内一点的六个应力分量为：

?x?50a，?y?0，?z??30a，?yz??75a，?zx?80a，?xy?50a 试求法线方向余弦为n1?1，n2?1，n3?22剪应力?n。 答案： 总应力T? 剪应力?n?12的微分面上的总应力T、正应力?n和

T12?T22?T32?111.8a。

?26.04a。

2T2??n?108.7a。

正应力?n?Tini4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n和m，在这两个面上的应力矢量分别为T1和T2，试证T1?m?T2?n。

证：（利用应力张量的对称性……）

8

4.3某点的应力张量为

??x?xy?xz??012? ??yx?y?yz???1?y1?

??zx?zy?z??210????? 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求?y及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为ni，则按题意有 ?ijnj 即

n2?2n3?0，n1??yn2?n3?0，2n1?n2?0 (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 (2?y?2)n2?0

上式有两个解：n2?0或?y可求得 n???0

?1。若n2?0，则代入式(a)中的三个式子，可得

n1?n3?0，这是不可能的。所以必有?y?1。将?y?1代入式(a)，利用nini?1，

e1?2e2?e3。 64.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，

试验证应力分量 ?x?A(?arctg ?y ?zyxy?22?C) xx?yyxy?A(?arctg?22?B)

xx?y??yz??xz?0，?xy??Ay2

x2?y2O?xyq图4.8 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数

A、B和C。

解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们

满足平衡方程。

在y?0的边界上，有边界条件 (?y)y?0??q，(?xy)y?0?0

所给的应力分量?xy自动满足上面的第二个条件。将?y的表达式代入上面的第一个条件，得

AB??q (1) 在上斜面上，有

y??xtg?，所以斜面上的应力分量可以简化成

9

?x?A(??sin?cos??C)，?x?A(??sin?cos??B)，

?xy??Asin2?，?z??yz??xz?0 (2)

斜面上的外法向方向余弦为

n1??sin?，n2??cos?，n3?0 (3) 将式(2)和(3)代入边界条件?ijnj ??0，得

???C?0 (4)

?A(sin???cos?)?ABcos??0A?q，B?tg???，C???

??tg? 联立求解(1)和(4)，得

4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ?x?ax?by，?y ?yz?cx?dy，?z?0，

xO??xz?0，?xy??dx?ay??x

?和?1分别是坝身和水的比重。求常数a、b、c、d，使上述应力分量满足边界条件。 解：在x?0的边界上，有边界条件 (?x)x?0???1y，(?xy)x?0?0

将题中的应力分量代入上面两式，可解得：a?0，

??1yy图4.9b???1。

在左侧的斜面上，x?ytg?，外法向方向余弦为 n1?cos?，n2??sin?，n3?0

把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件?ijnj?0，可解得：

d??1ctg2???，c?ctg?(??2?1ctg2?)。

4.6物体的表面由f(x,y,z)?0确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷

p(x,y,z)，试写出其边界条件。

解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 n??f?f??f 或 ni?f,if,kf,k 按题意，边界条件为 σ?n?pn 因此

10

σ?n?pn 因此

10

σ??f?f??f?p?f?f??f 即 σ??f?p?f

上式的指标形式为 ?ijf,j?pf,i。

4.7如图4.10所示，半径为a的球体，一半沉浸在密度为?的液体内，试写出该球的全

部边界条件。

aOz

n?图4.10 解：球面的外法向单位矢量为

当z?0时，有边界条件

xrxiei 或

?ni?i aaa σ?n?0 即 σ?r?0 或 ?ijxj?0。

当z?0时，球面上的压力为?gz，其中g为重力加速度，边界条件为

??n???gzn 即 σ?r???gzr 或 ?ijxj4.8物体的应力状态为?ij???gzxi。

???ij，其中?为矢径r的函数。(1)证明物体所受的体积力是

有势力，即存在一个函数?，使f????；(2)写出物体表面上的面力表达式。

解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以

f????σ?????I???,iei?I???,iei????

所以，只要令???，就有f????。

(2)表面上的面力为 T?n?σ??n?I??n 或 Ti??nj。

4.9已知六个应力分量?ij中的?3i?0，求应力张量的不变量并导出主应力公式。

2，I?0。 解：应力张量的三个不变量为：I1??x??y，I2??x?y??xy3 特征方程是

?3?I1?2?I2???(?2?I1??I2)?0 上式的三个根即三个主应力为??0和

11

??x??y?2????xy ?? ?22??4.10已知三个主应力为?1、?2和?3，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三

角形，其法向单位矢量为 n1???x??y2333，n2??，n3?? 333 求八面体各个面上的正应力?0和剪应力?0。 解：?0??ijninj1?(?1??2??3)， 32 T??ijnjei，T ?0?2T2??0??T?T??n?22ii?12??22??323，

1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2。 34.11某点的应力分量为?11??22??33?0，?12??23??31??，求：

1(e1?e2?e3)的面上的正应力和剪应力； (1)过此点法向为n?3 (2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。 解：(1)T??ijnjei?2?(e1?e2?e3)， 3 T2?T?T?4?2。 正应力为?n?T?n?2?。 剪应力为?n?2T2??n?0。

由此可知，2?是主应力，n? (2)用?表示主应力，则

1(e1?e2?e3)是和其对应的主方向。 3?? ??????(???)2(??2?)?0

???? 所以，三个主应力是?1?2?，?2??3???。由上面的结论可知，和?1对应的主

方向是n，又因为?2??3???是重根，所以和n垂直的任何方向都是主方向。

12

??

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0xtv.html