《复变函数与积分变换》习题册

第一章 复数与复变函数

本章知识点和基本要求

掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；

熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。

一、填空题

1、若等式i(5?7i)?(x?i)(y?i)成立，则x?______, y?_______. 2、设(1?2i)x?(3?5i)y?1?3i，则x? ，y?

12+3i3、若z=-，则z=

i1-i4、若z=(3+i)(2-5i)，则Rez= 2i45、若z?i?2?i，则z? 1?i6、设z?(2?i)(?2?i)，则argz?

7复数z?1?i的三角表示式为 ，指数表示式为 。 8、复数z??12?2i的三角表示式为 _________________，指数表示式为

_________________. 9、设z1?2i,z2i?4?1?i，则Arg(z1z2)= _ _____. 10、设z?2e,则Rez=____________. Im(z)? 。z= 11、.方程z3?27?0的根为_________________________________.

12、一曲线的复数方程是z?i?2，则此曲线的直角坐标方程为 。

13、方程Im(i?z)?3表示的曲线是__________________________. 14、复变函数w?z?2的实部u(x,y)?_________,虚部v(x,y)?_________. z?1- 1 -

15、不等式z?1?z?1?4所表示的区域是曲线 的内部。

316、1=

二、判断题（正确打√，错误打?）

1、复数7?6i?1?3i. ( ) 2、若z为纯虚数，则z?z. ( ) 3、若 a为实常数，则a?a （ ） 4、复数0的辐角为0.

5、f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ 6、设z1,z2为复数，则z1z2?z1?z2。 （ 7、z1?z2?z1?z2 （ 8、参数方程z?t2?ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线y?x2. (

三、单项选择题

1、下列等式中，对任意复数z都成立的等式是 （ ）

A.z·

z=Re(z·z) B. z·

z=Im(z·z) C. z·

z=arg (z·z)

D. z·

z=|z| 2、方程z3?8 的复根的个数为 （ ）

A. 3个 B. 1个 C. 2个 D. 0个 3、当z?1?i1?i时，z100?z75?z50的值等于 （ ）

A i B ?i C 1 D ?1 4、方程z?2?3i?2所代表的曲线是 （ ）

A 中心为2?3i，半径为2的圆周 B中心为?2?3i，半径为2的圆周 C中心为?2?3i，半径为2的圆周 D中心为2?3i，半径为2的圆周

- 2 -

） ）

)

） 四、计算题

1．求出复数z?(?1?i3)4的模和辐角。

22．设z?x?iy满足Re(z?3)?4,求x与y的关系式

3、将复数z?12?6i化为三角表示式和指数表示式。

4、求复数1-cosj+isinj,(0＃j

- 3 -

p)的三角表示式、指数表示式及幅角主值。

5．将直线方程2x?3y?1化为复数形式。

6、求以下根式的值： （1） ?2?2i

(2)

3i (3) - 4 -

41 第二章 解析函数

本章知识点和基本要求

理解复变函数的导数及复变函数解析的概念； 掌握复变函数解析的C-R条件，并能利用C-R条件判断复变函数的可导性和解析性；

掌握解析函数的基本性质；

了解指数函数、三角函数及对数函数的定义及它们的主要性质。

一、填空题

1、Ln(1?i)的主值为

2、Ln(-i)= ，主值为 3、设ez??3?4i , 则Re(iz)?_________________ 4、3i?_____________________________. 5、(1?i)i?________________________. 6、i1?i? 7、指数函数ez的周期是 8、设f(z)?(1?z)e?z，则f?(z)? 9、设f(z)?x3?y3?ix2y2，则f?(1?i)? 10、已知函数f(z)=(2x+1)y+v(x,y)i解析，则f￠(i)= 11、.函数f(z)?u?iv在z0?x0?iy0点连续是f(z)在该点解析的_________条件。 二、判断题（正确打√，错误打?）

1、.若f?(z)在区域D内处处为零，则f(z)在D内必恒为常数。 （ ）

2、.若f(z)在z0点不解析，则f(z)在z0点必不可导。 （ ） 3、函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0可微等价于u(x,y)和v(x,y)在点

(x0,y0)可微。 （ ）

- 5 -

4、sinz?1.. （ ） 5、函数ez是周期函数。 （ ） 6、设函数f(z)在点z0处可导，则f(z)在点z0处解析。 （ ） 7、对于任意的复数z1,z2，等式Ln(z1.z2)?Lnz1?Lnz2恒成立。 （ ） 8、不等式Re(z)?2 表示的是有界闭区域。 （ ） 9、对于任意的复数z，整数n，等式Lnzn?nLnz恒成立 （ ）

三、单项选择题

1、下列点集是单连域的是 （ ）

A．Re(z)>2 B.1

C.z￡1 D.2＃argZ2+p

2、下列所示区域中是多连域的为 （ ） A.Imz?0 B.Rez?0 C.0?z?1 D.

?4?argz??3

3、函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的 （ ）

A．充分不必要条件 B.必要不充分条件

C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4、下列说法正确的是 （ ）

A、f(z)在z0可导的充要条件是f(z) 在z0处解析。

B、f(z)在z0可导的充要条件是 u,v在z0处偏导数连续且满足C?R条件。 C、f(z)在z0可导的充要条件是f(z)在z0处连续。

D、f(z)在z0可导的充要条件是u,v在z0处可微且满足C?R条件 5、在复平面上，下列关于正弦函数sinz的命题中，错误的是（ ） A.sinz是周期函数 B.sinz是解析函数 C.|sinz|?1

D.(sinz)??cosz

6、以下说法中，错误的是 （ ）

A．复指数函数ez具有周期 B.幂函数za(a为非零的复常数)是多值函数 C．对数函数Lnz为多值函数 D.在复数域内sinz和cosz都是有界函数 7、设f(z)?sinz，则下列命题中错误的是（

- 6 -

）。

A．f(z)在复平面内处处解析 B．f(z)以2?为周期

eiz?e?izC．f(z)? D．f(z)是无界的

2四、计算题

判断下列函数在何处可导，在何处解析？ (1)f(z)?2x3?3y3i

(2)f(z)?(x?y)2?2(x?y)i

(3) f(z)?xy2?ix2y

- 7 -

第三章 复变函数的积分

本章知识点和基本要求

了解复变函数积分的定义及性质； 会求复变函数的积分；

理解柯西积分定理，掌握柯西积分公式；0 掌握解析函数的高阶导数公式；

了解解析函数无限次可导的性质；会综合利用各定理计算闭路积分。

一、填空题

1、设曲线C是正向圆周z?2，则??C11dz? ，dz? ，?2?(z?1)z?1C??(z?1)Cez2dz? 。

2、设C为从点z1??i到点z2?0的直线段，则?zdz?_______.

C3、若C为正向圆周z?2，则??1dz?________. Cz2z2?z?1dz，??2，3?5)i?__ ___,f(1)? . 4、若f(?)??则f(?z??z?2f?(1)?

ez________ 5、??cz?3dz(c:z?4)的值是

二、单项选择题

1、若f(z)在D内解析，?(z)为f(z)的一个原函数，则（ ） A.f?(z)??(z) C.??(z)?f(z)

B. f??(z)??(z) D. ???(z)?f(z)

2、下列积分中，积分值不为0的是 （ ）

3zA.??(z?2z)dz ，z?1?2 B.??edz ，z?2

Cc - 8 -

C.??csinzcoszdz，z?1 D.?dz，z?2 ?zz?1c三、计算题

1、沿下列路径计算积分?zdz

C(1) 从原点到3?i的直线段

(2) 从原点沿实轴到3，再从3垂直向上到3?i。

2、沿下列路径计算积分?z2dz

C(1)从原点到1?i的直线段

(2)从原点沿实轴到1，再从1垂直向上到1?i。

3、计算?coszdz。 4、计算积分?0i3?i0(2z?3)dz.

5、?(x?y?ix2)dz，其中C是从点0到1?i的直线段。

C

- 9 -

6、设C为从-2到2的上半圆周，计算积分? 7、??

8、计算积分??

9、计算??

- 10 -

C2z?3dz的值。

Cz1dz，C为正向圆周z?2 z2?1dz，其中C为圆周Z?3，且取正向。

C(z?i)(z?4)2z?1?2idz，其中C为正向圆周z?3.

C(z?1)(z?2i)

10、求下列积分之值（积分沿闭曲线的正向）

z?1 （1） ??cz(z?2)dz，z?3 （2） ??dzi(z?)(z?2)c，z?1

（3） ??coszcz3dz，

z?1 - 11 -

2(4)

??eizc(z?i)3dz，z?i?1

第七章 傅里叶变换

本章知识点和基本要求

掌握傅氏积分定理、理解傅氏积分公式； 理解傅立叶变换及傅立叶逆变换的概念； 了解?函数的概念、性质及其傅氏变换， 了解傅氏变换的物理意义；

掌握傅氏变换的性质，熟悉常用傅氏变换对。

一、填空题

ì0 ,t<0??1、设f(t)=í-5t，则F[f(t)]= ?e,t30???0, t?02、设f(t)????t，则F[f(t)]?________

e, t?0?3、F[1]?_______ 4、设F[f(t)]?1，则f(t)? ； ??i?5、设f(t)=sin2t，则F[f(t)]= ； 6、设F[f(t)]=F(w)，则F[(t+5)f(t)]= ；

7、设F[f(t)]?F(?)，t0 为实常数，则F[f(t?t0)]? ； 8、F[?(t?t0)]? ；

9、设F[f(t)]=F(w)，则f(1?t)的傅氏变换F[f(1?t)]? ； 10、F[f(t)]?F(?)，则F[?t??f(?)d?]?_______

211、已知f(t)?t，且F[f(t)]???2，则F?1[?2]? 2(??2)二、单项选择题

1、下列变换中，正确的是 ( )

A.F[?(t)]?1 B. F[1]??(?) C. F?1[?(?)]?1 D. F?1[1]?u(t) 2、设F[f(t)]?F(?)，则F[(t?1)f(t)]为 ( )

- 12 -

A. iF?(?)?F(?) B. iF?(?)?F(?) C. ?iF?(?)?F(?) D. ?iF?(?)?F(?) 3、??t?t0?的傅里叶变换F??(t?t0)?为 （ ）

A．1 B。t0 C。e?i?t0 D。ei?t0

4、设F[f(t)]?F(?)，则F[(2t?3)f(t)]? （ ）

A.2iF?(?)?3F(?) B. 2iF?(?)?3F(?) C. ?2iF?(?)?3F(?) D. ?2iF?(?)?3F(?) 5、设F[f(t)]?F(?)，则F[(t?2)f(t)]? （ ）

A.F?(?)?2F(?) B. ?F?(?)?2F(?) C. iF?(?)?2F(?) D. ?iF?(?)?2F(?) 6、设f(t)?cos?0t，则F[f(t)]? （ ）

A.?[?(???0)??(???0)] B. ?[?(???0)??(???0)] C.i?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)] 7、设f(t)??(2?t)?ei?0t，则F[f(t)]? （ ）

A e?2?i?2??(???0) B e2?i?2??(???0) C e?2?i?2??(???0) D e2?i?2??(???0) 8、设f(t)?sin?0t，则其傅氏变换F[f(t)]? （ ）

A.[?(???0)??(???0)] B. i?[?(???0)??(???0)] C.?[?(???0)??(???0)] D. i?[?(???0)??(???0)]

三、计算题

- 13 -

?0,???t??1?2,?1?t?0?1、已知函数f(t)??，求它的傅里叶变换。

?1,0?t?2??0,2?t???

ì-2,-1

?0,??t?03、求函数f(t)????t（其中??0）的傅氏变换及其积分表达式。

?e?????t?0

?t??t???sin4、求函数 f(t)?? 的傅氏变换，

0???t????并证明?

??0??sin??sin?t?sint,t??； d???221???0,t???- 14 -

5、利用定义或查表求下列函数的傅里叶逆变换

piww（1）F(w)=[d(+w0)-d(-w0)]

555pww（2）F(w)=[d(+w0)+d(-w0)]

555

6、用傅里叶变换求解下面的微分方程

x?(t)?x(t)??(t),???t???

7、设F[f(t)]?F(?)，列表给出下列函数的付里叶变换：

f'(t),f\t),tf(t),tf(t),f(t?t0),f(t?t0)，?2t??f(?)d?,?f(at)

,t?0?0?? 1,?(t),?(t?t0),?(t?t0),? f(t)????t?e?,?t?0并证明付里叶变换的微分性质和位移性质。

- 15 -

第八章 拉普拉斯变换

本章知识点和基本要求

理解拉普拉斯变换及拉普拉斯逆变换的概念； 了解拉普拉斯变换存在定理； 掌握拉普拉斯变换的性质；

掌握用留数求拉氏逆变换的方法； 了解拉氏变换卷积概念及卷积定理；

应用拉氏变换求解常微分方程及常微分方程组。

一、填空题

1、设F(S)=1，则L-1[e?SF(S)]= 2S2、L[(sin3t)￠]= 3、L[etsint]?

4、设f(t)?u(3t?5)，L[e?3tf(t)]? 5、L[etcost]? 6、设L[f(t)]?2, 则 L[e?3tf(t)]? 2s?47、设f(t)?(t?1)2et，L[f(t)]? 8、设 F(s)?1，则L?1[F(s)]? 22(s?1)9、设L[f1(t)]?F1(S), F[f2(t)]?F2(S)，则L[f1(t)*f2(t)]? 10、设 F(s)?s?2，则L?1[F(s)]? 2s?16二、单项选择题

1、下列变换中，不正确的是 ( )

A.F[?(t)]?1 B.L[?(t)]?1 C. L[1]??(t) D. F[1]?2??(?) 2、设L[f(t)]?F(s)，其中正确的是（ ）

- 16 -

A．L[f?(t)]?sF(s) B。L[eatf(t)]?F(s?a) C．L[f(at)]?1F(s) D。L[eatf(t)]?F(s?a) a3、f(t)?teat(a?0) 的拉氏变换为 （ ） A.

1?11?1 B. C. D. 22S?as?a(s?a)(s?a)4、若F(S)?1?S?1e，则L[F(S)]? （ ） 2S?1A.sin(t?1) B.u(t?1)sint C. u(t)sin(t?1) D.u(t?1)sin(t?1) 5、设f(t)?e?2tcos3t 则L[f(t)]? （ ） A.

3S?2 B.

(S?2)2?9(S?2)2?93S3(S?2) D. 22(S?2)?9(S?2)?9 C.

s26、函数F(s)?2 的拉氏逆变换为 （ ）

s?1 A.?(t)cost B.?(t)?cost C.?(t)(1?sint) D.?(t)?sint

e?S7、设F(s)?，则L?1[F(S)]? （ ）

S(S?2)A e?2(t?1)u(t?1) B u(t?1)?e?2(t?1)u(t?1) C

11[1?e?2(t?1)]u(t?1) D [u(t)?e?2(t?1)u(t?1)] 22三、计算题

1、利用定义或查表求下列函数的拉普拉斯变换。

t(1) f(t)=eatsin2t （2）f(t)=cos2

5

- 17 -

(3)f(t)=2sinat-tsinat (4) f(t)=e2t+3e5t

(5)f(t)?e2t?5?(t) (6)f(t)?e2t?tet

(7)f(t)?eatsint

（9） f(t)?tcosat

（11）f(t)?sint?u(t?2)

（8）f(t)?sin22t （10）f(t)?(t?2)2et （12）f(t)?sin(t?2)?? - 18 -

（13）f(t)?te?tsin2t （14）f(t)?sin(t?2)?u(t?2)

ì0 t < ,0?2、已知f1(t)=?，f2(t)=í???sint ,t30f1(t)*f2(t).

ì0 ,t<0??，求f1(t)与f2(t)的卷积í???cost ,t30

3、用定义或查表求下列函数的拉普拉斯逆变换。

1e-5S (1) F(S)= (2) F(S)=2

S(S+1)S+1

(3) F(S)=

b1 (4)F(S)?

(S-a)(S-b)S(S?1) - 19 -

S2S?3(5)F(S)? (6)F(S)?2

(S?2)(S?3)

(7)F(s)?2s?3s2?9

(9)F(s)?s2?2s?1s(s?1)2

4、用拉普拉斯变换求解下列微分方程。 (1)yⅱ-3yⅱ+2y=6e-t,y(0)=0,y(0)=0

（2）y??y?e2t?1，y(0)?0

- 20 -

S?1(8)F(s)?4(s?4)(s?2)

2、

1tsint 2?t3、⑴ 1?e ⑵ sin(t?1)u(t?1) ⑶ ⑹

b1eat?ebt? ⑷ et?1 ⑸??e?2t?6e3t? ?a?b5??t??sint ⑺ 2cos3t?sin3t ⑻ 2?e?2t?e?4t? ⑼ 4tet?et?2

?tt2tt2t4、⑴ e?3e?2e ⑵ 1?2e?e ⑶ ⑷ Y?S??1t?t?e?e? 21?t72tttyt?e?4e?e ⑸ , y(t)?tesint??2233?S?2S?2?2?S?1?5、⑴ x?t??2et?e3t,y?t??3et?4e3t ⑵ x?t??1?cost,y?t??sint

⑶ x?t??y?t??e ⑷ x?t??3?2e?et?t?2t,y?t??2?4e?t?2e?2t

- 26 -

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