2019-2020学年高中数学第二章函数2.5简单的幂函数高效测评北师大版 doc

2019-2020学年高中数学第二章函数2.5简单的幂函数高效测评北师

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一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图像都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图像可以出现在第四象限

1

α

C．当幂指数α取1,3，2时，幂函数y＝x是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数

解析： 当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图像不通过原点，故选项A不正确； 因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝x(α∈R)，y>0，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，

故选项B不正确；

当α＝－1时，y＝x在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，

故选项D不正确． 答案： C

2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) 1

A．y＝x2 C．y＝x

－2

－1

α

B．y＝x 1

D．y＝x3

4

1

解析： 函数y＝x2定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故A不正确； 函数y＝x是过点(0,0)，(1,1)的偶函数，故B正确； 函数y＝x－2不过点(0,0)，故C不正确； 1

函数y＝x3是奇函数，故D不正确． 答案： B

4

?1?3?1?3?1?1?????3．设a＝?2?4，b＝?5?4，c＝??2?2，则( )

A．aB．c

3

解析： 由y＝x4是[0，＋∞)上的增函数，

?1?3?1?3???∴??5?4

?1?x?由y＝??2?是R上的减函数， ?1?3?1?1???∴??2?4答案： D

4．已知函数y＝x，y＝x，y＝x的图像如图所示，则a，b，c的大小关系为( ) A．cabc解析： 由幂函数的图像特征知，c<0，a>0，b>0.

由幂函数的性质知，当x>1时，幂函数的幂指数大，其函数值就大，则a>b. 综上所述，可知c二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．

解析： ∵函数的图像与x轴，y轴都无交点， ∴m－1<0，解得－1

6．已知幂函数f(x)＝x的部分对应值如下表：

α

2

x f(x) 1 1 12 22 则不等式f(|x|)≤2的解集是________． 2?1?11

α??解析： 由表中数据知2＝?2?，∴α＝2，∴f(x)＝x2， 1

∴|x|2≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4.

答案： {x|－4≤x≤4}

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知幂函数f(x)＝x－m＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．求函数f(x)的解析式．

解析： ∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m2＋2m＋3>0， 即m－2m－3<0，－1

而m＝0,2时，f(x)＝x不是偶函数，

3

2

2

m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，

∴f(x)＝x4.

?1?

?. ，28．已知幂函数f(x)＝x的图像经过点A??2?

a(1)求实数a的值；

(2)用定义证明f(x)在区间(0，＋∞)内的单调性．

?1?

??， ，2解析： (1)∵f(x)＝x的图像经过点A?2?

a11?1?a－a??∴?2?＝2，即2＝22，∴a＝－2.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1

则f(x2)－f(x1)＝x2－2－x1－2

x1－x2

＝x2－x1＝x1x2

1

1

＝xx12

x1－x2

x1＋x2.

∵x2>x1>0，∴x1－x2<0， 且x1x2·(x1＋x2)>0， 于是f(x2)－f(x1)<0，

1

即f(x2)

☆☆☆

1

9．(10分)已知幂函数f(x)＝xm2＋m(m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若函数还经过(2，2)，试确定m的值，并求满足f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解析： (1)∵m∈N*， ∴m＋m＝m×(m＋1)为偶数．

1

令m＋m＝2k，k∈N，则f(x)＝x2k＝2kx，

2

*

2

∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f(x)为增函数． 1

(2)∵2＝2m＋m，∴m2＋m＝2，

2

解得m＝1或m＝－2(舍去)，

13

∴f(x)＝x2，令2－a>a－1≥0，可得1≤a<2. ?3??故a的取值范围为??1，2?.

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