2012年中考数学总复习学案（149页）

2012年中考数学总复习学案

实数的概念

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.实数的有关概念

(1)有理数: 和 统称为有理数。 (2)有理数分类

①按定义分: ②按符号分:

??(??有理数???(???(?)?0?(??()??()??(??)；有理数?0))??(???()??())

?()??())（3）相反数：只有 不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，

则 。

（4）数轴：规定了 、 和 的直线叫做数轴。 （5）倒数：乘积 的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为则 。 （6）绝对值：

（7）无理数： 小数叫做无理数。 （8）实数： 和 统称为实数。 （9）实数和 的点一一对应。

??)??( ????

??(??2.实数的分类:实数?

?

? ??(

??(??)???(???()??()?零?(??()??()??()???)?(?)?)??))1a.

3.科学记数法、近似数和有效数字

n

（1）科学记数法：把一个数记成±a310的形式（其中1≤a<10，n是整数）

（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。 （3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都

- 1 -

叫做这个数字的有效数字。

（二）：【课前练习】

1．|－22|的值是（ ）

A．－2 B.2 C．4 D．－4 2．下列说法不正确的是（ ）

A．没有最大的有理数 B．没有最小的有理数

C．有最大的负数 D．有绝对值最小的有理数 3．在??2?、sin45、、09、0.2020020002???、00无理数有（ ） 、这七个数中，

27322? A．1个；B．2个；C．3个；D．4个 4．下列命题中正确的是（ ）

A．有限小数是有理数 B．数轴上的点与有理数一一对应

C．无限小数是无理数 D．数轴上的点与实数一一对应

5．近似数0.030万精确到 位，有 个有效数字，用科学记数法表示为 万

二：【经典考题剖析】

1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少

年宫在学校东300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离．： 2．下列各数中：-1，0，169，

227?2?,2?1,cos45?,-cos60?, ，1.101001??,0.6,2,

227??.

有理数集合{ ?}； 正数集合{ ?}； 整数集合{ ?}； 自然数集合{ ?}； 分数集合{ ?}； 无理数集合{ ?}； 绝对值最小的数的集合{ ?}；

2

3. 已知(x-2)+|y-4|+z?6=0，求xyz的值．．

4．已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求2(a?b)3的值

?2(cd)m?1?2mm2

- 2 -

5. a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，化简a?a?b?b?a

a0b三：【课后训练】

2、一个数的倒数的相反数是1 ,则这个数是（）

6565

A． B． C．- D．－

5656

3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（ ） A．非负数 B．非正数 C．负数 D．正数

4. 数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数 是2 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（ ） A．代人法B．换元法C．数形结合D．分类讨论

5. 若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________． 6.已知x?y?y?x，x?4,y?3，则?x?y?? 7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km，用科学计数法表 示 (保留三个有效数字)

8.当a为何值时有：①a?2?3；②a?2?0；③a?2??3

3

15

9. 已知a与 b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2的相反数的负倒数，y不能作除数，求2(a?b)2002

?2(cd)2001?1x?y2000的值．

- 3 -

10. （1）阅读下面材料：点 A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示

为|AB|，当A上两点 中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a－b|； ②如图1－2－6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所示，点A、B在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－b|

综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a－b| （2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的

距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果 |AB|=2，那么x为

_________．

③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是_________.

四：【课后小结】

初三数学总复习

实数的运算

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把__________

②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用 ____________________。互为相反数的两个数相加得____。 ③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。 (3)有理数乘法法则：

①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，

都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________，

积为负，当_____________，积为正。

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.

- 4 -

(4)有理数除法法则：

①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。 ②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。 0除以任何一个

____________________的数，都得0

(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________； 负数的__________是负数， 负数的__________是正数 (6)有理数混合运算法则：

先算________，再算__________，最后算___________。 如果有括号，就_______________________________。 2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先 、 ，然后 ，最后 ．有括号时，先算 里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。 3.运算律

（1）加法交换律：_____________。 （2）加法结合律：____________。 （3）乘法交换律：_____________。 （4）乘法结合律：____________。 （5）乘法分配律：_________________________。 4.实数的大小比较 （1）差值比较法：

a?b＞0?a＞b，a?b=0?a?b，a?b＜0?a＜ b （2）商值比较法：

若a、b为两正数，则

（3）绝对值比较法：

若a、b为两负数，则a＞b?a＜b；a?b?a?b；a＜b?a＞b （4）两数平方法：如15?5.三个重要的非负数： （二）：【课前练习】

1. 下列说法中，正确的是（ ）

A．|m|与—m互为相反数 B．2?1与2

ab＞1?a＞b；

aba?1?a?b;b＜1?a＜b

5与13?7

2?1互为倒数

C．1998．8用科学计数法表示为1．9988310

D．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50

2. 在函数y?11?x中，自变量x的取值范围是（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1

3. 按鍵顺序－122÷4＝，结果是 。 4.16的平方根是______ 5.计算

(1) 3÷(－3)+|－ (2)

(32-23)-(3222

16 |3(－ 6)+49；

3)

2+2- 5 -

二：【经典考题剖析】

21.已知x、y是实数， 3x?4?y?6y?9?0,若axy?3x?y,求实数a的值.

2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:42,

3.比较大小:(1)35与211,(2)15?5与13?7,(3)10?3与3-22 13,?2,4?2,27,(?1)0

1234

4.探索规律:3=3，个位数字是3；3=9，个位数字是9；3=27，个位数字是7；3=81，

567

个位数字是1；3=243，个位数字是3；3=729，个位数字是9；?那么3的个位数字

20

是 ；3的个位数字是 ； 5.计算：

(?2)?(?1)?34(?12)22（1）

（2）(2)?1?(2001?3?12???()?2???；

0.25?4??1?3?(?2)???tan30)?(?2)?002116?12?1

三：【课后训练】

1.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人， 三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员工步行到停靠站的路程之和最小， A100mB200mC那么停靠站的位置应设在（ ）

A．A区； B．B区； C．C区； D．A、B两区之间

- 6 -

2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长

25.7%，占2004年国内生产总值（GDP）的19%。根据以上信息，下列说法：①2003年

全国税收收入约为257183（1-25.7%）亿元；②2003年全国税收收入约为

257181+25.7%亿

元；③若按相同的增长率计算，预计2005年全国税收收入约为257183（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP）约为

2571819%亿元。其中正确的有（ ）

A．①④；B．①③④；C．②③；D．②③④ 3.当0＜x＜1时，x2,x,A．

1x21x的大小顺序是（ ） ＜x＜x；C．x＜x＜

22＜x＜x；B．

1x1x；D．x＜x＜

21x

4.设是大于1的实数，若a,a?22a?1在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、,33C三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）

A．C 、B 、A；B．B 、C 、A ；C．A、B、 C ；D．C、 A、 B 5.现规定一种新的运算“?”：a?b=a，如3?2=3=9，则

A．

18b

2

12?3?（ ）

；B．8；C．

16；D．

32

6.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；

101～198次为直快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。二是单、双数表示不同的行驶方向，比如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车次号可能是（ ） A．20；B．119；C．120；D．319 7.计算： （1）(3－12?3132

)； ⑵(3+2)(3－2)；⑶27+33-1

12（4）12+-(2+3)0；（5）?0.52+(-12)--2-4-(-12212)?(313)?(-3)4

8. 已知：

x?3x?2?3?12?1，求

?5????x?2?的值

2x?4?x?2?x?3 9. 观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，??这些等式反映出自然数间

的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来 10.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王记

下该股票每日收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 +2 -0.5 +1.5 -1.8 +0.8

根据表格回答问题

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五

- 7 -

以收盘价将传全部股票卖出，他的收益情况如何？

四：【课后小结】

初三数学总复习

数的开方和二次根式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.平方根与立方根

2

(1)如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。

3

（2）如果x=a，那么x叫做a的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数有

一个 的立方根；零的立方根是 ；

2.二次根式

（1） （2）

（3）

（4）二次根式的性质

2 ①若a?0,则(a)? ；③ab? (a?0,b?0)

②a2?a?a????a(())；④ab?ab(a?0,b?0)

（5）二次根式的运算

①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；

②乘法：应用公式a?b?ababab(a?0,b?0)；

③除法：应用公式?(a?0,b?0)

④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。

- 8 -

（二）：【课前练习】

1.填空题

2. 判断题 3. 如果(x-2)=2-x2那么x取值范围是（）

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A．x+1 B.xy C.12 D.0.5225 ；④27和35. 在二次根式：①12, ②23③23是同类二次根式的是（ ）

A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④ 二：【经典考题剖析】

1. 已知△ABC的三边长分别为a、b、c, 且a、b、c满足a －6a+9+试判断△ABC的形状．

2. x为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）?2x?3； （2）1?xx?122

b?4?|c?5|?0，

； （3）1x?4 - 9 -

3.找出下列二次根式中的最简二次根式：

27x,x?y,222ab,20.1x,a2,?21,?x,1a?1b,x?y22

4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：

3,75,18,127,2,125,1,28ab(b?0),?3b3a2b503

5. 化简与计算

①675；②4?4x?x(x?2)；③ ⑤?2?

2116?125；④m?4m?4m?6m?9622(m??72)

3?6?2??2?3?6?2；⑥?23?32???23?32?6?

三：【课后训练】

1. 当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ）

A、?x?2??x?2 B、?x?3??x?3

C、 ?x?2??x?3?? 2. 如果(x-2)=2-x2222?x?3?x D、3?x2?x?3?x2?x 那么x取值范围是（）

- 10 -

A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2 3. 当a为实数时，a=-a2则实数a在数轴上的对应点在（ ）

A．原点的右侧 B．原点的左侧

C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧

4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－17是17的平方根，其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5. 计算a+a321a所得结果是______．

6. 当a≥0时，化简3a2= 7.计算 （1）、2525x?9x9?2x； （2）、?5?2?48?62003?5?2?2004

（3）、?23?32?2； （4）、5x-4+227?312 8. 已知：x、y为实数，y=4-x+12，求3x+4y的值。

(p?1)2x-29. 实数P在数轴上的位置如图所示：化简?(P?2)2

10. 阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求值：a+1-2a+a2其中a=9时”，得出了不同的答案，小明的解答：

2原式= a+1-2a+a= a+(1－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=239－1=17

⑴___________是错误的；

⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________

四：【课后小结】

初三数学总复习

代数式的初步知识

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 代数式的分类: 有理式

代数式

无理式

2. 代数式的有关概念

- 11 -

(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母

连结而成的式子叫代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式．

（2）有理式： 和 统称有理式。 （3）无理式：

3.代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。

求代数式的值可以直接代入、计算。如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值。

（二）：【课前练习】

1. a，b两数的平方和用代数式表示为（ ）

2222 A.a?b B.(a?b) C.a?b D.a?b

2 2. 当x=-2时，代数式-x+2x-1的值等于（ ）

A.9 B.6 C.1 D.-1

3. 当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8

4. 一种商品进价为每件a元，按进价增加25％出售， 后因库存积压降价，按售价的

九折出售，每件还盈利（ ）

A.0.125a元 B.0.15a元 C.0.25a元 D.1.25a元

5.如图所示，四个图形中，图①是长方形，图②、③、 ④是正方形，把图①、②、③

三个图形拼在一起（不重合），其面积为S，则S＝______________；图④的面积P为_____________，则P_____s。 a+b④ ③a①2a b②aa+bbb

2二：【经典考题剖析】

1. 判别下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式。

（1）a-ab+b；（2）S=

2

2

12（a+b）h；（3）2a+3b≥0；（4）y；（5）0；（6）c=2?R。

2. 抗“非典”期间，个别商贩将原来每桶价格a元的过氧乙酸消毒液提价20％后出售，市政府及时采取措施，使每桶的价格在涨价一下降15％，那么现在每桶的价格是_____________元。

3.一根绳子弯曲成如图⑴所示的形状，当用剪刀像图⑵那样沿虚线把绳子剪断时，绳子被剪成5段；当用剪刀像图⑶那样沿虚线b（b∥a）把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段，若用剪刀在虚线ab之间把绳子再剪(n-2)次(剪刀的方向与a平行）这样一共剪n次时绳子的段数是（ ） a b a

⑵ ⑴

A.4n+1 B.4n+2 C.4n+3 D.4n+5

⑶ - 12 -

4. 有这样一道题，“当a= 0.35，b=-0.28时，求代数式 7a－6ab+3a＋6ab－3ab－10a+3

2

ab－2的值”．小明同学说题目中给出的条件a=0.35，b=-0.28是多余的，你觉得他的说法对吗？试说明理由．

5. 按下列程序计算，把答案填在表格内，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规

律？

x?平方??x??x??x?答案233323

13

（1）填写表内空格：

输入x

3 2 -2 ... ...

输出答案 1 1

（2）发现的规律是：____________________。 （3）用简要的过程证明你发现的规律。

三：【课后训练】

1. 下列各式不是代数式的是（ ）

A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、

2y

2. 两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一个数之积用代数式表示

为（ ）

A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）

xy2

3. 若ab与ab是同类项，下列结论正确的是（ ）

A．X＝2，y=1；B．X=0，y=0；C．X＝2，y=0；D．X=1，y=1 4. 小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），

然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第 2步），如图反映的是前3步的图案，当第１0步结 束后，组成图案的积木块数为 （ ）

第1步 第3步 第2步 A．306 B．361 C．380 D．420

5. 科学发现：植物的花瓣、萼片、果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个

奇特的数列——著名的裴波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，??仔细观察以上数列，则它的第11个数应该是 . 6.

若x=-2,则3x-x+2x+3x=22 ；

7. 一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一

部分如图所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_____颗．

- 13 -

8. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：

⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n个图案中有白色地面砖 块． 9. 下面是一个有规律排列的数表：

上面数表中第9行，第7列的数是_________．

10. 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： ⑴在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

①1=12； ②1+3=22； ③1+2+5=32；

④ ；

⑤ ；

⑵通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式.

四：【课后小结】

- 14 -

??

??

初三数学总复习

整式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.整式有关概念

（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中____________

叫做这个单项式的系数；单项式中____________叫做这个单项式的次数；

（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。____________ 叫做常数项。 多项式中____________的次数，就是这个多项式的次数。多项式中____________

的个数，就是这个多项式的项数。 2.同类项、合并同类项

（1）同类项：________________________________ 叫做同类项； （2）合并同类项：________________________________ 叫做合并同类项； （3）合并同类项法则： 。 （4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；

括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都 。 3.整式的运算

（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。 （2）整式的乘除法： ①幂的运算：

aam?an?a?pm?n;a1m?an?am?n;(a)?amnmn;(ab)n?abnn0

(a?0,p为整数)?1,a?ap②整式的乘法法则：单项式乘以单项式：

- 15 -

。 单项式乘以多项式：m(a?b)? 。 单项式乘以多项式：(m?n)(a?b)? 。 ③乘法公式：

平方差： 。 完全平方公式： 。

a、b型公式：(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab

2④整式的除法：单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。 多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

（二）：【课前练习】 1. 代数式－4x2y2+12xy-1有___项，每项系数分别是 __________.

32. 若代数式－2xy与3xy是同类项，则代数式3a－b=_______ 3. 合并同类项：⑴-abc-4bc-6ac+3abc+5ac+4bc;(2)-7x2y?5xy2?4x2ab+252-b

?3xy2

4. 下列计算中，正确的是（ ）

33 623222

A．2a+3b=5ab；B．a2a=a；C．a÷a=a ；D．（－ab）=ab5. 下列两个多项式相乘，可用平方差公式（ ）．

①（2a－3b）（3b－2a）；②（－2a ＋3b）（2a+3b）

③（－2a +3b）（－2a －3b）；④（2a+3b）（－2a－3b）．

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

二：【经典考题剖析】

1.计算：－7ab+3ab－｛[4ab-(2ab-3ab)]-4ab-(11abb-31ab－6ab｝

2. 若x3m=4,y3n=5,求(x)+(y)3－x2y的值．

22

3. 已知：A=2x+3ax－2x－1, B=－x+ax－1，且3A+6B的值与 x无关，求a的值．

2

4. 如图所示是杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）（其中n

4

为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）展开式中的系

2m3

n

2m

n

2

2

2

2

2

2

- 16 -

数：

1

(a+b)=a +b；

222

(a+b)=a+2ab+b

33223

(a+b)=a +3a b+3ab+b 44322

则(a+b)=____a+____a b+___ a b+_____

6

(a+b)= 5. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表

2

示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：(2a＋b)(a+b)=2a＋

2

3ab+ b就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表示． （1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式： （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：

22

（a+b）（a+3b）＝a＋4ab十3b．

（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒

等式，并画出与之对应的几何图形．

三：【课后训练】

1. 下列计算错误的个数是（ ）

⑴x+x=x333+3； ⑵m?m=2m； ⑶a?a?a=a666350?3?5=a; ⑷(-1)(-1)(-1)=(-1)82432?4?3=(-1)

9A．l个 B．2个 C．3个 D．4个

2. 计算：(3a2-2a+1)-(2a2+3a-5)的结果是（ ）

A．a－5a+6; B．a－5a－4; C．a+a－4; D. a +a+6 3. 若x2+ax=(x+ A. a=3,b=9432)+b22222

，则a、b的值是（ ）

94; C.a=0, b=-94; D.a=3, b=-32; B.a=3,b=-

4. 下列各题计算正确的是（ ）

8438-810099105-24

A、x÷x÷x=1 B、a÷a=1 C. 3÷3=3 D.5÷5÷5=5 5. 若3a3bn-5amb4所得的差是 单项式．则m=___．n=_____，这个单项式是____________． 6. －

?abc223的系数是______，次数是______．

7. 求值：（1－

122）（1－

132）（1－

142）?（1－

192）（1－

2

1102）

8. 化学课上老师用硫酸溶液做试验，第一次实验用去了a毫升硫酸，第二次实验用去

- 17 -

了b毫升硫酸，第三次用去了2ab毫升硫酸，若a=3．6，b=l．4．则化学老师做三次实验共用去了多少毫升硫酸？ 9. ⑴观察下列各式：

⑵由此可以猜想：(

ba2

) =____(n为正整数，且a≠0)

n

⑶证明你的结论：

10. 阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+4+5+?+100=？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+4+5+?+n=n(n+1)，其中n是

21正整数．现在我们来研究一个类似的问题： 观察下面三个特殊的等式： 132+233+334+?+n(n+1)=? 132= (13233－03132)

31233= (23334－13233)

31 334= (33435－23334)

31将这三个等式的两边分别相加，可以得到13+233 334=333435=20

31 读完这段材料，请你思考后回答：

⑴132+233+334+?+1003101=_________. ⑵132+233+334+?+n(n+1)=___________. ⑶13233+23334+??+n(n+1)(n+2)=______-. （只需写出结果，不必写中间的过程）

四：【课后小结】

初三数学总复习

- 18 -

因式分解

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因

式．

2．分解困式的方法：

⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出

来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．

⑵运用公式法：平方差公式: ； 完全平方公式: ；

3．分解因式的步骤：

（1）分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．

（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。 4．分解因式时常见的思维误区：

提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等

（二）：【课前练习】

1.下列各组多项式中没有公因式的是（ ）

223

A．3x－2与 6x－4x B.3（a－b）与11（b－a） C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc 2. 下列各题中，分解因式错误的是（ ） A.x?1?(x?1)(x?1) ;B.1?4y?(1?2y)(1?2y) C.81x?64y?(9x?8y)(9x?8y);D.(?2y)?x?(?2y?x)(2y?3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是（）

222222x)A.9xC.9x2?49y?49y2 B.?9x2?49y22

22

4. 分解因式：x+2xy+y－4 =_____ 5. 分解因式：（1）9n2222 D.?(9x?49y)22???；2a22??22?

2（2）x?y? ；（3）25x?9y? ； （4）(a?b)?4(a?b)；（5）以上三题用了 公式

22二：【经典考题剖析】

1. 分解因式：

323x?18x?27x；（1）xy?xy；（2）（3）（4）4?x?y??2?y?x? ?x?1??x?1；

33223分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。提公因式时，不仅注意数，

也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。

- 19 -

②当某项完全提出后，该项应为“1” ③注意?a?b?2n??b?a?2n，?a?b?2n?1???b?a?2n?1

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。 2. 分解因式：

2222（1）x?3xy?10y；（2）2xy?2xy?12xy；（3）?x?4??16x

32232分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后，由余下因式的项数为3项，可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2，可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式，项数为2项，可考虑平方差公式先分解开，再由项数考虑选择方法继续分解。 3. 计算：（1）?1???1??1?1??1??1????1?1???????? 22222??3?9??10??2（2）2002?20012?20002?19992?19982?????22?1

2分析：（1）此题先分解因式后约分，则余下首尾两数。

（2）分解后，便有规可循，再求1到2002的和。

324. 分解因式：（1）4x?4xy?y?z；（2）a?a?2b?2ab

222分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法， 5. （1）在实数范围内分解因式：x?4；

（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?b?c?ab?bc?ac，

2224求证：△ABC为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系，而要证等边三角形，则须考虑证a?b?c， 从已知给出的等式结构看出，应构造出三个完全平方式?a?b?2??b?c?2??c?a?2即可得证，将原式两边同乘以2即可。略证：a?b?c?ab?bc?ac?0

2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0

222222?0，

?a

?b???b?c???c?a?222?0

∴a?b?c

即△ABC为等边三角形。

三：【课后训练】

1. 若9x?mxy?16y是一个完全平方式，那么m的值是（ ）

22A．24 B．12 C．±12 D．±24

- 20 -

2. 把多项式ab?1?a?b因式分解的结果是（ ）

A．?a?1??b?1? B．?a?1??b?1? C．?a?1??b?1? D．?a?1??b?1? 3. 如果二次三项式x?ax?1可分解为?x?2??x?b?，则a?b的值为（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 4. 已知248?1可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A．61、63 B．61、65 C．61、67 D．63、65 5. 计算：199832002＝ ，27?46?27?23＝ 。 6. 若a?a?1?0，那么a7. m、n满足m?2?8. 因式分解：

（1）?x?3x??2?x?3x??8；（2）a?b?2ab?2b?2a?1

222222001222?a2000?a1999＝ 。

22n?4?0，分解因式?x?y ???mxy?n?＝ 。

2（3）?x?1??x?2??x?3??x?4??1；（4）?1?a2??1?b2??4ab 9. 观察下列等式： 1?1 1?2?3 1?2?3?6

1?2?3?4?10??

想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？

用等式将其规律表示出来： 。 10. 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a?bc?b?ac，试判断△ABC的形状。

阅读下面解题过程：

解：由a?bc?b?ac得： a?b?ac?bc ① ?a?b22442222422422422422323323332333322??a22?b22??c?a22?b2? ②

即a?b?c ③

∴△ABC为Rt△。 ④ 试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题

- 21 -

的结论应为 。

四：【课后小结】

初三数学总复习

分式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式有关概念

（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：

①当____________时分式有意义。②当____________时分式没有意义。③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。将一

个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。 （4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式

叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，

一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的

- 22 -

作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。 2．分式性质：

（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的

值 ．即：

AB?aba?b?A?MB?Mab?A?MB?M(其中M?0)

（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值

不变。即：

??????a?b

aba?b3.分式的运算：? 注意：为运算简便，运用分式 ?同分母?????ccc的基本性质及分式的符号法 ?加减?acad?bc?则： ?异分母????bdbd? ①若分式的分子与分母的各项 ?acac??系数是分数或小数时，一般要化乘?????bdbd为整数。 分式运算?乘除?acadad??除 ②若分式的分子与分母的最高次??????bdbcbc?项系数是负数时，一般要化为正?naan?乘方数。 ()?n(n为整数)?bb ?? ? （1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）

异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算

（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ； （3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。 5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值． （二）：【课前练习】

1. 判断对错：

①如果一个分式的值为0，则该分式没有意义（ ） ②只要分子的值是0，分式的值就是0（ ） ③当a≠0时，分式

2. 在3x,0,x?y3,12x?21a＝0有意义（ ）； ④当a＝0时，分式

x21a＝0无意义（ ）

13,3,1x,2x?y,x2?中，整式和分式的个数分别为（ ）

A．5，3 B．7，1 C．6，2 D．5，2 3. 若将分式

a?bab (a、b均为正数）中的字母a、b的值分别扩大为原来的2倍，则

分式的值为（ ）

A．扩大为原来的2倍 ；B．缩小为原来的

12；C．不变；D．缩小为原来的

14

- 23 -

4.分式

9?x22约分的结果是 。

x?6x?9xy5. 分式

,4(x?y)(y?2)6(y?x)(2?y),7(y?2)的最简公分母是 。

二：【经典考题剖析】

1. 已知分式

2x?5x?4x?52,当x≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0．

2. 若分式

x?x?2x?1的值为0，则x的值为（ ）

A．x=－1或x=2 B、x=0 C．x=2 D．x=－1 3.（1） 先化简，再求值：(3xx?1?xx?1)?x?1x2，其中x?2?2.

（2）先将

x?2xx?12?(1?1x)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。

（3）已知4.计算 （1）

a?4a?22x3?y4?z6?0，求

x?y?zx?y?z的值

??a?2??1a?2；（2）

2x?1?x?4????x?2；（3）?1? ?2xx?2?x?2xx?2?x2（4）??2?3x?1124x?y?x?y??；（5） ????x?y????241?x1?x1?x1?xx?y?3xx??2分析：（1）题是分式的乘除混合运算，应先把除法化为乘法，再进行约分，有乘方的要先算乘方，若分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式；（2）题把??x?2?当作整体进行计算较为简便；（3）题是分式的混合运算，须按运算顺序进行，结果要

化为最简分式或整式。对于特殊题型，可根据题目特点，选择适当的方法，使问题简化。（4）题可以将?x?y看作一个整体??x?y?，然后用分配律进行计算；（5）题可采用逐步通分的方法，即先算

11?x?11?x，用其结果再与

21?x2相加，依次类推。

5. 阅读下面题目的计算过程：

x?3x?12?21?x＝

x?3?x?1??x?1??2?x?1??x?1??x?1? ①

＝?x?3??2?x?1? ② ＝x?3?2x?2 ③

- 24 -

＝?x?1 ④

（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。 （2）错误原因是 。 （3）本题的正确结论是 。 三：【课后训练】

1. 当x取何值时，分式（1）

32x?1；（2）

3x?22x?1；（3）

2x?4有意义。

2. 当x取何时，分式（1）

2x?33x?5；（2）

x?3x?3的值为零。

3. 分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。 （1）

2nm?2?()2；（2）

ab?b223(m?2)ab?ba2?a?b()

4. 若a?b?7;ab?12，则

?bab2＝ 。

5. 已知

1x?1y?3。则分式

22222x?3xy?2yx?2xy?y)?2ab的值为 。

6. 先化简代数式(aa?b?b?a?ba?b(a?b)(a?b)2然后请你自取一组a、b的值代入求值．

7. 已知△ABC的三边为a，b，c，a28. 计算：

（1）1?(a?11?a)?2?b?c22 =ab?bc?ac，试判定三角形的形状．

a?a?1a?2a?122；（2）

3?x5????x?2?? x?2?x?2? （3）

1x2?4x?4?xx2?；（4）??2x?4?4?m1m?n2?2mn?n2mn?n?mn?? 22?m?n?n?129. 先阅读下列一段文字，然后解答问题： 已知：方程x? 方程x?1x1x?13412的解是x1=2,x2??1412 方程x?；1x1x?22345的解是x1=3,x2??1315 ； ；?3的解是x1=4,x2?? 方程x?；?4的解是x1=5,x2??问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程：x－10 =1010. 阅读下面的解题过程，然后解题： 已知

xa?b?xa?byb?c?yb?c?zc?a?zc?a(a、b、c互相不相等)，求

1011的解，并写出检验．

x+y+z的值

解：设=k,

则x?k(a?b);y?k(b?c),z?k(c?a);于是x+y+z=k(a?b?b?c?c?a)?k?0?0- 25 -

仿照上述方法解答下列问题：已知：

y?zx?z?xy?x?yz(x?y?z?0),求x?y?zx?y?z 的值。四：【课后小结】

初三数学总复习

一次方程

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】 ??整式方程有理方程? 1.方程的分类 方程???分式方程 ??无理方程2.方程的有关概念

（1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。 （3）无理方程：__________ 叫做无理方程。 （4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。 （5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。 （6）方程的解： 叫做方程的解。 （7）解方程： _叫做解方程。 （8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。 （9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________

②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项： 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 等式性质 乘法分配 去括号 律、去括 号法则 移项 移项法则

合并 合并同 同 类 类项 项法则 系数

化 等式性质

- 26 -

为1

5. 二元一次方程组的解法．

（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要

步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．

（2）减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次

方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 6．整体思想解方程组． （1）整体代入．如解方程组??3(x?1)?y?5 ①?5(y?1)?3(x?5) ②，方程①的左边可化为3(x+5)－18=y+5

③，把②中的（看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求3x+5）出方程组的解．

（2）整体加减，如

?1x+3y?19 ①??3??3x+1y?11 ②?3?因为方程①和②的未知数x、y的系数正好对调，

所以可采用两个方程整体相加减求解．利用①+②，得x+y=9③，利用②－①

得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y． 7.两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系． 联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程． 8.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点， 9.用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．

（二）：【课前练习】

1. 若(3?2x)∶2＝(3?2x)∶5，则x＝ 。

2. 如果

2x?35与

23x?3的值互为相反数，则x＝ 。

3. 已知??x?1?y??14是方程组??2m?1?ax?by?12?4x?by?2am2的解，则a?b＝ 。

4. 若单项式ab与?23bm?7是同类项，则m＝（ ）

A.2 B.±2 C.－2 D.4 5. 已知方程组??5x?y?3?ax?5y?4与??x?2y?5?5x?by?1有相同的解，则a、b的值为（ ）

- 27 -

A、??a?1?b?2 B、??a??4?b??6 C、??a??6?b?2 D、??a?14?b?2

二：【经典考题剖析】

1. 解方程：2(x?1)?x?33?7x2?1

2. 若关于x的方程：10?求k的值。

k(x?3)5?3x?k(x?2)4与方程5?2(x?1)?1?2x3的解相同，

3. 在代数式ax?by?m中，当x?2,y?3,m?4时，它的值是零；当x??3,y??6,

m?4时，它的值是4；求a、b的值。

4. 要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）

A. 5种 B. 6种 C. 8种 D. 10种

解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为张（x、y为非负

1、、、、。2345 数），则有：2x?y?10?y?10?2x，0?x?5且x为整数?x?0、5. 如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，

图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。一学生从A处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。

（1）当他沿着路线A→D→C→E→A游览回到A处时，共用了3小时，求CE的长； （2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑其它因素）。

11.2xx略解：（1）设CE线长为千米，列方程可得＝0.4。

?D?Cx（2）分A→D→C→B→E→A环线和A→D→C→E→B→E→A

?0.4环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时， E?故先后者。 1.6B三：【课后训练】 1? 1. 若2x+1= 7，则x的值为（ ） A问题二图 A．4 B、3 C、2 D、－3

2. 有一个密码系统，其原理由下面的框图所示： 输入x → x+6 → 输出 当输出为10时，则输人的x＝______

3. 三个连续奇数的和是15，那么其中最大的奇数为（ ） A．5 B．7 C．9 D．11

4. 已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则x=___________；当y=1时，x=________

xy+7-1-4y2x

5. 若3ab和－7ab是同类项，则 x、y 的值为（ ）

A．x＝3，y ＝－1 B．x＝3，y＝ 3 C．x =1，y=2 D．x＝4，y＝2

6. 方程??x+y=2?2x+2y=3没有解，由此一次函数y=2－x与y=

32－x的图象必定（ ）

A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断

- 28 -

6. 二元一次方程组??y=2x?1?y=2x+3的解是_______；那么一次函数y=2x—1和y=2x+3的图象的

交点坐标是 ；

7. 已知a、b是实数，且2a?6?b?2?0，解关于x的方程：(a?2)x?b2?a?1

8. 若a?b4b与3a?b是同类二次根式，求a、b的值. 9. 解方程（组）

1?xx?21.8?0.8x0.03?0.02xx?5；； （1）?3?（2）??341.20.032y?22(x?y)?x?1????2x?3y?5?345（4）； （3）??x?3y?33x?2y?1????2y?x?3?410. 阅读下列解方程组的方法，然后回答并解

的解加以验证

四：【课后小结】

初三数学总复习

一元二次方程

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元

二次方程。它的一般形式是 （其中 、 ）

它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0

时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根；

- 29 -

一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：

⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的

2

方法．用配方法解一元二次方程：ax＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半

的平方；④化原方程为(x+m)=n的形式；⑤如果n?0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．

⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 (b?4ac?0)

注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项：

⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，

22

即不是一元二次方程．如关于x的方程（k－1）x+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．

⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；

22

②确定a、b、c的值；③求出b－4ac的值；④若b－4ac≥0，则代人求根公式，

2

求出x1 ,x2．若b－4a＜0，则方程无解．

2

⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4） ⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．

（二）：【课前练习】

1. 用直接开平方法解方程(x?3)?8，得方程的根为（ ）

A. x?3?23 B. x1?3?22,x2?3?22 C. x?3?22 D. x1?3?23,x2?3?23 2. 方程x(x?1)?0的根是（ ）

A．0 B．1 C．0，－1 D．0，1

3. 设(x?1)(x?2)?0的两根为x1、x2，且x1＞x2，则x1?2x2＝ 。 4. 已知关于x的方程4x?4kx?k?0的一个根是－2，那么k＝ 。 5.x?222222243x? ＝(x?________)

2- 30 -

二：【经典考题剖析】

1. 分别用公式法和配方法解方程：2x?3x?2

分析：用公式法的关键在于把握两点：①将该方程化为标准形式；②牢记求根公式。用配方法的关键在于：①先把二次项系数化为1，再移常数项；②两边同时加上一次项系数一半的平方。

2. 选择适当的方法解下列方程：

2（1）7(2x?3)?28； （2）y?2y?399?0

222（3）2x?1?25x； （4）(2x?1)?3(2x?1)?2?0

2分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。

223. 已知(a?b)?(a?b)?6?0，求a?b的值。

22222 分析：已知等式可以看作是以a?b为未知数的一元二次方程，并注意a?b的值

应为非负数。

4. 解关于x的方程：(a?1)x?2ax?a?0

22222分析：学会分类讨论简单问题，首先要分清楚这是什么方程，当a＝1时，是一元一次方程；当a≠1时，是一元二次方程；再根据不同方程的解法，对一元二次方程有无实数解作进一步讨论。

- 31 -

5. 阅读下题的解答过程，请你判断其是否有错误，若有错误，请你写出正确答案．

2

已知：m是关于x的方程mx －2x＋m＝0的一个根，求m的值．

32

解：把x=m代人原方程，化简得m=m，两边同时除以m，得m =1，所以m=l，

把=l代入原方程检验可知：m=1符合题意，答：m的值是1．

三：【课后训练】

1. 如果在－1是方程x+mx－1=0的一个根，那么m的值为（ ） A．－2 B．－3 C．1 D．2 2. 方程2x(x?3)?5(x?3)的解是（ ） A?x?3 B?x?52 C?x1?3,x2?22

52 D?x??3

2

2

3. 已知x1，x2是方程x－x－3=0的两根，那么x1+x2的值是（ ） A．1 B．5 C．7 D、4. 关于x的方程(k?1)x?3(k?2)x?k22494

的一次项系数是－3，则k=_______

?42?05. 关于x的方程(a?1)xa2?2a?1?x?5?0 是一元二次方程，则a=__________.

6. 飞机起飞时，要先在跑道上滑行一 段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为S=

12at，若某飞机在起飞前滑过了4000米的距离，其中a=20米／秒，求

2

所用的时间t．

7. 已知三角形的两边长分别是方程x?3x?2?0的两根，第三边的长是方程

2x?5x?3?0的根，求这个三角形的周长。

228. 解下列方程：

（1）x?5x?2?0；（2）9(2x?3)?4(2x?5)?0；

222?x??x?222（3）?5(6x?7x)?2(6x?7x)?3； ?????6?0；（4）?x?1??x?1?29. 在一个50米长，30米宽的矩形荒地上，要设计一全花坛，并要使花坛所占的面积恰好为荒地面积的一半，试给出你的设计。

10. 已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x?(2k?3)x?k22?3k?2?0的两个实数根，第三边BC的长是5。

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。

四：【课后小结】

- 32 -

初三数学总复习

分式方程及应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．分式方程:分母中含有 的方程叫做分式方程．

2．分式方程的解法：解分式方程的关键是 （即方程两边都乘以最简公分母）,将分式方程转化为整式方程；

3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根的增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。验

根的方法是将所求的根代人 或 ，若 的值为零或 的值为零，则该根就是增根。

4．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 5．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题。 6. 分式方程的解法有 和 。 （二）：【课前练习】 1. 把分式方程

1x?22x3x?1?1?x2?x?1的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ）

A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2 D．1+(1-x)=x-2 2. 方程

??2的根是（ ）

12 A.－2 B. C.－2，

12 D.－2，1

- 33 -

3. 当m=_____时，方程4. 如果

Ax?5?Bx?2??2mx?1m?x?2的根为

12

5x?4x?3x?10?32，则 A=____ B＝________.

5. 若方程

ax?2x?1x?2有增根，则增根为_____，a=________.

二：【经典考题剖析】

1. 解下列分式方程：（1）x?22x?x52?x11 ?1；（2）??1； （3）??；x?32x?55?2xx?32x?32xx?13(x?1)1?1??2?（4）x??；（5）??4；（6）2x??3x?????122?x?22?xx?1x?1xx???? 分析：（1）用去分母法；（2）（3）（4）题用化整法；（5）（6）题用换元法；

分别

设y?

11?1???y311?x2. 解方程组：? 分析：此题不宜去分母，可设＝A，?＝B得：

yx?1?1?2?9?xy1?A?B???3，用根与系数的关系可解出A、B，再求x、y，解出后仍需要检验。 ?2?A?B???9?x?1x?12，y?x?1x，解后勿忘检验。

3. 若关于x的分式方程

2x?2?mx?2?6?xx?42有增根，求m的值。

- 34 -

4. 某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量

3

比去年12月份多6 m，求该市今年居民用水的价格．

33

解：设市去年居民用水的价格为x元／m，则今年用水价格为(1+25％) x元／m．根

据题意，得

36(1?25%)x?18x?6，解 得x=1.8

经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1?25%)x?2.25 ．

答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．

点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关

3

键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m. 5. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工；

方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？ 略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x吨蔬菜精加工，用时间列方程解得x?60，故可算出其获利810000元，所以应选择第三种方案。 三：【课后训练】 1.方程

1x23

?x?1x?1?1去分母后，可得方程（ ）

222 A?2x?x?1?0;B?x?2x?0;C?2x?x?1?0;D?x?2x?2?0 2.解方程

22x?x2?1?x?x，设y?x?x，将原方程化为（ ）

22222 A?y?1?0;B?y?y?2?0;C?2y?y?0;D?y?y?2?0 3. 已知方程

axa?1?2x?1?1的解与方程6x=3的解相同，则a等于（ ）

A．3 B．－3 C、2 D．－2 4. 方程

10x?2?34?11x?3的解是 。

- 35 -

5. 分式方程

xx?1?kx?1??xx?1?0有增根x=1，则 k的值为________

6. 满足分式方程

x+1x-2x?1x?2的x值是（ ）

A．2 B．－2 C．1 D．0 7. 解方程： (1)x?1x?1?3x?3x?12?2;(2)1x?1?1x?1?1;(3)2x?1?3x1?x2?51?x2

5x2x?83x?x?x?(4)???6?0;(5)??2x?1x?3xx?4?x?1??113

8. 先阅读下面解方程x＋x?2＝2的过程，然后填空.

解：（第一步）将方程整理为x－2＋x?2＝0；（第二步）设y＝x?2，原方程可化为y＋y＝0；（第三步）解这个方程的 y1＝0，y2＝－1（第四步）当y＝0时，

x?2＝0；解得 x＝2，当y＝－1时，x?2＝－1，方程无解；（第五步）所以

2

x＝2是原方程的根以上解题过程中，第二步用的方法是 ，第四步中，能够判定方程

x?2＝－1无解原根据是 。上述解题过程不完整，缺少的一步

是 。

9. 就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数． 10. 2004年12月28日，我国第一条城际铁路一合宁铁路（合肥至南京）正式开工建设．建成后，合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312 km缩短至154 km，设计时速是现行时速的2．5倍，旅客列车运行时间将因此缩短约3．13小时，求合宁铁路的设计时速．

四：【课后小结】

初三数学总复习

- 36 -

方程及方程组的应用

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1.列方程解应用题常用的相等关系

题型 工作 （工程） 问题 比例问题

年龄问题 稀释 问题 浓 度加浓问问题 题 混合配制问题 利息 问题 追击 问题 行程相遇问问题 题 航行问题 数字问题 基本量、基本数量关系 寻找思路方法

工作量、工作效率、工作时间 相等关系：各部分工作量之和=1

把全部工作量看作1 常从工作量、工作时间上考虑相等关系

工作量=工作效率3工作时间 相等关系：各部分量之和=总量。设其甲:乙:丙=a:b:c中一分为x，由已知各部分量在总量中

所占的比例，可得各部分量的代数式

大小两个年龄差不会变 抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。 溶剂（水）、溶质（盐、纯酒精）、 溶液（盐水、酒精溶液） 由加溶剂前后溶质不变。两个相等关百分比浓度?溶质系：

溶液?100%加溶剂前溶质质量=加溶剂后溶质质量 加溶剂前溶液质量+加入溶剂质量=加

溶质=溶液3百分比浓度 入溶剂后的溶液质量 由加溶质前后溶剂不变。两个相等关同 系： 上 加溶质前溶剂质量=加溶质后溶剂质量 加溶质前溶液质量+加入溶质质量=加

入溶质后的溶液质量

等量关系： 混合前甲、乙种溶液所含溶质的和=混合后所含溶质 混合前甲、乙种溶液所含溶剂的和=混

合后所含溶剂

本息和、本金、利息、利率、期相等关系： 数关系：利息=本金3利率3期数 本息和=本金+利息 1：同地不同时出发：前者走的路程=追路程、速度、时间的关系： 击者走的路程 路程=速度3时间 2：同时不同地出发：前者走的路程+两地间的距离=追击者走的路程 同 相等关系：甲走的路程+乙走的路程=甲上 乙两地间的路程 顺水（风）速度=静水（风）速度

+水流（风）速度 1：与追击、相遇问题的思路方法类似 逆水（风）速度=静水（风）速度2：抓住两地距离不变，静水（风）速

－水流（风）速度 度不变的特点考虑相等关系。

多位数的表示方法：abc是一个

1：抓住数字间或新数、原数间的关系

寻找相等关系。

多位数可以表示为a?102?b?10?c2：常常设间接未知数。

- 37 -

商品利 润

商品利润率=?100%商品进价率问题

2.列方程解应用题的步骤:

（1）审题：仔细阅读题，弄清题意； （2）设未知数：直接设或间接设未知数；

（3）列方程：把所设未知数当作已知数，在题目中寻找等量关系，列方程； （4）解方程；

（5）检验：所求的解是否是所列方程的解，是否符合题意； （6）答：注意带单位． （二）：【课前练习】

（其中0＜a、b、c＜10的整数）

商品利润=商品售价－商品进价 首先确定售价、进价，再看利润率，其

商品利润次应理解打折、降价等含义。

1. 某商品标价为165元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对

于进货价），则该商品的进货价是

2. 甲、乙二人投资合办一个企业，并协议按照投资额的比例分配所得利润，已知甲与乙投资额的比例为3：4，首年的利润为38500元，则甲、乙二人可获得利润分别为 元和 元

3. 某公司1996年出口创收135万美元，1997年、1998年每年都比上一年增加a％，那么，1998年这个公司出口创汇 万美元

4. 某城市现有42万人口，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这样全市人口将增加1％，求这个城市现有的城镇人口数与农村人口数，若设城镇现有人口数为x万，农村现有人口y万，则所列方程组为 5. 一个批发与零售兼营的文具店规定，凡是一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需

22

用(m－1)元（m为正整数，且m－1>100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，

2

同样需用(m－1)元.设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围应为 ②铅笔的零售价每支应为 元，批发价每支应为 元

二：【经典考题剖析】

1. A、B两地相距64千米，甲骑车比乙骑车每小时少行4千米，?如果甲乙二人分别从A、

B两地相向而行，甲比乙先行40分钟，两人相遇时所行路程正好相等，?求甲乙二人 的骑车速度．

2. 某市为了进一步缓解交通拥堵现象，?决定修 建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．为使工 程能提前3?个月完成，?需要将原定的工作效率提高12%，问原计划完成这项工程用多少个月？

3. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫应降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

- 38 -

4. 某音乐厅5月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，?入场券分为团体票和零售票， 其中团体票占总票数的

23．若提前购票，则给予不同程度的优惠，在5月份内，团体

35票每张12元，共售出团体票数的，零售票每张16元，共售出零售票数的一半．如果

在6月份内，团体票要按每张16元出售，并计划在6月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

2

5. 要建一个面积为150m的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如图，如果篱笆的长为35m，（1）求鸡场的长与宽各为多少？（2）题中墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？

FC

AB

ED三：【课后训练】

1. 如图是某公司近三年的资金投放总额与利润统计示意图，根据图中的信息判断：①2001年的利润率比2000年的利润率高2％；②2002年的利润率比2001年的利润率高8％；③这三年的利润率14％；④这三年中2002年的利润率最高。其中正确的结论共有（ ）

利润（万元） 金投放总额（万元） A.1个 B.2个 资 5040 C.3个 D.4个 300

2502001003020102001200220002002200020012.北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年 年份（年）年份（年） 10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1 小时，求列车提速前的速度（只列方程）．

3. 2003年春天，在党和政府的领导下，?我国进行了一场抗击“非典”的战争．为了控制疫情的蔓延，某卫生材料厂接到上级下达赶制19.2万只加浓抗病毒口罩的任务，为使抗病毒口罩早日到达防疫第一线，开工后每天比原计划多加工0.4万只，结果提前4天完成任务，该厂原计划每天加工多少万只口罩？

4. 一水池有甲、乙两水管，?已知单独打开甲管比单独打开乙管灌满水池需多用10小时．现在首先打开乙管10小时，然后再打开甲管，共同再灌6小时，可将水池注满，如果一开始就把两管一同打开，那么需要几小时就能将水池注满？

5. 某公司向银行贷款40万元，用来生产某种新产品，已知该贷款的年利率为15％

（不计复利，即还贷前每年息不重复计息），每个新产品的成本是2.3元，售价是4元， 应纳税款为销售额的10％。如果每年生产该种产品20万个，并把所得利润（利润＝ 销售额－成本－应纳税款）用来归还贷款，问需几年后能一次还清？

6. 某商店1995年实现利税40万元（利税＝销售金额－成本），1996年由于在销售管 理上进行了一系列改革，销售金额增加到154万元，成本却下降到90万元， （1）这个商店利税1996年比1995年增长百分之几？

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（2）若这个商店1996年比1995年销售金额增长的百分数和成本下降的百分数相同， 求这个商店销售金额1996年比1995年增长百分之几？

7. 甲、乙两组工人合做某项工作，4天以后，因甲另有任务，乙组再单独做5天才能完成。如果单独完成这项工作，甲组比乙组少用5天，求各组单独完成这项工作所需要的天数。 8. 正在修建中的高速公路要招标，现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可以完成；需费用120万元；若甲单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样需费用110万元。问：

（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

（2）甲、乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元？

9. 某同学把勤工俭学挣的100元钱，按活期存入银行，如果月息是0.15％，数月后本金与利息的和为100.9元，那么该同学的钱在银行存了几个月？

10. 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。

（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？

（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％。安全检查规定：在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由。

四：【课后小结】

初三数学总复习

一元一次不等式

一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】

1．不等式：用不等号（＜、≤、＞、≥、≠）表示 的式子叫不等式。

2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去） ，不等号的 ．（2）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的 ．（3）不等式的两边都乘以（或除以） ，不等号的方向 ．

3．不等式的解：能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解．

4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式 的过程叫做解不等式．

6．一元一次不等式：只含有 ，并且未知数的最高次数是 ，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．

7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0． 8．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的步骤：① ，② ，③ ，④ ，⑤ （不等号的改变问题）

9．求不等式（组）的正整数解或负整数解等特解时，可先求出这个不等式（组）的所

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