2017 - 2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2

。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 5.2 平行关系的性质

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)

2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)

3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1 直线与平面平行的性质定理

阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分，完成下列问题.

文字语言 如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 符号语言 图形语言 ??aβ??α∩β＝b??a∥b

a∥α 如图1-5-19所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，

EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )

图1-5-19

A.平行

B.相交

1

C.异面 D.不确定 平面BCD，

【解析】 ∵EH∥FG，EH?/平面BCD，FG∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD. 【答案】 A

教材整理2 面面平行的性质定理

阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分，完成下列问题.

文字语言 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 符号语言 图形语言 ??γ∩α＝a??γ∩β＝b?? α∥βa∥b

六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为__________.

【解析】 ∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，

设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β， ∴AB∥CD. 【答案】 平行

[小组合作型]

线面平行性质的应用 如图1-5-20，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且

EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.

【导学号：39292030】

图1-5-20

【精彩点拨】 从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1. 【自主解答】 因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH?/平面BCC1B1，B1C1

平面BCC1B1，

2

所以EH∥平面BCC1B1.

又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG， 所以EH∥FG，即FG∥A1D1. 又FG?/平面ADD1A1，A1D1所以FG∥平面ADD1A1.

1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.

2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.

[再练一题]

1.如图1-5-21所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.

平面ADD1A1，

图1-5-21

(1)求证：AC＝BD；

(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？ 【解】 (1)证明：如图所示，连接CD， ∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面β， 又∵AB∥α，AB∴AB∥CD，

∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC＝BD.

(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.

面面平行性质的应用

如图1-5-22，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α

与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

β，α∩β＝CD，

3

图1-5-22

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.

【精彩点拨】 由PB与PD相交于点P，可知PB，PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.

【自主解答】 (1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)，得AC∥BD，∴＝4315

∴＝，∴CD＝(cm)， 5CD427

∴PD＝PC＋CD＝(cm). 4

1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.

2.面面平行的性质定理的本质：

化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.

[再练一题]

2.已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长.

【解】 如图所示. ∵AB与CD相交于S，

PAPC，

ABCD 4

∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. ∵α∥β，∴AC∥BD，∴＝SASCSASCSC8

，∴＝，即＝，解得SC＝16. SBSDSA＋SBCD3417

[探究共研型]

平行关系的综合应用 探究1 如图1-5-23所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.

图1-5-23

【提示】 法一：平行.因为BC∥AD，

BC?/平面PAD，AD平面PAD，

所以BC∥平面PAD. 又因为BC平面PBC，

平面PBC∩平面PAD＝l， 所以BC∥l.

法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ， 由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM 又PN＝CN，

则MN是△CPQ的中位线， 所以MN∥PQ， 又MN?/平面PAD，PQ则MN∥平面PAD.

探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.

【提示】 平行.取PD的中点E， 连接AE，NE，

可以证得NE∥AM且NE＝AM. 可知四边形AMNE为平行四边形， 所以MN∥AE，MN?/平面PAD，AE所以MN∥平面PAD.

如图1-5-24所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.

5

平面PAD，

平面PAD，

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