关于积分方程的求解问题

是好的写作材料

科

年第

期

国土资源高等职业教育研究

关于积分方程的求解问题王东霞

李富强

平顶山工学院

含有变上下限积分的方程称为积分方程,,,

。

甲

一

甲、

,

这类方程的求解间题是一种常见的题型也是考研的常考内容但在大多数《教材中没有进高等数学》

即,…二

小丁气,,

、

气‘,

,

,

甲

,

‘,

,

,

行深人地讨论决。,

。

学生遇到此类问题时感到难以解,,

甲

是方程

的连续解证毕,,

。

为此本文针对这类方程的求解问题进行讨论。,,

命题

设

连续

可导函数

是含

供大家参考

参变量的积分方程

由于积分与微分是两种互逆运算因此我们可以考虑把积分方程转化为微分方程进行求解其理,

丸的解的充要条件是二‘

一,

是微分方程勺二

论依据由以下命题给出

。

一

命题二

设

,

连续,

,

可导函数,

二

甲

满足初始条件证明必要性,

劫

勺

的解

。

是积分方程

若

是方程一‘

的解则,

气’,

,

‘二

丁瓦,

‘。

对一

耘二

一

‘

作

的连续解的充分必要条件是

杯是微分方程

变量代换令

一

,

则一

五一

礼勒二

一

‘

、

二、

一

满足初始条件杯勒证明必要性

的解

。

那么的连续…

,

二

石、…,

一

若

州

是方程

解则,

连续

,

石丁、可导。

一

可导二,

,‘

了气,

,

,

,‘

又

可导故

对,,

式两边求导得二

一

翔

,

’

连续可导故甲,,

‘

气。

,

可导

。

又。

翔

翔

又

可导 ,

是方程解,

满足初始条件《扔是方程一

甸

的拓

对

式两边求导得,

罕式给出二

卜

甲

且

、

、

由二

充分性句,

若‘

满足初始条件

的解则二

’

甸

可

是方程

满足初始条件

扒

勺

二

对其两边从甸到甲

取定积分得、

勒

的解二

。

充分性和、

若,

二

杯是方程 ,,

满足初始条件

小有,一二

、二

小气》,一一

气,

‘一

勒二一

,

即,

、

令

‘一

、

则

的解则二,

弩积分得

卜

两边从、到

取定

一

二

几

几

一

,

,

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王东霞…

李富强关于积分方程的求解问题,,’

是方程

的解证毕,

,

。

、一

认乙夕二万

一

以上结论告诉我们求解积分方程的问题可通

一

一二一二‘

过微分转化为求解微分方程的间题,

。

若积分中含有,,

…,

一

皿

参变量则先将参变量从积分中分离出来再求导

化为微分方程进行求解。

本题型较难解此题应把握三个关键、

在求解微分方程时一定要。

把求出、

一

化为,

注意寻找积分方程中所隐含的初始条件

下面举例

、

寻找隐含的初始条件的值

’

二

说明这类方程的解法、

。

、

一被积式中不含参变且的方程

二初积式中含有参变纽的方程广,

例

、

设

连续且比

,

求甲

一参变量可以直接从积分号中提取出来

例解由命题二一

、

设

甲。

连续且满足,

甲

了

叔

一

知’

,

可导对方程两边求导得,

,

,

求甲

即,

分析把积分方程转化为微分方程的方法是对且初始条件为注

一。

原方程进行求导但积分中含有参变量应将其提到积分号外再对原方程求导,

,

,

意在积分方程中寻找的初值间题二。’。

这是一阶线性非齐次方程

。

先求其通解为一一’

解原方程化为。

甲

石丁坤

血

二

左

一

专

。

石丁甲对甲‘‘

式两边求导得二二一

二

。

战

。

抑甲后二

一

砷了一

一

种

,

即

再把初始条件二,

代人通解中得一

甲

幼一

再求导得衅。

杯

,

即

…

跪,

例二

、

设一

具有二阶连续导数并满足方程,

犷初始条件为甲式找出先求与方程的通解为

甲

二二,

了

二

由原方程及,二

占

求

。

解方程两边对一

求导得

对应的齐次方程衅,

再求导得尸一

可刃尸一一

再求方程

的一个特解

甲“二一一二、、‘‘了、几了了了、产,、卢、

,,

二

告的通解为。。

了

由把尸

式得

方程} )飞弓

、,

代人二

得

犷

二

一

,

即

对二,

求导得

告‘告一二二,

,

。

,、

且初始条件为

二

,

方程对

的通解为式两边求导得二,

二

十一

勿

把初始条件甲得‘‘百、护

甲

,

二

分别代人

’

把初始条件得二,

二

分别代人

、

一了口一、

刃

二

一

处,

,

‘

为把二,

求出将二

,

代人

并令量代换

可

盛狱,

得

二参变量不能直接从积分号中提出需作变下转犯页

是好的写作材料

孙

年第

期

国土资源高等职业教育研究

加强研究

当好参谋

中国成教协会招生研究会

中国成人教育协会成人高等学校招生研究会在各级领导的关心和支持下艰苦奋斗求真务实经过研究会全体成员的共同努力在服务社会推动成人高校招生改革等方面都取得了一定的成绩受到

上级领导及相关部门社会各界的充分认可总结这几年的工作实践我们的主要做法和经验有以下几点一开展活动增强研究会的生命力和凝聚力研究会是民间机构会员单位主要是各省成人高校招生办公室各成招办主任都是理事会员单位又十分分散会员各自都有许多工作要做开展活,,,,,,

、

。

解决这个问题我们就利用全国性的工作会议的机会穿插召开研究会的各种会议教育部每年都要召开一至两次成招工作会会议期间我们就利用晚上的时间召开研究会的会议这是我们研究会研究布置工作总结工作和会员之间互相联络互相交流,

。

。

,

。

、

、

,

、

,

,

。

,

,

,

动有很多困难不管是理事会还是常务理事会人员很难一下子集中起来而不经常开展活动研究会就会形同虚设就会失去生命力和凝聚力为了,

。

。

,

,

。

情况的主要方式同时我们还采取学习考察的办法加强内外交流对内经常采取大区交流开片会的形式各省之间相互考察相互交流工作情况和经验研讨工作中遇到的各种问题互相启迪取长补短对外组织出国考察开阔眼界增长见识近年来我们先后组织各省招考机构出国考察五次每次考察回来考察人员都向研究会提交考察报告,

。

。

,

,

、

,

,

,

。

,

,

,

。

,

,

。

上接

此创换二,

一

求满足方程赌的可导函数。

页例

、

二

这类被积式中含有参变量的积分参变量不能直接从积分号中分离出来需先作变量代换将参变,,,

,

解由命师一,

知先对一,

,

丢

一,

二

当一

时

二

作变量代时当二

则石二一一

面

石

一

量从积分号中分离出来然后再求导化为微分方程注意求出微分方程所满足的初始条件一般从积分方程中寻找为了使大家掌握这类方程的解法提供以下练,,

。

。

,

石

面

一

乙丁石丁一

习、

原方程化为石两边求导得,

若求满足若二

连续求满足石

,

石

一

石丁一

的、

石石

的连续函数

即再求导得,

、

可导且满足,

石丁、

丁不万出不厄设求满足方程。

二

、

尹一

,

求改,

二

己二

其中‘

二

连

且初始条件为二

二

由二,

的通解为方程代人通解中得二…。

式给出把初始条件

续求、

,

合

产

“一‘

,“一‘,‘

的连续函

数

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0xb1.html