保险精算第二版习题及答案

保险精算（第二版）

第一章：利息的基本概念

练 习 题

1．已知a?t??at?b，如果在0时投资100元，能在时刻5积累到180元，试确定在时刻5投资300元，在时刻8的积累值。

a(0)?b?1a(5)?25a?b?1.8?a???0.825,b?1a(5)?300a(8)?300*100180(64a?b)?5082

300*100180180300*1002．(1)假设A(t)=100+10t, 试确定i1,i3,i5。

i1?A(1)?A(0)A(0)?0.1,i3?A(3)?A(2)A(2)?0.0833,i5?A(5)?A(4)A(4)?0.0714

(2)假设A?n??100??1.1?，试确定 i1,i3,i5 。

i1?A(1)?A(0)A(0)?0.1,i3?A(3)?A(2)A(2)?0.1,i5?A(5)?A(4)A(4)?0.1

n3．已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5年后的积累值。

500a(3)?500(1?3i1)?620?i1?0.08?800a(5)?800(1?5i1)?1120500a(3)?500(1?i2)?620?i1?0.0743363?800a(5)?800(1?i3)?1144.9753

4．已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为 i1?10%，第2年的利率为i2?8%，第3年的利率为 i3?6%，求该笔投资的原始金额。

A(3)?1000?A(0)(1?i1)(1?i2)(1?i3)?A(0)?794.1

5．确定10000元在第3年年末的积累值:

1

(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。 (2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

10000a(3)?10000(1?i(4)4)12?11956.1831?4 ?()4??i10000a(3)?10000?1???11750.081???4?6．设m＞1，按从大到小的次序排列d?d(m)???i(m)?i。

7．如果?t?0.01t，求10 000元在第12年年末的积累值。、

10000a(12)?10000e?012?tdt?10000e0.72?20544.33

8．已知第1年的实际利率为10%，第2年的实际贴现率为8%，第3年的每季度计息的年名义利率为6%，

第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%，求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

(1?i)?(1?i1)(1?d2)(1?4?1i(4)4)(1?4i(2)2)2 ?1.1*1.086956522*1.061363551*1.050625?1.333265858 ?i?0.745563369．基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度?t?基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

a1(t)??1.01?a2(t)?e?0tt6积累，在时刻t (t=0)，两笔

12t?tdtt2?e12t2

??1.01?12t?e12,t?1.43284764310. 基金X中的投资以利息强度?t?0.01t?0.1(0≤t≤20), 基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元，则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。

a1(t)??1?i?a2(t)?e??1?i??0tt?tdt0.01t2?e222?0.1t0.01*2020

?0.1*20?e?e4?1?i?3?1.822111. 某人1999年初借款3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（ ）万元。

A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21

3(1?

i(3)3)3*5?3*1.0215?4.0376

2

12.甲向银行借款1万元，每年计息两次的名义利率为6%，甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元。

A.7 225 B.7 213 C.7 136 D.6 987

(1?i(2)2)2*2?1.03?1.1255

4第二章：年金

练习题

1．证明v?vnm?i?am?an?。

ni?am?an??i(1?vim?1?vi)?v?v

nm2．某人购买一处住宅，价值16万元，首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年计息12次的年名义利率为8.7% 。计算购房首期付款额A。

1000a120?10001?vi120?79962.96(i?8.7%/12)

?160000?79962.96?80037.043. 已知a7?5.153 , a11?7.036, a18?9.180, 计算 i。

?1????a11 ?1?i?7a18?a7?i?0.082994．某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。

??5000a10?1??x???1?i?10??a10

?x?12968.71235．年金A的给付情况是：1～10年，每年年末给付1000元；11～20年，每年年末给付2000元；21～30

年，每年年末给付1000元。年金B在1～10年，每年给付额为K元；11～20年给付额为0；21～30年，每年年末给付K元，若A与B的现值相等，已知vA?1000a10?1?2000??1???i?2010?12，计算K。

20??i?10a10?1?1000??1???i?a10B?Ka10A?B?1?K??1?a10

?K?1800 6． 化简a10?1?va10?1?v

1010?v2020? ，并解释该式意义。

30?v??a

3

7. 某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存款每次为1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

?1??1?1000a5?2000?a?17000?5???1?i??1?i??i?3.355Q0

8. 某期初付年金每次付款额为1元，共付20次，第k年的实际利率为

11?i19111(1?i1)(1?i2)9281(1?i1)?(1?i19)18?k，计算V(2)。

V(2)?1?910????

?1???? 9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分

所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等,那么v=( )

1?1?n?1?n A. ?? B. 3n C. ?? D.3

?3??3?1n12an?va?nn1?viv?n?2v13n1i

11. 延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为?t?1?,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为（ ）

A.52 B.54 C.56 D.58

a?5|6v(t)?2?115v(t)(t?1)dt?e11521a(t)1?0t?1t?12

?tdt?a?5|6?1t?1(t?1)dt?54

第三章：生命表基础

练习题

1．给出生存函数s?x??e?x22500，求：

(1)人在50岁～60岁之间死亡的概率。 (2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。 (3)人能活到70岁的概率。

(4)50岁的人能活到70岁的概率。

4

P(50?X?60)?s?50??s(60)10q50?s?50??s(60)s(50)P(X?70)?s(70)p50?s?70?s(50)

20 2. 已知Pr［5＜T(60)≤6］=0.1895，Pr［T(60)＞5］=0.92094，求q60。

q?5|60s?65??s(66)s(60)s?65??s(66)s(65)?0.1895,5p60?s?65?s(60)?0.92094

?q65??0.2058 3. 已知q80?0.07，d80?3129，求l81。

q80?d80l80?l80?l81l80?0.07

4. 设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。

s(20)?d1???d20l0?0.92,s(21)?2x?12100?xd1???d21l0?0.915,s(22)?d1???d22l0?0.909

5. 如果?x??,0≤x≤100, 求l0=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为

（ ）。

A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56

s(x)?e??0x?xdx?e??0x2x?1100?x?2dx?100?x?????x?1?

2l0(s(1)?s(4))?2081.61 6. 已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则1|q20为（ ）。

A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005

q?1|20l22?l21l20?0.006

第四章：人寿保险的精算现值

练 习 题

5

17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )

A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? C. pxqxv解：

P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z222222?b2?e2? D. v?b22qx?epx?

2?bv)?qx,P(Z222?ev)?px22E(Z)?bvqx?evpxE(Z)?bvqx?evpxVar(Z)?E(Z)??E(Z)??bvqx?evpx??bvqx?evpx??vqxpx(b?e)22222222222222

第五章：年金的精算现值

练 习 题

1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e精算现值 ax 。

??0?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算

ax??1?vt?fT(t)dt?2???01?e?0.05t0.050.015?e?0.015tdt?15.38

2．设 ax?10, ax?7.375, Var?aT（1）???50。试求：

；（2）āx 。

??1??a?Axx??1?10??Ax2??221?2?a?A?1?14.75??Axx??x??121222?VaraT??(A?(A))50?(A?(A)) xxxx22?????????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375

3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

11

4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。

???R解：2000a23:36???R?a37|23??2000a23:36??a37|23

其中

3535kk??a?23:36?vk?0p23??vk?0kl23?kl23?11l23235?vk?0kl23?k1(1.06)3 ?1l23(l23?11.06l24?(1.06)l25?l26???1(1.06)35l58) ?N23?N59D2337378237|??23?a??23?a??a?v23:3782??60?p23ak37??60E23a82

??k?37v1l23kkp23??k?37vl23?kl23?11l232?k?37vl23?k1(1.06)3k ?(l60?11.06l60?(1.06)l62?l63???1(1.06)55l105) ?N60D23查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。

（1） 终身生存年金。

??351000*12a(12)??35??(12)] ?12000[?(12)a其中

d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606??d1???12???1?d?did(12)?0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?i(12)d(12)?1.000281033,?(12)?d?0.46811975 12

7171kk??35?a?vk?0p35??vk?0kl35?kl35l36??1l23171?vk?02kl23?k1(1.06)3 ?1l35(l35?11.06(1.06)l37?l38???1(1.06)70l105)

?N35D35若查90-93年生命表换算表则

??35?aN35D35?1985692126513.8?15.695458

5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。

(12)(12)??55?1解：250*12a55?250*12(a12??55??(12)?1)?250*12[?(12)a12]

其中

d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606??d1???12???1?d?did(12)?0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?71i(12)d(12)?1.000281033,?(12)?71d?0.46811975??55?a?vk?0kkp55??vk?0kl35?kl35l36??1l23171?vk?02kl23?k1(1.06)3 ?1l35(l35?11.06(1.06)l37?l38???1(1.06)70l105)

?N35D35

6． 在UDD假设下，试证： (1)

n|??xa(m)??(m)n|??x???m?nEx 。 a???????m?(1?nEx) 。 ??(m)a (2) ax:nx:n??? （3）ax:n?ax:n

(m)(m)(m)1m(1?nEx) 。

13

7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

（1）解：1200aN3130?D

30（2）1000a(2)30?1000(??a(2)30?12)?1000[?(2)a??35??(2)?12] 其中

d?i1?i?0.056603774?(2)?1?i?2??1?i?i(2)?0.059126028?2??(2)2?1?d???1?d?d(12)?0.057428276 ?2??(2)?idi(2)d(2)?1.000212217?(2)?i?i(2)i(2)d(2)?0.257390809??aN3030?D

30

（3）1000a(4)(430?1000(??a)30?14)?1000[?(4)a??30??(4)?14] 其中

d?i1?i?0.056603774?(4)4?1?i???1?i?i(4)?0.058695385?4??(4)4?1?d??4??1?d?d(4)?0.057846554 ??(4)?idi(4)d(4)?1.000265271i?i(4)?(4)?i(4)d(4)?0.384238536??a030?N3D

30（4）1000a(12)30?1000(??a(12)30?112)?1000[?(12)??a30??(12)?112]

其中

14

d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606

?1?d?d(12)??d1???12???0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?idi(12)d(12)?1.000281033,?(12)?d?0.46811975??30?aN30D30

8． 试证：

??x (1)a(m)??ii(m)ax ax:n 。

??? (2)ax:n(m)?(m)??x (3) limam??(m)?ax 。 12??x? (4) ax?a 。

9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64

岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。

??x?10， 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 a2??x?6，i?a124 ，求Y的方差。

11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精

算现值。

12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。

???17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则a??x是（ ） 13. 给定a?(4)(4) A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82

15

6 6 36 40 146.08 175.31 15.086 0 14.569 5 2.24 3.02

求：(1)第5保单年度的基础准备金；(2)用一年定期准备金和到达年龄准备金求第5保单年度的GMDB准备金。

5. 已知某年金的年保费为1 000元；预先附加费用为3%；保证利率为第1年到第3年8%，以后4%；退保费为5/4/3/2/1/0%；评估利率为7%。假设为年缴保费年金，第1年末的准备金为（ ） A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035 6. 在上题中，如果本金为可变动保费年金，保单签发时缴费1 000元，第2年保费于第1年末尚未支付，则第1年年末的准备金为（ ）

A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035

第十章：风险投资和风险理论

练习题

1. 现有一种2年期面值为1 000的债券，每年计息两次的名义息票率为8%，每年计息两次的名义收益率为6%，则其市场价格为（ ）元。

A.1037.171 B. 1028.765 C. 1043.817 D. 1021.452

2. 假设X是扔五次硬币后“国徽”面朝上的次数，然后再同时扔X个骰子，设Y是显示数目的总合，则Y的均值为（ ）

A．

109648 B.

108548 C.

109636 D .

108536

3. 现有一种六年期面值为500的政府债券，其息票率为6%，每年支付，如果现行收益率为5%，那么次债券的市场价值为多少？如果两年后的市场利率上升为8%，那么该债券的市场价值又是多少？

4. 考虑第3题中的政府债券，在其他条件不变的情况下，如果六年中的市场利率预测如下：

r1：5% r2：6% r3：8% r4：7% r5：6% r6：10%

那么该债券的市场价值是多少？ 5. 计算下述两种债券的久期：

（1）五年期面值为2 000元的公司债券，息票率为6%，年收益率为10%； （2）三年期面值为1 000元的政府债券，息票率为5%，年收益率为6%。 6. 某保险公司有如下的现金流支付模型，试计算包含报酬率。 年份 现金流 0 -481.67 1 20 2 520 7. 某保险人一般在收到保费八个月后支付索赔，其系统风险是30%，无风险利率为7.5%，费用率为35%，市场组合的期望回报是20%，那么该保险人的期望利润率是多少？

8. 某保险人的息税前收入是6.2亿元，净利息费用为300万元，公司的权益值为50亿元，税率为30%，试求股本收益率。

9. 某建筑物价值为a，在一定时期内发生火灾的概率为0.02。如果发生火灾，建筑物发生的损失额服从0到a的均匀分布。计算在该时期内损失发生的均值和方差。

10. 如果短期局和风险模型中的理赔次数N服从二项分布B（n , p）,而P服从0到1的均匀分布,利用全概率公式计算：（1）N的均值，（2）N的方差。

11. 如果S服从参数??0.60，个别赔款额1，2，3概率分别为0.20，0.30，0.50的复合泊松分布，计算S不小于3的概率。

21

12. 若破产概率为?????0.3e?2u?0.2e?4u?0.1e?7u，u?0，试确定?和R。

13． 设盈余过程中的理赔过程S（t）为复合泊松分布，其中泊松参数为?，个别理赔额C服从参数为??1的指数分布，C = 4 ，又设L为最大聚合损失，?为初始资金并且满足P?L???= 0.05，试确定?。

第一章

1. 386.4元

2. （1）0.1 0.083 3 0.071 4

（2）0.1 0.1 0.1 3. 1 097.35元 1 144.97元 4. 794.1元

5． （１）11 956 （２）12 285 6. d?d(m)???i(m)?i

7. 20 544.332元 8. 0.074 6 9. 0.358 2 10. 1.822 11. B 12. A

第二章

1. 略 2. 80 037.04元 3．0.082 99 4. 12 968.71元 5. 1 800 元 6. 略

287． 6.71% 8.

?11i?9i

9. A 10. B

22

第三章

1. (1) 0.130 95 (2) 0.355 96 (3) 0.140 86 (4) 0.382 89 2. 0.020 58 3. 41 571

4. (1) 0.92 (2) 0.915 (3) 0.909 5. B 6. C

第四章

1. (1) 0.092 (2) 0.055

2. (1) 5.2546元 （2）5.9572元 （3）略 3. (1) 0.05 (2) 0.5 4. 略 5. 0.54 6. 0.81 7. 283 285.07元 8. 略

9． 2 174.29元 10. 71 959.02元 11. 690.97元 12. 3 406.34元 13. 749.96元 14. 397.02元 15. D 16. C 17. B

第五章

1. 15.38 2. (1) 0.035 (2) 0.65 3. 793元 4. 25 692.23元 5. 36 227.89元 6. 略 7. (1) 18 163.47元 （2） 18 458.69元 （3）18 607.5 元 （4） 18 707.28 元

8. 略 9. 167.71元

10. 106 11. 83 629.47元 13． A 14. D

第六章

21. P?ā-ā2xx??? ， Var?L??āx??ā2x?

2. 28.30元 3. 14.78 4. 0.039 7 5. 0.103 6. 20.07＜P≤21.74 7. 21份 8． 3.20 9. 0.016 10. 0.041 3

11. (1) －100 (2) 134 444.44 (3) 0.272 7 12. R?b??471.7?10.194b

12. 46.43元 B 23

15.

13. B 14. C 15. D

第七章

21. E?āx?t:n?t?ā2x?t:n?ttL??ax?t:n?t,Var?tL???2

2.

15 3. 0.515

4. (2) (3) 5. 0.001 6 6. 0.156 94 7. 556.88元 8. 0.60 9. 0.40 10. 0.239 11. 0.90 12. 0.06 13. 0.40 14. 3.889 元 15. 0.058 16.

qxp

x17. C 18. B

第八章

1. 略 2. 略

3. 根据表8.1.3中的各种情况算出的E1分别为： （1）?0.65p?x?0.02?? （2）0.046 ?0.65p?0.02????x （3）?x?0.65???x?0.65???（4）?0.4p?0.25p??x?0.02????0.4?? （5）0.25p?x?0.36

?（6） ?0.65p?0.02???0.65?? （7）0.046

?x??根据表8.1.4中的各种情况算出E1分别为： （1） 1.25P+0.01 (2) 0.06 24．(1)??kW?āx????1?āx?2

?22?ā11?x?k:s??āx?k:s????1?ā (2)

?x?22āx?k??ā2

x?k?5. 0.073 8

24

6. (1) ??10CV?L??1?L?ā140:10??10E40

（2） (1?L)ā145:5?E5E45

7. b?b?1?1ā???x?t:n?t2

?2?n?tEx?t8. 略 9. 略

10．（1）略 （2） ??1?i?h?1??Px?h?? 11. 略 ?1?i?????P? x?h?12. B 13. B.

第九章

1. 第0年到第十年的现金价值分别为： 9300元 10 137元 11 168元 12 303元 13 551元 14 925元722元 16 475元 17 307元 18 000元 18 720元 第四年的准备金为 13 819 元 2. 重新计算表9.2.8后的值。

单位：元 保单年度 基金 现金价值 现值 0 10 000 9 500 9 500 1 110 800 10 260 9 679 2 11 664 11 197 9 965 3 12 597 12 219 10 259 4 13 101 12 839 10 170

重新计算表9.2.9后的值。

单位：元 保单年度 现金价值 现金价值忽略退保因素 现值 0 9 500 9 500 9 500 1 10 260 10 260 9 679 2 11 197 11 197 9 965 3 12 219 12 219 10 259 4 12 839 13 101 10 377

重新计算表9.2.10的值。

单位：元

保单年度 基金 现值 0 10 000 10 000 1 10 800 10 189 2 11 664 10 381 3 12 597 10 577

14 25

4 13 101 10 377

3. 第0到第5保单年度的准备金分别为：962元 1 964元 3 142元 4 423元 5 816元 4. （1） 5 712.12元 （2） 11.34元 60.86元 5. A 6. D

第十章

1. A 2. B

3. 525.38元 466.88元 4. 479.22元

5. (1) 4.413 (2) 2.857 6. 4.70% 7. 0.005 8. 8.64%

9. E (x) = E [( x | y )] = 0.010 d?d(m)???i(m)?i2626262626

26

4 13 101 10 377

3. 第0到第5保单年度的准备金分别为：962元 1 964元 3 142元 4 423元 5 816元 4. （1） 5 712.12元 （2） 11.34元 60.86元 5. A 6. D

第十章

1. A 2. B

3. 525.38元 466.88元 4. 479.22元

5. (1) 4.413 (2) 2.857 6. 4.70% 7. 0.005 8. 8.64%

9. E (x) = E [( x | y )] = 0.010 d?d(m)???i(m)?i2626262626

26

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0x68.html