2015届江西省师大附中、鹰潭一中高三下学期4月联考试题 数学理

2015届江西省师大附中、鹰潭一中高三下学期4月联考试题

数学理 2015.4

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1．设集合A?x|2x?4，集合 B??x|y?lg(x?1)?，则 A A． (1,2)

B． (1,2]

C． [1,2)

??B等于

D． [1,2]

2．下面是关于复数z?2的四个命题:p1:z?2，p2:z2?2i，p3:z的共轭复数为 1?iB．p1,p2

C．p2,p4

D．p3,p4

?1?i，p4:z的虚部为1，其中真命题为 A．p2,p3

3．下列四个结论：①若x?0，则x?sinx恒成立；

②命题“若x?sinx?0,则x?0”的逆命题为“若x?0，则x?sinx?0”； ③“命题p?q为真”是“命题p?q为真”的充分不必要条件； ④命题“?x?R,x?lnx?0”的否定是“?x0?R?,x0?lnx0?0”． 其中正确结论的个数是 A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形 边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是

???24

C． 2??24

A．

??20 D． 2??20

B．

5．阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出i的结果为

A．7

B．9 C．10 D．11

?2x?y?6?0?6．已知实数x,y满足?x?y?0，若目标函数z??mx?y的最大值为?2m?10，

?x?2? 最小值为?2m?2，则实数m的取值范围是 A．??1,2?

B．??2,1?

C．?2,3?

D．??1,3?

7．对于函数f(x)?x3cos3(x??6ππππ A．f(x)是奇函数且在（?，）上递增 B．f(x)是奇函数且在（?，）上递减

6666ππ C．f(x)是偶函数且在（0，）上递增 D．f(x)是偶函数且在（0，）上递减

66

)，下列说法正确的是

1

8．定义：在数列?an?中，若满足

an?2an?1??d（n?N?，d 为常数），称?an?为“等 an?1ana2015? a2013D．4?20132

差比数列”。已知在“等差比数列”?an?中，a1?a2?1,a3?3,则 A．4?20152?1

B．4?20142?1

C．4?20132?1

9．设函数y?f?x?在区间?a,b?上的导函数为f??x?，f??x?在区间?a,b?上的导函数为f???x?，若在区间?a,b?上f??(x)?0恒成立，则称函数f?x?在区间?a,b?上为“凸函数”；已知f(x)?为“凸函数”，则实数m的取值范围是 A．(??,14m332x?x?x在?1,3?上12623131) B．[,5] C．(??,?2) D．[2,??) 9910．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。已知：①食物投掷地点

有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有

A．80 种 B．70 种 C．40 种 D．10种

x2y211．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左右焦点为F1,F2，若椭圆C上恰好有6个

ab 不同的点P，使得?F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

A．?，? B．?，1? 1? C．?，1? D．?，???，?12??33??1??2??2??3??11??32??1??2?a?2ea1?c12. 已知实数a,b,c,d满足??1其中e是自然对数的底数 , 则

bd?1 ?a?c???b?d?的最小值为

22 A．8 B．10 C．12 D．18

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量b在a方向上的投影为3，则实数m＝

rrrra?????14.已知a??2?sin?x??dx，则二项式?x2??的展开式中x的系数为 03?x???15．对于集合{a1,a2,?,an}和常数a0，定义：

?5sin2(a1?a0)?sin2(a2?a0)???sin2(an?a0)??为集合{a1,a2,?,an}相对a0 的“正弦方差”，则集合

n?5?7?{,,}相对a0的“正弦方差”为 。 26616．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的表面上运动，且PA?r(0?r?3)，记点P的轨迹长度为f(r).给出以下四个命题：

①f(1)?23233)?? ? ； ②f(2)?3?； ③f(332④函数f(r)在(0,1)上是增函数，f(r)在(2,3)上是减函数。 其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

2

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足b2＋c2＝bc＋a2. （1）求角A的大小；

4

（2）已知等差数列{an}的公差不为零，若a1cosA＝1，且a2，a4， a8成等比数列，求{}的前n项和Sn.

anan＋1

18.（本小题满分12分）

某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。对收回的l00份有效问卷进行统计，得到如下2 x2列联表:

男 女 合计 做不到光盘 45 30 75 能做到光盘 10 15 25 合计 55 45 100 （1）现已按是否能做到光盘分层从45份女生问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为?，试求随机变量?的分布列和数学期望

（2）如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表最精确的P的值应为多少？请说明理由。

n(ad?bc)2附：独立性检验统计量K=, 其中n?a?b?c?d，

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2

独立性检验临界表： 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 P(K2?k0) k0 1.323 2.072 2.706 3.840 5.024 19．（本小题满分12分） 在如图所示的空间几何体中，平面ACD?平面ABC，?ACD与?ACB是边长为2的等边三角形，BE?2，BE和平面ABC所成的角为60?，且点E在平面ABC上的射影落在?ABC的平分线上．

（1）求证：DE//平面ABC；

（2）求二面角E?BC?A的余弦值． 20．（本小题满分12分）

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，

42|MN|＝．

3

（1）求抛物线E的方程；

9（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA?OB?（其中 O为坐标原点）．

4①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

3

21．（本小题满分12分）

设函数f?x???1?ax?ln?x?1??bx，其中a和b是实数，曲线y?f?x?恒与x轴相切于坐标原点． （1）求常数b的值；

（2）当0?x?1时，关于x的不等式f?x??0恒成立，求实数a的取值范围；

nn?1?1??1?（3）求证：对于任意的正整数n，不等式?1???e??1???n??n?恒成立.

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?x?1?cos?在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程?．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐(?为参数）

y?sin??标系．

（1）求圆C的极坐标方程； （2）直线l的极坐标方程是2?sin(??求线段PQ的长．

?3)?33，射线OM:???3与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，

4

数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题

1 2 题号

C 答案 B

二、填空题

3 B 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 C 11 D 12 A

13．3 ； 14. -80； 15.三、解答题

1； 16. ①④ 2b2＋c2－a2bc11

17.解： (1)∵b＋c－a＝bc， ∴＝＝. ∴cosA＝. 2bc2bc22

π

又A∈(0，π)，∴A＝. …………… 5分

3

1

(2)设{an}的公差为d， 由已知得a1＝＝2，且a2a8. 4＝a2·cosA

∴(a1＋3d)2＝(a1＋d)( a1＋7d)． 又d不为零，∴d＝2. …………… 9分 ∴an＝2n. …………… 10分

4111∴＝＝－. …………… 11 anan＋1n?n＋1?nn＋1

11111111n

∴Sn＝(1－)＋(－)＋(－)＋?＋(－)＝1－＝.…………… 12分

22334nn＋1n＋1n＋1

18. 解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样方法取得的，所以9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘。……………………2分

2

2

2

………………………………………………………………………………………………6分 所以E??0?2510514?1??2?3??……………………8分 4221142132n(ad?bc)2100?45?15?30?10?100（2）K????3.03…………10分

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)55?45?25?7533因为2.706?3.03?3.840,所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即精确

的值应为0.10………………………………12分

19. 解：（1）由题意知，?ABC，?ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO,DO，则BO?AC，

DO?AC，……………………2分

又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC， 那么EF//DO，根据题意，点F落在BO上，

5

∴?EBF?60?，易求得EF?DO?3，…………4分

∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE//OF，∴DE//平面ABC …………6分 （2）解法一：作FG?BC，垂足为G，连接EG，

∵EF⊥平面ABC，∴EF?BC，又EF?FG?F，

∴BC?平面EFG，∴EG?BC，∴?EGF就是二面角E?BC?A的平面角．…………9分

131，EF?3，EG?．

22FG1313∴cos?EGF?．即二面角E?BC?A的余弦值为.………12分 ?EG1313解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz，可知平面ABC的一个法向量为n1?(0,0,1)

Rt?EFG中，FG?FB?sin30??设平面BCE的一个法向量为n2?(x,y,z)

??n2?BC?0则，?可求得n2?(?3,3,1)．………………9分

??n2?BE?0n1?n213?所以cos?n1,n2??，

|n1|?|n2|13又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E?BC?A的余弦值为 p

20.解：（1）由已知得K(－，0)，C(2，0)．

2设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝

22

． 3

13．……12分 13

(y1y2)299?y1y2??y1y2??18或y1y2?2（舍去）， 由OA?OB?得：

1644即?4t??18?t?99，所以直线AB过定点Q(,0)；…………………7分 22(ⅱ)由(ⅰ)得AB?1?m2y?y?1?m216m2?72,，

21同理得，1?1?GD?1????y2?y1?1?2m?m?216

?72,m2

6

则四边形AGBD面积S??4(2?(m2?111AB?GD?1?m216m2?721?222m16?722m

112))?(85?18(m?)) m2m2令m2?12S?418??121??170是关于?的增函数， ，则??(??2)m2故Smin?88.当且仅当m??1时取到最小值88 …………………12分

21. 解：(1) 对f(x)求导得：f?(x)??aln(1?x)?1?ax?b，根据条件知f?(0)?0，所以1?x1?b?0?b?1. ……………2分 (2) 由(1)得f(x)?(1?ax)ln(1?x)?x，0?x?1

1?axf?(x)??aln(1?x)??1

1?xa?a(1?x)?(1?ax)ax?2a?1. f??(x)?????221?x(1?x)(1?x)2a?1a(x?)1a?0，于是f?(x)在[0,1]上单调递增，从而① 当a??时，由于0?x?1，有f??(x)??2(1?x)2f?(x)?f?(0)?0，因此f(x)在[0,1]上单调递增，即f(x)?f(0)?0而且仅有f(0)?0；

ax?2a?11②当a??时，由于0?x?1，有f??(x)???0，于是f?(x)在[0,1]上单调递减，从而23(1?x)f?(x)?f?(0)?0，因此f(x)在[0,1]上单调递减，即f(x)?f(0)?0而且仅有f(0)?0；

2a?1a(x?)112a?1a?0，于是f?(x)在[0,m]③当??a??时，令m??，当0?x?m时，f??(x)??(1?x)223a上单调递减，从而f?(x)?f?(0)?0，因此f(x)在[0,m]上单调递减， 即f(x)?f(0)?0而且仅有f(0)?0.

1综上可知，所求实数a的取值范围是(??,?]. ……………8分

2(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

?1??1???1??n?1?ln?1??恒成立. 并且继续作如下等价变形 ?n??n??1??1??1?1?1??1?nln?1???1??n?1?ln?1???ln?1?????1??ln?1??

?n??n??n?n?n??n???1?1?ln?1?n??n?0??p???? ??

111??????1??ln?1????0??q????n??n?n对于(p)相当于（2）中a?0，情形，有f(x)在[0,1]上单调递减，即f(x)?f(0)?0而且仅有f(0)?0.

1?1?1取x?，得：对于任意正整数n都有ln?1????0成立；

n?n?n对于(q)相当于（2）中a??1情形，对于任意x?[0,1]，恒有f(x)?0而且仅有f(0)?0.

1?1??1?1取x?，得：对于任意正整数n都有?1??ln?1????0成立.

n?n??n?n对于任意的正整数n，不等式nln?1??1??1?因此对于任意正整数n，不等式?1???e??1???n??n?

nn?1恒成立 ……………12分

7

22．解：圆C的普通方程为(x?1)2?y2?1，又x??cos?,y??sin? 所以圆C的极坐标方程为??2cos? …………… 5分

??2cos????设P(?1,?1)，则有??解得?1?1,?1?

??3?3???(sin??3cos?)?33??设Q(?2,?2)，则有?解得?2?3,?2? ???3?3?所以|PQ|?2 …………… 10分

23.解：（1）当x < -2时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??x?3，

f(x)?0，即?x?3?0，解得x?3，又x??2，∴x??2； 当?2?x?1时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?1?2x?x?2??3x?1， 2111f(x)?0，即?3x?1?0，解得x??，又?2?x?，∴?2?x??；

323当x?1时，f(x)?|2x?1|?|x?2|?2x?1?x?2?x?3， 21，∴x?3. ……3分 2f(x)?0，即x?3?0，解得x?3，又x?1??综上，不等式f(x)?0的解集为???,??3??(3,??). ……5分

???x?3,x??2?1?（2）f(x)?|2x?1|?|x?2|???3x?1,?2?x?

2?1?x?3,x???25?1?∴f(x)min?f????. ……8分

2?2?5∵?x0?R，使得f(x0)?2m2?4m，∴4m?2m2?f(x)min??，

215整理得：4m2?8m?5?0，解得：??m?，

2215因此m的取值范围是(?,). ……10分

22

8

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