中考冲刺数学教案-抛物线与三角形

中考数学冲刺教案一

—抛物线专题精炼（压轴题）

一、知识精炼

题型：1、平行四边形与抛物线2、梯形与抛物线3、等腰三角形、菱形与抛物线

4、直角三角形与抛物线5、相似三角形与抛物线6、抛物线中的翻折问题

目标：1、熟练求解抛物线表达式

基本方法：将已知点逐个代入表达式，求解方程组。一般会有（0，y）,(x,0)特殊点。

基本公式：顶点坐标（

）

2、熟练求解面积S，长度L。主要是特殊三角形（直角、等腰等等）、平行四边形、梯形。

基本方法：结合已求得的抛物线的表达式（一般为纵坐标y）以及几何

图形的面积公式。

3、猜想某四边形的形状，包括菱形、正方形、等腰三角形等等。 基本方法： 菱形的判定：对角线相互垂直平分的平行四边形、临边相等的平行四边

形、四条边都相等的四边形。

正方形的判定：有一个顶角为直角的菱形、对角线相等的菱形。 4、抛物线翻折(只作参考)

基本方法：抓住抛物线线上某几个特征点即可。 若关于X轴对称，x坐标不变，y取相反数。 若关于Y轴对称，y坐标不变，x取相反数。 若关于y=x对称就是由点（x,y），翻折到点（y,x）,即横坐标与纵坐标

互换。

二、本次教学任务

主要围绕抛物线与三角形结合的问题进行教课。

1、完成第1、2两题，这两题与南京市近年来的出题思路几乎一致，属于难度中等难度。

2、从第3题到第5题，要求完成第（1）（2）两小问，这三道题主要是结合了直角三角形。对抛物线表达式进行的求解，以及对三角形面积的求解或者等价判断。代表性强，综合性较高。 3、解答课外的疑问。

预想效果：如果将1、2两项练扎实了，总分数绝对可以提高6分左右。

三、几点建议

要想提高分数，重在多问，将遗留问题解决。重在实实在在的练习，将基本功练扎实。

1、复习过程中，注重动手做题，不能只是看、猜。

2、最后阶段，重新审视之前做过的试卷，任意三套即可。目的：（1）看做对的题，增加对同类型题目的解题信心。（2）对做错的题重新整理一下解题思路，并总结出新的。

3、每次上完课，都要有所收获，哪怕是一点。

四、配套练习

1、已知抛物线y?12x2?x?c与x轴没有交点.

（1）求c的取值范围； （2）试确定直线y2.已知抛物线y?cx?1经过的象限，并说明理由．

2?x?mx?34m(m?0)2与x轴交干A、B两点。

（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧； （2）若

1OB?1OA?23 (O为坐标原点)，求抛物线的解析式；

（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．

3、如图，直线l1经过点A（﹣1，0），直线l2经过点B（3，0），l1、l2均为与y轴交于点C（0，），抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G．求证：DE=EF=FG；

（3）若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由．

2

4、如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，﹣）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；

2

（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

5、如图，抛物线y=

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

参考答案：

1、（1）c ＞

1

2（2）顺次经过三、二、一象限。因为：k＞0， b=1＞0

2、（本小题满分10分） （1）证明：∵m?0 ∴x??bm2a??2?0 （1分）

∴抛物线的对称轴在y轴的左侧 （2分）（2）解：设抛物线与x轴交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则x21?x2??m?0，x1?x2??34m?0

∴x1与x2异号 （3分） 又

112OB?OA?3?0 ∴OA?OB

由（1）知：抛物线的对称轴在y轴的左侧 ∴x1?0，x2?0 ∴OA?x1??x1,OB?x2 代入

12OB?1OA?3得：

11x?2?x?1x?2即

1x?1213x1?x2x?21?x23，从而

?m?3?23

4m24

分）

（解得：m?2 （5分） ∴抛物线的解析式是y（3）解法一： 当x?0时，y??34m2?x2?2x?3 （6分）

，抛物线与y轴交点坐标为C（0，?34m2）

∵?ABC是直角三角形，且只能有AC⊥BC，又OC⊥AB， ∴∠CAB= 90°— ∠ABC，∠BCO= 90°— ∠ABC ∴∠CAB =∠BCO

∴Rt△AOC∽Rt△COB， （7分） ∴

OCOB?AOOC22，即OC??x1?x232(4322?OA?OB

4 ∴?此时?34m， 即

2916m?34m2 解得：m?233 （8分）

34m22=?3)??1 ，∴点C2的坐标为（0，—1）∴OC=1

34m)?4m22(x2?x1)?(x1?x2)?4x1?x2?(?m)?4?(? （9分）

∵m?0，∴

x2?x1?2m12 即AB=2m

12∴?ABC的面积=解法二： 当x?0时，y???AB?OC=?2m?1=

233 （10分）

34m2 ∴点C（0，?34m22）

?AC2∵?ABC是直角三角形 ∴AB分）

∴(x1分）

∴?2x1?x2?34?x2)2?BC2 （7

?x1?(?234m)22?x2?(?234m)22 （8

982m4

98m4∴ ?分）

2(?m)? 解得： m?233 （9

∴

（10分）

S?ABC?12?AB?OC?12x1?x2??34m2?12?2m?34m2?233

3、解：（1）抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，

2

）三点，

∴，解得a=，b=，c=，

∴抛物线的解析式为：y=x2x．

）

（2）设直线l1的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线l1经过A（﹣1，0），C（0，两点， ∴

，解得k=

，b=

，∴直线l1的解析式为：y=

x；

直线l2经过B（3，0），C（0，∵抛物线y=

）两点，同理可求得直线l2解析式为：y==

（x﹣1）

2

x．

x2x， ）；

，∴E（1，，∴G（1，

）； ）．

∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，点E为x=1与直线l2：y=点G为x=1与直线l1：y=

xx的交点，令x=1，得y=的交点，令x=1，得y=），F（1，

∴各点坐标为：D（1，0），E（1，于对称轴x=1上， ∴DE=EF=FG=

．

），G（1，），它们均位

（3）如右图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF． △PCG为等腰三角形，有三种情况：

①当CG=PG时，如右图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG． ∵C（0，

），对称轴x=1，∴P1（2，

）．

②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG． 如右图，C（1，

），H点在x=1上，∴H（1，

﹣（

）， ）|=

，

在Rt△CHG中，CH=1，HG=|yG﹣yH|=|

∴由勾股定理得：CG=∴PC=2．

=2．

如右图，CP1=2，此时与①中情形重合； 又Rt△OAC中，AC=

=2，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条

直线上，所以不能构成等腰三角形．

③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上． ∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形，

由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点， ∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，又cos∠CGE=

=

）；

，∴∠CGE=30°，∴∠HCG=60°，

又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形，

∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合． 综上所述，P点的坐标为P1（2，

）或P2（1，

）．

3、解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax+bx（a≠0）， 又∵函数的顶点坐标为（3，﹣∴

，

），

2

解得：，

故函数解析式为：y=x2﹣x，

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）； （2）∵S△POA=2S△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2代入函数解析式得：2解得：x1=3+

，x2=3﹣

=

，

x2﹣

，

x，

即可得满足条件的有两个，P1（3+（3）存在．

，2），P2（3﹣，2）．

过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP=故可得∠BOA=30°， 设Q1坐标为（x，∵△OAB∽△OQ1A， ∴∠Q1OA=30°， 故可得OF=

=

，

x2﹣x），过点Q1作Q1F⊥x轴，

Q1F，即x=（

x2﹣x），

解得：x=9或x=0（舍去）， 即可得Q1坐标为（9，3

），

）．

根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3

5、解：（1）令y=0，即解得x1=﹣4，x2=2，

∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）． （2）S△ACB=AB?OC=9， 在Rt△AOC中，AC=

=

=5，

．

，这样的直线有2条，分

=0，

设△ACD中AC边上的高为h，则有AC?h=9，解得h=

如答图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=

别是l1和l2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D． 设l1交y轴于E，过C作CF⊥l1于F，则CF=h=

，

∴CE==．

设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入， 得到

，解得

，∴直线AC解析式为y=x+3．

直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的， ∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣． 则D1的纵坐标为×（﹣1）﹣=

，∴D1（﹣4，

）．

）

同理，直线AC向上平移个长度单位得到l2，可求得D2（﹣1，

综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，

），D2（﹣1，）．

（3）因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解． 注意：这样的切线有两条。

如答图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条． 连接FM，过M作MN⊥x轴于点N．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3． 又FE=5，则在Rt△MEF中，

ME==4，sin∠MFE=，cos∠MFE=．

，

在Rt△FMN中，MN=MF?sin∠MFE=3×=

FN=MN?cos∠MFE=3×=，则ON=，

∴M点坐标为（，直线l过M（，

）

），E（4，0），

设直线l的解析式为y=kx+b，则有

，解得

，

所以直线l的解析式为y=x+3．

x﹣3．

x﹣3．

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=综上所述，直线l的解析式为y=

x+3或y=

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