《复变函数论》试题库及答案

《复变函数论》试题库

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C

?Cf(z)dz?0.

( )

10.若函数f(z)在区域D内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）

dz?__________.（n为自然数） n1、 ?|z?z0|?1(z?z)022sinz?cosz? _________. 2.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?4.设

?1z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

n5.幂级数

?nzn?0的收敛半径为__________.

6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.

z1?z2?...?zn?limzn??n??n??n7.若，则______________.

limezRes(n,0)?z8.________，其中n为自然数.

sinz9. 的孤立奇点为________ .

zlimf(z)?___zf(z)的极点，则z?z010.若0是.

三.计算题（40分）：

f(z)?1. 设

1(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz.?|z|?1cosz2.

3?2?7??1f(z)??d?C??z3. 设，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?4. 求复数

z?1z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)?f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在D内

z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支,

并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题（二）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续. ( )

2. cos z与sin z在复平面内有界. ( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( ) 5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( )

z?z06. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( ) 7. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C?f(z)dz?0.

C( )

8. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. ( )

11110. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,....

n?12n2n( )

二. 填空题. (20分)

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

z?1?i2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则limf(z)?________.

3.

dz?|z?z0|?1(z?z0)n?_________.（n为自然数）

?n?04. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

5. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________. 1?z29. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

z?110. Res(,1)?____. 4z三. 计算题. (40分)

31. 求函数sin(2z)的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.

3. 计算积分：I??|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

?ii的右半圆.

?4. 求

sinzz?2(z?)22?dz.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

一. 判断题. (20分).

1. cos z与sin z的周期均为2k?. ( ) 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. ( ) 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 若数列{zn}收敛，则{Rezn}与{Imzn}都收敛. ( ) 5. 若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数. ( ) 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导. ( ) 7. 如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则

|f(z)|?1(|z|?1). （ ）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 10. 若z0是

f(z)的可去奇点，则Res(f(z),z0)?0. ( )

二. 填空题. (20分)

11. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为___________.

z?1z2. 函数e的周期为_________.

n?213. 若zn??i(1?)n，则limzn?__________.

n??1?nn4. sin2z?cos2z?___________.

dz?_________.（n为自然数） n5. ?|z?z0|?1(z?z0)6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.

n?0?7. 设

1f(z)?2，则f(z)的孤立奇点有__________.

z?1z8. 设e??1，则z?___.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limf(z)?___.

z?z0

ez10. Res(n,0)?____.

z三. 计算题. (40分)

1. 将函数f(z)?ze在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

21zn!n2. 试求幂级数?nz的收敛半径.

n?nezdz3. 算下列积分：

?Cz2(z2?9)，其中C是|z|?1.

4. 求z9???2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它

在D内为常数. 2. 设使得当|f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数R及M，z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

一. 判断题. (20分)

1. 若f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件. （ ） 2. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 函数sinz与cosz在整个复平面内有界. （ ） 4. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0.

（ ）

lim5. 若z?z0f(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点. （ ）

6. 若函数f(z)在区域D内解析且f'(z)?0，则f(z)在D内恒为常数. （ ）

lim7. 如果z0是f(z)的本性奇点，则z?z8. 若9. 若

f(z)一定不存在. （ ）

0f(z0)?0,f(n)(z0)?0，则z0为f(z)的n阶零点. （ ）

f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则f(z)在0?|z|???内解析，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

10. 若

Res(f(z),0)??Res(f(z),?). （ ）

二. 填空题. (20分)

11. 设z?，则Rez?__,Imz?___.

1?iz1?z2?...?zn?______________.

n??n??n3. 函数ez的周期为__________.

14. 函数f(z)?的幂级数展开式为__________ 21?z5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的

_____________. 2. 若limzn??，则lim7. 设C:|z|?1，则

?(z?1)dz?___.

Csinz8. 的孤立奇点为________.

z9. 若z0是f(z)的极点，则limf(z)?___.

z?z010.

ezRes(n,0)?_____________.

z三. 计算题. (40分)

31. 解方程z?1?0.

ez2. 设f(z)?2，求Res(f(z),?).

z?13.

z?|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

11?z4. 函数f(z)?e?1z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它的阶数）.

四. 证明题. (20分) 1. 证明：若函数

f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

一. 判断题.（20分）

1. 若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数. （ ） 2. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内

恒等于常数. （ ） 3. 若f(z)在区域D内解析，则|f(z)|也在D内解析. （ ） 4. 若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析. （ ） 5. 若函数f(z)在z0处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 6. 若limf(z)存在且有限，则z0是f(z)的可去奇点. （ ）

z?z07. 若函数f(z)在z0可导，则它在该点解析. （ ） 8. 设函数9. 若z0是

f(z)在复平面上解析，若它有界，则必f(z)为常数. （ ）

f(z)的一级极点，则

z?z0Res(f(z),z0)?lim(z?z0)f(z). （ ）

10. 若

f(z)与g(z)在D内解析，且在D内一小弧段上相等，则

f(z)?g(z),z?D. （ ）

二. 填空题.（20分） 1. 设z2. 当z3. 设e4.

?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.

?___时，ez为实数.

z??1，则z?___.

ez的周期为___.

5. 设C:|z|?1，则

?(z?1)dz?___.

Cez?1,0)?____. 6. Res(z7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。

18. 函数f(z)?的幂级数展开式为_________.

1?z2sinz9. 的孤立奇点为________.

z110. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

?C(z?a)ndz?___.（n为自

然数）

三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数的实部与虚部.

z?12. 计算积分：

I??Rezdz，

L在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 3. 4.

d?求积分：I??01?2acos??a2，其中0

应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里?(z)在

2?|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数2. 设

f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R及M，

z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

使得当|证明:

f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

一、判断题（30分）：

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. （ ）

2. 若函数f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件，则f(z)在z0解析. （ ） 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0处满足Caychy-Riemann条件. （ ） 4. 若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f?(z)?0(?z?D). （ ） 5. 若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

（ ）

6. 若f(z)在区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?Cf(z)dz?0.

?Cf(z)dz?0.（ ）

7. 若f?(z)?0(?z?D)，则函数f(z)在是D内的单叶函数.（ ） 8. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)9. 如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1),则f(z)?1(z?1).

（ ）

10. sinz?1(?z?C).（ ） 二、填空题（20分）

??n?21?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________.

z?13. 函数sinz的周期为_______________________.

1. 若zn?4.

sin2z?cos2z?_______________________.

5. 幂级数

?nzn?0??n的收敛半径为________________.

6. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程2z?z?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

5310. 公式e?cosx?isinx称为_____________________. 三、计算题（30分）

ix?2?i?1、lim??. n???6?3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),i).

z?1nsinz34、求函数在0?z??内的罗朗展式. 6z5、求复数w?6、求e?i3z?1的实部与虚部. z?1?的值.

四、证明题（20分）

1、 方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等

于常数.

3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

7631的m阶极点. f(z)《复变函数》考试试题（七）

一、判断题（24分）

1. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个领域内可导.（ ）

2. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件.（ ） 3. 如果z0是f(z)的可去奇点，则limf(z)一定存在且等于零.（ ）

z?z04. 若函数f(z)是区域D内的单叶函数，则f?(z)?0(?z?D).（ ） 5. 若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6. 若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于

常数.（ ）

7. 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是二、填空题（20分）

1的m阶极点.（ ） f(z)11?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nnz2. 设f(z)?2，则f(z)的定义域为____________________________.

z?11. 若zn?sin3. 函数e的周期为______________. 4.

zsin2z?cos2z?_______________.

5. 幂级数

?n2zn的收敛半径为________________.

n?0??26. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点. 7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________. 8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程3z?z?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

83ez10. Res(n,0)?_________________.

z三、计算题（30分）

?1?i??1?i?1、 求?????.

?2??2?3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、 设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),0).

z4、求函数

22z在1?z?2内的罗朗展式.

(z?1)(z?1)5、求复数w?z?1的实部与虚部. z?16、利用留数定理计算积分：四、证明题（20分）

?32?0dx，(a?1).

a?cosx1、方程24z?9z?6z?z?1?0在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，f(z)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的上半单位圆盘z:z?1,Imz?0保形映射为w平面的单位圆盘w:w?1

7631的m阶极点. f(z)????《复变函数》考试试题（八）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

z?z04、若函数f(z)是区域D内解析，并且f?(z)?0(?z?D)，则f(z)是区域D的单叶函数.（ ）

5、若函数f(z)是区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ）

6、若函数f(z)是单连通区域D内的每一点均可导，则它在D内有任意阶导数.（ ） 7、若函数f(z)在区域D内解析且f?(z)?0，则f(z)在D内恒为常数.（ ） 8. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(111)?0且f()?,n?1,2,n?12n2n.（ ）

9. 如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?1(z?1).（ ）

10. sinz是一个有界函数.（ ） 二、填空题（20分） 1、若zn???n?21?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn2、设f(z)?lnz，则f(z)的定义域为____________________________. 3、函数sinz的周期为______________. 4、若limzn??，则limn??z1?z2?n??n?zn?_______________.

5、幂级数

?nzn?0??n5的收敛半径为________________.

6、函数f(z)?1的幂级数展开式为______________________________. 21?z1?C(z?z0)ndz?______________.

7、若C是单位圆周，n是自然数，则

8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9、方程15z?z?4z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

532

10、若f(z)?1，则f(z)的孤立奇点有_________________. 1?z21dz

2?i?z?3(z?1)(z?4)三、计算题（30分） 1、求

?z?1ez?1sinzdz?3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?).

z?14、求函数

z?10在2?z???内的罗朗展式. 2(z?1)(z?2)5、求复数w?z?1的实部与虚部. z?163四、证明题（20分）

1、方程15z?5z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为7.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内连续，则二元函数u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.

4、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的区域?z:0?argz?71的m阶极点. f(z)??4???保形映射为w平面的单位圆盘5??w:w?1?.

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题（20分）

1、若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析.（ ）

2、若函数f(z)在z0满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z0处解析.（ ） 3、如果z0是f(z)的极点，则limf(z)一定存在且等于无穷大.（ ）

z?z04、若函数f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有（ ）

?Cf(z)dz?0.

5、若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数.（ ） 6、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常数，则f(z)在区域D内恒为常数.（ ）

7、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是

1的m阶极点.（ ） f(z)（. ）

8、如果函数f(z)在D?z:z?1上解析，且f(z)?1(z?1)，则f(z)?1(z1)?9、lime??.（ ）

z??z??10、如果函数f(z)在z?1内解析，则max{f(z)}?max{f(z)}.（ ）

z?1z?1二、填空题（20分）

12?i(1?)n，则limzn?___________. 1?nn12、设f(z)?，则f(z)的定义域为____________________________.

sinz3、函数sinz的周期为______________.

1、若zn?sin4、sinz?cosz?_______________. 5、幂级数

22?nzn?0??n的收敛半径为________________.

6、若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是______________. 8、函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9、方程20z?11z?3z?5?0在单位圆内的零点个数为___________.

83ez,1)?_________________. 10、Res(2z?1三、计算题（30分）

?2?i?1、lim?? n???6?3?2?7??1d?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i). 2、设f(z)??C??zez3、设f(z)?2，求Res(f(z),?i).

z?14、求函数

nz在1?z?2内的罗朗展式.

(z?1)(z?2)5、 求复数w?z?1的实部与虚部. z?16、 利用留数定理计算积分四、证明题（20分）

?????x2?x?2dx. 42x?10x?91、方程z?9z?6z?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，u(x,y)等于常数，则f(z)在D恒等于常数.

7、 若z0是f(z)的m阶零点，则z0是五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带开区域?z:盘w:w?1.

7631的m阶极点. f(z)?????Imz???保形映射为w平面的单位圆2???《复变函数》考试试题（十）

一、判断题（40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在.（ ）

z?z03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续.（ ） 4、cosz与sinz在复平面内有界.（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点.（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析.（ ） 7、若limf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点.（ ）

z?z08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有

?C f(x)dz?0.（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数.（ ） 10、若函数f(z)在区域D内解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数.（ ）

二、填空题（20分）：

1、函数e的周期为_________________. 2、幂级数

z?nzn?0??n的和函数为_________________.

3、设f(z)?1，则f(z)的定义域为_________________. 2z?14、

?nzn?0??n的收敛半径为_________________.

ez5、Res(n,0)=_________________.

z三、计算题（40分）： 1、

?zzdz. 2(9?z)(z?i)eiz,?i). 2、求Res(1?z2?1?i??1?i?3、?????.

?2??2?4、设u(x,y)?ln(x?y). 求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足

22nnf(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）.

5、求z?5z?1?0，在z?1内根的个数.

4

将f在z??的去心邻域内作Laurent展开

f(z)?z1912z(1?2)4?z12(1?4)3zz8

11??z(1?1)4(1?2)3z2z414106z4 ?(1?2?4?)(1?4?8?zzzzz14??3?zz所以Res(f,?)??C?1??1

)

?z?4f(z)dz?2?i.

(2)解: 令z?e,则

i?I?? ??0d?12?d? ?1?cos2?2?01?cos2?14zdz

2?C:z?1i(z4?6z2?1)4zdz2du?,故 422i(z?6z?1)i(u?6u?1)再令z?u则

212du2duI??2??

2C:z?1i(u2?6u?1)i?Cu2?6u?1由留数定理,有

21?I??2?iRes(f,?3?8)?4??? i4224.解：儒歇定理：设c为一条围线，若函数f与?均在c内部及c上解析且

?(z)?f(z)，z?c，则f(z)??(z)与f(z)在c内部的零点个数相同.

4令f(z)??5z, g(z)?z?z?2则f(z),g(z)在z?1内解析且

72当z?1时 f(z)?5?z?z?2?z?z?274247272?g(, z)由儒歇定理z?5z?z?2?0的根个数与?5z?0根个数相同

故z?5z?z?2?0在z?1内有4个根. 四、1.证明: f(z)?u(x,?y)?iv(x,?y)?u*?iv*

742u*?u(x,?y),ux?ux,**v*??v(x,?y)vx??vx,*uy??uy,vy?vy*

由f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在上半平面内解析,从而有

ux?vy,uy??vx.

因此有ux?vy,**uy*??vx*

故f(z)在下半平面内解析. 2.证明: (1) ?r1?r2,0?r1?r2?R则

z?r1z?r1 M(r1)?maxf(z)?maxf(z) M(r2)?maxf(z)?maxf(z)

z?r2z?r2故M(r2)?M(r1),即M(r)在[0,R)上为r的上升函数. (2)如果存在r1及r2(0?r1?r2?R)使得M(r1)?M(r2) 则有 maxf(z)?maxf(z)

z?r2z?r1于是在r1?z?r2内f(z)恒为常数,从而在z?R内f(z)恒为常数.

《复变函数》考试试题（十二）参考答案

一、判断题.

1. × 2. × 3. × 4. √ 5. × 二、填空题.

1. ?1 2. (??) 3. f(z)?z?1 4. 0,? z2n25. i 6. 2? 7. 1 8. 9.本性 10. ?? 三、计算题. 1.解：wk?ze5??1

15argz?2k?i5 k?0,1,2,3 ,??2k?5i 由?1??1 得?1?e 从而有k?2

w2(1?i)?2?e

2.解：（1）f(z)?110??4?45?i?2(cos1103?3?1?i?isin)?5 444Lnzlnz?2k?的各解析分支为，(k?0,?1,). f(z)?kz2?1z2?1)。

z?1为f0(z)的可去奇点，为fk(z)的一阶极点(k?0,?1,Res(f0(z),1)?0 Res(fk(z),?1)?k i (k??1,?2, )?1?zn?1ez（2）Resn?1?Res?n?1????

z?0zz?0zn!n!n?0??3.计算下列积分

z71?解：（1）f(z)?2

(z?1)3(z2?2)z(1?1)3(1?2)z2z2Res(f,?)??C?1??1

?z?2f(z)dz?2?i[?Res(f,?)]?2?i

z2z2?（2）设f(z)?2

(z?a2)2(z?ai)2(z?ai)2z22aiz??(z)?令?(z)?， 23(z?ai)(z?ai)则Res(f,ai)???(ai)1!2(ai2)1???i (2ai)34a

?Imz???f(z)dz?2?iRes(f,?ai)

02ax2dx??

(x2?a2)22a????4.儒歇定理：设c是一条围线，f(z)及?(z)满足条件： （1）它们在c的内部均解析，且连续到c； （2）在c上，f(z)??(z)

则f与f??在c的内部有同样多零点，

即f(z)?10 g(z)?z?6z有 f(z)?g(z) 由儒歇定理知z?6z?10?0在z?1没有根。 四、证明题

zxys?i1证明：.设z?x?iy 有 f(z)?e?e(co66syin )u(x,y)?excosy,v(x,y)??exsiny

?u?excosy,?x?u??exsiny,?y?v??exsiny,?x?v??excosy ?y易知u(x,y)，v(x,y)在任意点都不满足C?R条件，故f在复平面上处处不解析。

z?(n)2.证明：于高阶导数公式得 (e)??0n!ez??d? ???12?i?n?1n!ez?d? 即z?2?i???1?n?1n?zn?z1e1znez??d? 从而????d? 故????1C:??1n!2?i?n?12?in!?n?1?n!?nz?2

《复变函数》考试试题（十三）参考答案

一、填空题．（每题２分） 1.

1?i?u(x,y)?u0及limv(x,y)?v0 3. 0 4. ? e 2. limx?xox?xory?yoy?yo246n2n5. 2 6. 1?z?z?z????(?1)z???? 7.椭圆

8. ?2?1(1?)?1 10. ?1 (1?2i) 9. 242二、计算题．

１．计算下列各题．（９分） 解: (1) cosi?1(e?e?1) 2(2) ln(?2?3i)?ln?2?3i?iarg(?2?3i) ?(3) 33?i13ln13?i(??arctan) 22?e(3?i)ln3?e(3?i)(ln3?i?2k?)?e3ln3?2k??i(6k??ln3)

2k? ?27e3[cos(ln3)?isin(ln3)]

32. 解: z?8?0?z??8?8e?2e3i?i??2k?3 (k?0,1,2)

3 故z?8?0共有三个根: z0?1?3, z1??2, z2?1?3

3. 解: u?x?y?xy?ux?2x?y,uy??2y?x

22?2u?2u?2?2?2?2?0?u是调和函数. ?x?y v(x,y)? ???(x,y)(0,0)?(uydx)?uxdy?c??y0(x,y)(0,0)y(?2xdx?)x?(2ydy?)c

x0(?x)dx??(2x?y)dy?c

x2y2?2xy??c ??22x2y21?2xy??) ?f(z)?u?iv?(x?y?xy)?i(?22222

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